58 第5章 5.5 三角函数模型的简单应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

5.5　三角函数模型的简单应用 学习任务 核心素养 1．了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养． 类型1　匀速圆周运动的数学模型 【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系． [解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt， 根据三角函数的定义，得P点纵坐标 y＝|OP|sin ∠POx＝20sin ，即所求y关于时间t的函数关系式为y＝20sin ， 又∵ω＝2， ∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin ，t∈[0，＋∞)． 　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系． [跟进训练] 1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　) A．y＝sin 　　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin C　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0．又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝，解得φ＝．故选C．] 类型2　三角函数模型的实际应用 【例2】　【链接教材P199例1】 某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，其中f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图． (1)求f (t)的解析式； (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时为2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问： ①该船满载时一天之内何时能进出港口？ ②该船凌晨3时已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前一小时提前离港，最迟在几时之前离港才能确保安全？ [解]　(1)由题意得A＝＝2，k＝＝5，T＝2×(8－2)＝12＝，∴ω＝．当t＝2时f (t)最大，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又φ∈，∴φ＝， ∴f (t)＝2sin ＋5，t∈[0，24)． (2)①由题意得2sin ＋5≥4.5＋1.5，即sin ， ∴2kπ＋t＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z． ∵t∈[0，24)，∴k＝0或k＝1． ∴0≤t≤4或12≤t≤16， ∴该船满载时一天之内0时到4时或12时到16时能安全进出港口． ②空载时水深至少要4米，由2sin ＋5≥2.5＋1.5得sin ≥－，∴2kπ－t＋≤2kπ＋，k∈Z．∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z． 又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24． ∵6－1＝5， ∴最多滞留到5时可确保安全离港． 【教材原题·P199例1】 例1　图5.5-1为小球在做单摆运动(可近似看作简谐振动)时，离开平衡位置时的位移y(cm)随时间x(s)变化的函数图象，已知该图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式．试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式． [解]　由图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2． 因为点在函数图象上，且函数图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式，所以A sin ＝0，即sin ＝0． 又已知0<φ<，则<＋φ<，从而＋φ＝π，即φ＝． 又点(0，1)在函数图象上， 所以A sin ＝1， 得A＝2． 故所求函数的解析式为y＝2sin ． 　解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域． [跟进训练] 2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃． (1)求出该地区该时期的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ [解]　(1)由题意知 解得易知＝14－2， 所以T＝24，所以ω＝， 易知8sin ＋6＝－2， 即sin ＝－1， 故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得φ＝－， 所以y＝8sin ＋6(x∈[0，24))． (2)当x＝9时，y＝8sin ＋6 ＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10． 所以届时学校后勤应该开空调． 类型3　数据拟合模型的应用 【例3】　下表所示的是某地某一年的月平均气温(华氏度)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系． (1)画出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin ． [解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示． (2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12． (3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A＝25.8． (4)∵x＝月份－1， ∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0， 代入①，得＝>1，可知≠cos ，∴①不适合． 代入②，得＝<0， 可知≠cos ，∴②不适合．同理，④不适合，∴③最适合． 　用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下： (1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”； (2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型； (3)通过图象或解析式研究函数的性质； (4)用得到的性质解决提出的实际问题． [跟进训练] 3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________． t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)　[设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin ，即y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)．] 1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin D　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3． ∴y＝sin ，故选D．] 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8．故选C．] 3．如图为一半径是4 m的水轮，水轮圆心O距离水面1 m，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋1，则(　　) A．ω＝，A＝4 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝4 A　[由题意可得T＝＝，可得ω＝，由题干图可知y的最大值为5，sin (ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4．] 4．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图①)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt．图②是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A．200 B．400 C．200π D．400π D　[由题图可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π．] 5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ，t∈[0，＋∞)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm． 　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？ [提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题． 2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ [提示]　 课时分层作业(五十)　三角函数模型的简单应用 一、选择题 1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s D　[题意是求函数s＝6sin 的周期，T＝＝1，故选D．] 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一那天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] C　[由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C．] 3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin ，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定 C　[当t＝时，s1＝5sin ＝5sin ＝－5， 当t＝时，s2＝10cos ＝10×＝－5， 故s1＝s2．] 4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均 温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4 则适合这组数据的函数模型是(　　) A．y＝a cos B．y＝a cos ＋k(a＞0，k＞0) C．y＝－a cos ＋k(a＞0，k＞0) D．y＝a cos －3 C　[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0．故选C．] 5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝ 秒时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5 安 D．10安 A　[由题干图象知A＝10，＝＝， 所以ω＝＝100π． 所以I＝10sin (100πt＋φ)． 因为为五点作图法中的第二个点， 所以100π×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且0<φ<，所以φ＝． 所以I＝10sin ， 当t＝ 秒时，I＝－5安．] 二、填空题 6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃． 20．5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23．从而y＝5cos ＋23．故10月份的月平均气温值为y＝5cos ＋23＝20.5．] 7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________． y＝2sin 　[由题图可设y＝A sin (ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8， 所以ω＝π，所以y＝2sin ， 将点(0.1，2)代入y＝2sin 中， 得sin ＝1， 所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z， 即φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0，得φ＝， 所以y＝2sin ．] 8．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________． 7　[函数y＝－sin x的周期T＝4，且x＝3时y＝1是最大值，因此t≥7．所以正整数t的最小值是7．] 三、解答题 9．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h． (1)求h与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式． [解]　(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M．当θ＞时，∠BOM＝θ－． h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin ； 当0≤θ≤时，上述解析式也适合． 则h与θ间的函数解析式为 h＝5.6＋4.8sin ． (2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是＝， ∴t秒转过的弧度数为t， ∴h＝4.8sin ＋5.6，t∈[0，＋∞)． 10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)作出这些数据的散点图； (2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． [解]　(1)散点图如图所示． (2)由(1)知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π． 由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝． 把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin ＋1，得φ＝0． 故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)． (3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin t≥－．则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当． 11．某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 y 10 000 9 500 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A．10 000元 B．9 500元 C．9 000元 D．8 500元 C　[因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500．当x＝3时，y＝9 000．] 12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f (l)的图象大致是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　D C　[令所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin ＝，∴d＝2sin ＝2sin ， 即d＝f (l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C．] 13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________________． y＝－6sin x，x∈[0，24]　[设y与x的函数关系式为y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝． 当x＝9时，ymax＝6， 故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z． 取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin x，x∈[0，24]．] 14．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f ＝________． －　[由条件|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f (x)的最小正周期为，则由T＝＝，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f (x)＝sin ，于是f ＝sin ＝－．] 15．在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f (n)可近似地用函数f (n)＝100·[A cos (ωn＋2)＋k]来刻画，其中A和k是正整数，ω>0，正整数n表示月份且n∈[1，12]，n∈N＋，例如n＝1时表示1月份．经统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的f (n)的表达式； (2)一般地，如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由． [解]　(1)根据规律①可知，该函数为周期函数，且周期为12，所以T＝＝12，得ω＝． 由规律②可知，f (n)max＝f (8)＝＝f (2)＝－100A＋100k，f (8)－f (2)＝200A＝400，得A＝2． 根据规律③可知，当n＝2时，f (2)＝200·cos ＋100k＝100， 得k≈2.99，因为k是正整数，故取k＝3． 综上可得，f (n)＝200cos ＋300(n∈[1，12]，且n∈N＋)． (2)令200cos ＋300>400， 可得cos >，则2kπ－<n＋2<2kπ＋，k∈Z， 即12k－2－<n<12k＋2－，k∈Z． 所以当k＝1时，6.18<n<10.18， 因为n∈[1，12]，n∈N＋，所以n＝7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $