第5章 §5.4 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，系统梳理“五点法”作图步骤及逆用，结合简谐振动实例阐释A、ω、φ的物理意义，构建从图象绘制到性质应用的学习支架。 该资料通过弹簧振子数据建模、性质参数求解等实例，培养数学眼光（发现数量关系）和数学思维（整体代换推理），例题与跟踪训练梯度设计，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二) 学习目标　1.会用“五点法”或图象变换的方法画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.理解ω，φ，A在简谐振动中的物理意义.3.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题. 一、画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1　请用“五点法”画出函数y＝sin的图象. 解　函数y＝sin的周期T＝＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，令X＝2x－则x＝X＋当x变化时，y的值如下表： X 0 π 2π x y 0 0 － 0 描点画图： 利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象(图略). 反思感悟　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值. 跟踪训练1　已知函数y＝sin.利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图. 解　下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象. 令X＝x＋则x＝2X－. 先列表，后描点并画图. X 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 二、简谐振动 问题1　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A＝20；振子振动的周期为T＝0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为－20，可得sin φ＝－1，因此φ＝－.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sint∈[0，＋∞). 知识梳理　简谐振动 简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅，周期T＝而f＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率，ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相. 注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相. 例2　(课本例6)如图为某简谐振动的图象，试根据图象回答下列问题： (1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相； (2)求t＝15 s时，振子相对于平衡位置的位移； (3)写出这个简谐振动的函数解析式. 解　(1)从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为2 cm，周期为4 s，频率为 Hz，初相为0. (2)由于振动的周期为4 s，因此当t＝15 s时，位移y为－2 cm. (3)设这个简谐振动的函数解析式为 y＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞). 由＝4，得ω＝. 又A＝2，φ＝0，于是该简谐振动的函数解析式为y＝2sint，t∈[0，＋∞). 例2　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin.回答以下问题： (1)当小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？ (2)小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ (3)小球来回摆动一次需要多长时间？ 解　(1)当t＝0时，s＝6sin ＝3，故小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置的位移为3 cm. (2)小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. (3)小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 反思感悟　简谐振动问题的策略 对于单摆、弹簧振子等简谐振动，应明确ω，φ，A在简谐振动中的物理意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练2　(1)振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和则它的相位是　　　　.  答案　3πx－π 解析　∵T＝∴ω＝3π，初相为－π， ∴相位为3πx－π. (2)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h厘米满足下列关系：h＝2sint∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动　　　　次.  答案　 解析　函数h＝2sint∈[0，＋∞)的周期T＝2π，故频率为.所以每秒钟小球能振动次. 三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 问题2　你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？ 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可. 知识梳理 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称轴 x＝k∈Z 对称中心 k∈Z 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 例3　(1)若f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上单调递增，可得－·2ω≥－且·2ω≤解得0<ω≤故ω的最大值为. (2)已知函数f(x)＝sin. ①求f(x)的最小正周期及单调递增区间； ②求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； ③求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 解　①函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). ②令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). ③当sin＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为 此时x的取值集合是. 反思感悟　(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数. (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间. 跟踪训练3　在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. ①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数； ②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f ＝0； ③x＝0与x＝是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)＝2. 问题：已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若　　　　.  (1)求ω，φ的值； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间. 解　方案一：选条件①， (1)∵f(x)的最小正周期为π， ∴T＝＝π，∴ω＝2. 又f(x)是偶函数，∴f(0)＝2sin φ＝±2， ∴φ＝kπ＋k∈Z， 又0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＝2cos 2x， 将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2cos的图象. 再将横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2cos的图象. 由2kπ≤≤2kπ＋π，k∈Z， 得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z， 当k＝0时≤x≤ ∵0≤x≤π，∴≤x≤π， ∴g(x)在[0，π]上的单调递减区间是. 方案二：选条件②， (1)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π， ∴T＝＝π，∴ω＝2，又f ＝0， ∴sin＝0，即cos φ＝0， ∴φ＝kπ＋k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝. (2)同方案一(2). 方案三：选条件③， (1)∵x＝0与x＝是f(x)图象上相邻的两条对称轴，∴即T＝＝π.∴ω＝2， 又f(0)＝2sin φ＝2，∴sin φ＝1， ∴φ＝2kπ＋k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝. (2)同方案一(2). 1.知识清单： (1)函数y=Asin(ωx+φ)图象的画法. (2)简谐振动. (3)三角函数的性质的综合问题. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法. 3.常见误区：当ω<0时求单调区间容易出错. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.简谐振动y＝4sin的相位与初相分别是(　　) A.5x－ B.5x－4 C.5x－－ D.4 答案　C 解析　相位是5x－当x＝0时的相位为初相， 即－. 2.下列各点中，可以作为函数f(x)＝2cos＋1图象的对称中心的是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　x＝时，f(x)＝2cos＋1＝1，故B符合题意. 3.将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为. 4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(　　) A.关于点对称 B.关于直线x＝对称 C.关于点对称 D.关于直线x＝对称 答案　D 解析　因为最小正周期为π，所以ω＝＝2， 则平移后图象的函数解析式为 y＝sin＝sin 此时函数是奇函数，所以－＋φ＝kπ(k∈Z)， 则φ＝＋kπ(k∈Z)， 因为|φ|<当k＝－1时，φ＝－ 所以f(x)＝sin 令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)， 即对称点为 令2x－＋kπ(k∈Z)， 则对称轴为x＝(k∈Z)， 当k＝0时，x＝. 5.(多选)如图所示是一质点做简谐振动的图象，则下列结论正确的是(　　) A.该质点的振动周期为0.8 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 答案　ABD 解析　由题图可知＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 6.(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f＝f则f等于(　　) A.－3 B.－1 C.0 D.3 答案　AD 解析　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3. 7.(5分)f(x)＝2sin的单调递增区间为　　　　　　　　.  答案　(k∈Z) 解析　－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 8.(5分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝　　　　，φ＝　　　　.  答案　2　 解析　由题意知， T＝2×＝π， 所以ω＝＝2； 又因为当x＝时有最大值2. f＝2sin＝2sin＝2， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤ 所以φ＝. 9.(10分)某振动物体的运动方程是f(x)＝Asin(ωx＋φ)下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格. ωx＋φ 0 π 2π x ① ② ③ Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 (1)①为　　　　，②为　　　　，③为　　　　(直接写出结果即可)；(5分)  (2)求该振动物体的振幅、频率、初相.(5分) 解　(1)①－②③. (2)根据表中已知数据可得A＝2， 因此T＝π，ω＝2， 当x＝－时，2×＋φ＝kπ(k∈Z)， 则φ＝ ∴函数表达式为f(x)＝2sin. 因此振幅为2，频率为初相为. 10.(10分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)函数y＝f 为奇函数. (1)求函数f(x)的对称中心的坐标；(5分) (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的值域.(5分) 解　(1)由题意知，y＝f ＝sin为奇函数， 所以φ－＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z). 因为0<φ<所以k＝0，φ＝ 所以f(x)＝sin. 由2x＋＝kπ可知x＝k∈Z. 即函数f(x)的对称中心坐标为(k∈Z). (2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到 y＝sin即y＝sin的图象， 再将图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin的图象，因为x∈ 所以4x－∈. 因此g(x)＝sin∈ 因此函数g(x)的值域为. 11.设函数f(x)＝则下列说法正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的图象关于点对称 答案　C 解析　对于A，f(x)＝的定义域为R， ∴f(－x)＝ ＝≠f(x)，A错误； 对于B，f ＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期是B错误； 对于C，∵x∈∴2x＋∈ ∴y＝sin在上单调递减，且在这个区间内一直为负值. ∴f(x)在区间上单调递增，C正确； 对于D，f(x)＝的图象恒在x轴及其上方，所以f(x)的图象不关于点对称，D错误. 12.将函数f(x)＝2cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则曲线y＝g(x)与直线y＝的所有交点中，相邻交点距离的最小值为(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　函数f(x)＝2cos的图象向左平移个单位长度， 得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2cos＝2cos 令2cos即cos 则2x－＝2k1π＋k1∈Z，或2x－＝2k2π－k2∈Z， 即x＝k1π＋k1∈Z，或x＝k2π，k2∈Z， 可得x＝……或x＝…0，π，2π，…， 故相邻交点距离的最小值为. 13.(多选)弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐振动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，下列说法正确的有(　　) A.振动的振幅为10 cm B.周期T＝1 s C.弹簧振子在5 s内通过的位移为200 cm D.弹簧振子在5 s内通过的路程为200 cm 答案　ABD 解析　设振幅为A，则2A＝20 (cm)， 所以A＝10 (cm). 设周期为T，则＝0.5 s， 所以T＝1 s，所以f＝1 Hz. 振子在1 s内通过的路程为4A， 故在5 s内通过的路程 s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm. 14.(5分)若函数f(x)＝sin(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为且该函数的图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈则x0＝　　　　.  答案　 解析　由f(x)＝sin(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 知T＝π，ω＝2， 又图象关于点(x0，0)成中心对称， 得2x0＋＝kπ(k∈Z)，而x0∈ 则x0＝. 15.(5分)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f 且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝　　　　.  答案　 解析　依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f且f(x)在区间上有最小值，无最大值， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称， ∴·ω＋＋2kπ，k∈Z， ∴ω＝＋8k，k∈Z， 又<T＝即0<ω<12，∴ω＝. 16.(12分)已知函数f(x)＝2sin求方程f(x)－lg x＝0的解的个数. 解　在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100， 令＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z). 而＋31π>100，且＋30π＋<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如(k∈Z，0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解. 学科网（北京）股份有限公司 $