第5章 §5.4 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，从已学的y＝sinx出发，系统探究参数A（振幅）、ω（周期）、φ（相位）对图象的影响，构建从简单正弦函数到复合函数的图象变换学习支架。 资料以问题驱动学生用数学眼光观察图象变化，通过数形结合梳理变换规律培养数学思维，例题与课时对点练强化规范表达提升数学语言能力。课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固变换步骤，有效查漏补缺。

第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一) 学习目标　1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 导语 通过前面的学习，我们知道形如y＝Asin(ωx＋φ)这类函数的性质，与正弦函数的性质类似，那么这类函数的图象与正弦曲线是否有关系呢？带着这个问题，开始今天的学习. 一、A(A>0)对函数y＝Asin x图象的影响 问题1　在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝3sin x的图象，你能发现什么？ 提示　(图略)可以发现对于同一x值，y＝3sin x的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点纵坐标的3倍. 知识梳理 A(A>0且A≠1)对函数y＝Asin x图象的影响 例1　函数y＝sin x图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍，将会得到函数y＝4sin x的图象.  答案　伸长　4 解析　A＝4>1，故函数y＝sin x图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的4倍即可得到函数y＝4sin x的图象. 反思感悟　在研究A(A>0)对y＝Asin x图象的影响时，由y＝sin x纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝Asin x. 跟踪训练1　为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变 答案　D 解析　将y＝cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变，得到y＝cos x. 二、ω(ω>0)对函数y＝sin ωx图象的影响 问题2　如图是y＝sin x与y＝sin x的图象，你能发现什么？ 提示　由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的. 知识梳理 ω(ω>0且ω≠1)对函数y＝sin ωx图象的影响 例2　(1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变 答案　B 解析　ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变. (2)把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到　　　的图象.  答案　y＝6sin x 反思感悟　在研究 ω(ω>0)对y＝sin ωx图象的影响时，由y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，即可得到y＝sin ωx. 跟踪训练2　函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数解析式为y＝cos ωx，则ω的值为　　　　.  答案　 解析　函数y＝cos x的图象 y＝cos x的图象，所以ω＝. 三、φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响 问题3　你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sin的函数图象吗？两个图象有怎样的联系呢？ 提示　 我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变.可以发现，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 知识梳理　φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响 例3　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度. 跟踪训练3　(1)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　C 解析　因为y＝sin＝sin 2 所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin 2＝sin的图象. (2)为了得到y＝sin的图象只需将函数y＝cos x的图象　　　　　　　　.  答案　向右平移个单位长度 解析　y＝sin＝cos ＝cos＝cos 只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin的图象. 1.知识清单： (1)y=Asin(ωx+φ)中A，ω，φ对图象的影响. (2)y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案　B 解析　y＝sin＝sin 2故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象. 2.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin 4＝sin所以φ的值为. 3.函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A.y＝sin 2x B.y＝－sin 2x C.y＝cos D.y＝cos 答案　B 解析　y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos＝－sin 2x的图象. 4.将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A.奇函数 　 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　y＝sin 2x的图象 y＝sin 2＝sin＝－sin(π－2x) ＝－sin 2x的图象. 由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数. 5.(多选)下列四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C.各点横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度 D.各点横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度 答案　AD 解析　由y＝sin x的图象变为y＝sin的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度. 6.(多选)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点则ω的值可能是(　　) A. B.2 C.1 D. 答案　BC 解析　依题意得，函数f ＝sin ω(ω>0)的图象过点 于是有f ＝sin ω ＝sin ωπ＝0(ω>0)， 所以ωπ＝kπ，k∈N＋，即ω＝k，k∈N＋， 因此正数ω的值可能是1，2. 7.(5分)函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数　　　的图象.  答案　y＝sin 解析　y＝sin的图象 y＝sin的图象. 8.(5分)将函数f(x)＝sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝　　　　.  答案　sin 解析　由函数f(x)＝sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的后， 得到f(x)＝sin再将图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， 即g(x)＝sin ＝sin. 9.(10分)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，求f 的值. 解　y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将每一点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象， 即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象， ∴f(x)＝sinf . 10.(10分)已知函数f(x)＝sinx∈R. (1)求f(x)的最小正周期及f(π)的值；(3分) (2)为了得到f(x)的图象，需将正弦函数y＝sin x的图象进行怎样的变换？(写出一种即可)(3分) (3)求f(x)在[0，π]上的单调递减区间.(4分) 解　(1)最小正周期T＝＝π， f(π)＝sinsin ＝1. (2)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后将函数y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，即可得到f(x)＝sin的图象. (3)当x∈[0，π]时，2x＋∈ 令≤2x＋≤解得≤x≤ 所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是. 11.将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　) A.y＝sin x B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 答案　B 解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象. 12.设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案　C 解析　y＝sin＋2y1＝sin＋2＝sin＋2. 因为y与y1的图象重合， 所以－ω＝2kπ(k∈Z). 所以ω＝－k. 又因为ω>0，k∈Z， 所以k＝－1时，ω取最小值为. 13.(多选)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法不正确的是(　　) A.y＝f(x)是奇函数 B.y＝f(x)的周期为π C.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D.y＝f(x)的图象关于点对称 答案　ABC 解析　由题意知，f(x)＝cos x，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点k∈Z，D对. 14.(5分)把函数y＝3sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则实数m的最小值为　　　　.  答案　 解析　将y＝3sin向左平移m(m>0)个单位长度可得y＝3sin ∵y＝3sin的图象关于y轴对称， ∴2m－＋kπ(k∈Z)， 解得m＝(k∈Z)，又m>0，∴mmin＝. 15.将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　) A. B. C.0 D.－ 答案　B 解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，结合选项，φ＝符合题意. 16.(12分)已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0. (1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；(5分) (2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值.(7分) 解　(1)因为ω>0，根据题意有 解得0<ω≤. 所以ω的取值范围是. (2)由f(x)＝2sin 2x可得， g(x)＝2sin 2＋1＝2sin＋1， g(x)＝0⇒sin＝－ ⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， 即g(x)的零点相邻间隔依次为和 故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点， 则b－a的最小值为14×＋15×. 学科网（北京）股份有限公司 $