专题01 幂函数7类题型归纳（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01幂函数7类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、幂函数的定义域 类型二、幂函数的值域与最值 类型三、幂函数的图像及应用 类型四、幂函数的单调性的综合应用 类型五、幂函数中的比大小问题 类型六、幂函数中的奇偶性的综合应用 类型七、幂函数性质的综合应用 压轴专练 类型一、幂函数的定义域 1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2.幂函数定义域，可以把幂函数转化为根式形式。 例1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 变式1-1．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 变式1-2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)求函数的值域． 类型二、幂函数的值域与最值 ①先定定义域，定义域是求值域和最值的前提，需排除使函数无意义的取值。 ②再分析幂指数α的类型（正/负、整数/分数、奇/偶），确定函数单调性和图像特征。 ③结合单调性或图像端点，推导值域范围并锁定最值 例2.已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-1．下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 变式2-2．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 变式2-3．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 类型三、幂函数的图像应用 解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 例3．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．B．C．D． 变式3-1．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 变式3-2．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 类型四、幂函数的单调性问题 ①需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 ②运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径 例4．.已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 变式4-1．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知是减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型五、幂函数中的比大小问题 比较幂值大小的方法: （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论 例5．若且，则与的大小关系是_________． 变式5-1.若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．若，，，则（    ） A． B． C． D． 类型六、幂函数中的奇偶性问题 比较幂值大小的方法: （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论 例6．已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式6-1.若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 变式6-2．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 变式6-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 类型七、幂函数性质的综合应用 幂函数性质综合题的核心解题技巧是“定位函数解析式→用性质分析→结合条件求解”，全程紧扣幂函数定义和图像特征。确定解析式后，围绕单调性、奇偶性、定义域/值域展开，解决比较大小、解不等式、求参数范围及恒成立等问题 例7．已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 变式7-1.已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 变式7-2．已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 变式7-3．已知幂函数，满足 （1）求函数的解析式． （2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 压轴专练 一、单选题 1．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 二、多选题 5．已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 三、填空题 7．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 8．已知函数则使不等式成立的的取值范围是 . 9．设，若，且，则取值的集合是 ． 10．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 四、解答题 11．已知函数． (1)是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． (2)求不等式的解集． 12．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 13．若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 14．已知幂函数 满足 (1)求函数的解析式. (2)若函数 是否存在实数使得的最小值为10? (3)若函数 是否存在实数 使函数在上的值域为? 若存在，求出实数n的取值范围； 若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂函数7类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、幂函数的定义域 类型二、幂函数的值域与最值 类型三、幂函数的图像及应用 类型四、幂函数的单调性的综合应用 类型五、幂函数中的比大小问题 类型六、幂函数中的奇偶性的综合应用 类型七、幂函数性质的综合应用 压轴专练 类型一、幂函数的定义域 1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2.幂函数定义域，可以把幂函数转化为根式形式。 例1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 变式1-1．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C. 变式1-2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解答过程】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 变式1-3．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)求函数的值域． 【解析】（1）依题意，，即，解得或， 当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数， 所以的解析式是． （2）由（1）知，，， 设，则，，因此， 当时，，当或时，，于是， 所以函数的值域为. 类型二、幂函数的值域与最值 ①先定定义域，定义域是求值域和最值的前提，需排除使函数无意义的取值。 ②再分析幂指数α的类型（正/负、整数/分数、奇/偶），确定函数单调性和图像特征。 ③结合单调性或图像端点，推导值域范围并锁定最值 例2.已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【解答过程】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A. 变式2-1．下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【分析】根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 变式2-2．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 变式2-3．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可； （2）利用函数单调性求值域. 【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为 类型三、幂函数的图像应用 解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 例3．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 变式3-1．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 变式3-2．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 变式3-3．函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象确定正确答案. 【详解】，和的图象都过点. 的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B 类型四、幂函数的单调性问题 ①需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 ②运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径 例4．.已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 变式4-1．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数的图像过点， 所以，所以，所以， 由于函数在上单调递增， 所以，解得：． 故的取值范围是. 故选：C. 变式4-2．已知是减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于函数是减函数，所以，解得. 故选：A. 变式4-3．若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围. 【详解】解:由题知构造,由幂函数性质可知单调递增, ,,, 综上:.故选:D 类型五、幂函数中的比大小问题 比较幂值大小的方法: （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论 例5．若且，则与的大小关系是_________． 【答案】 【分析】 根据幂函数的单调性比较即可； 【详解】 解：因为。所以。由因为函数，在上单调递减， 所以。故答案为： 变式5-1若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 变式5-2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性判断. 【详解】因为，，， 又，在上单调递增， 所以．综上，．故选：A. 变式5-3．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构造函数，结合函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果. 【详解】设函数，则在上单调递增， 故，即，又，即. 故选：B． 类型六、幂函数中的奇偶性问题 比较幂值大小的方法: （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论 例6．已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 变式6-1若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 变式6-2．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 变式6-3．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【解析】（1）∵为幂函数 ∴，得或 当时，是奇函数不是偶函数， 当时，是偶函数，∴. 故的解析式. （2）由（1）得，当时， 对于，则， 当时，， ∴， 又∵函数是定义在R上的奇函数， ∴即， ∴，， ∴函数的解析式 类型七、幂函数性质的综合应用 幂函数性质综合题的核心解题技巧是 “定位函数解析式→用性质分析→结合条件求解”，全程紧扣幂函数定义和图像特征。确定解析式后，围绕单调性、奇偶性、定义域 / 值域展开，解决比较大小、解不等式、求参数范围及恒成立等问题 例7．已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【解析】（1）设的解析式为， 则，解得，因此． （2）因为，所以． 令，则，且． 令，， 因为在单调递增，在单调递减，所以． 因为存在，使得，所以． 所以．又因为，所以的取值范围为. 变式7-1.已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【分析】 （1）由题意可得：，解不等式结合即可求解； （2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解. 【详解】 （1）因为幂函数（）在是严格减函数， 所以，即 ，解得：， 因为，所以， 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 当时，，此时为偶函数，符合题意； 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 所以， （2）， 令 当时，，，此时是奇函数， 当时，，此时是偶函数， 当且时，，， ，，此时是非奇非偶函数函数 变式7-2．已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可； （2）由幂函数的单调性列出不等式即可； （3）由题意通过，及，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增， 可得，解得， 所以； （2）因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； （3）由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 变式7-3．已知幂函数，满足 （1）求函数的解析式． （2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，. 【分析】 （1）利用幂函数的定义和已知条件即可求得结果； （2）先化简得到，令得到，，再利用二次函数是的性质分类讨论即可得到结果； （3）首先得到，根据题意得到，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可得到结果. 【详解】 解：（1）因为是幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，在为减函数，不满足. 当时，，在为增函数，满足. 所以； （2）， 令，因为，所以， 则令，，开口向上，对称轴为. ①当，即时，函数在为增函数， ，解得； ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去； 当，即时，函数在为减函数，，解得，不符合题意，舍去. 综上所述：存在，使得的最小值为； （3），易见在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②①得：， 所以，而， 则③. 将③代入②得：. 令，由，知，得，即. 所以，在区间单调递减， 所以， 故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为 压轴专练 一、单选题 1．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 3．设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 4．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 二、多选题 5．已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 6．已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可知在上单调递增，由函数有最小值可得在上的单调性和分段处函数值的大小关系，从而解不等式组求得的范围，知A正确；由幂函数的性质知B错误；假设的值域为，结合单调性和分段处函数值的大小关系可得的范围，知C正确；将代入，分别求出的表达式，比较可得二者值域没有交集，则D错误． 【详解】对于A，当时，在上单调递增，若有最小值，则，解得，故A正确； 对于B，当时，，由幂函数的性质知，当时，单调递增．故B错误； 对于C，在上单调递增，当时，；若的值域为，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，当时，，则，，恒成立，不存在，使得，故D不正确； 故选：AC 三、填空题 7．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．已知函数则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，求出，代入化简，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】若，， 因为当时，在上单调递增， 所以，解得：， 若，，则， 由可得：，即， 解得：，又因为，所以. 故使不等式成立的的取值范围是：. 故答案为：. 9．设，若，且，则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质一一分析即可. 【详解】若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，不妨考虑时， 此时，符合题意； 若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，仍不妨考虑时， 此时，符合题意； 若或时，此时为奇函数，且时，，不符合题意； 综上所述：取值的集合是. 故答案为： 10．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 四、解答题 11．已知函数． (1)是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用幂函数的单调性结合值域建立方程，根据一元二次方程的解确定即可； （2）构造函数，利用其单调性去函数符号解不等式即可. 【详解】（1）假设存在实数a，，使得在区间上的取值范围为． ∵函数的定义域为，且函数在上单调递增， ∴，，即方程在上有两个不相等的实数根． 方程，整理得． ∵，∴方程无实数根． ∴假设不成立，即不存在实数a，， 使得在区间上的取值范围为． （2）设函数． ∵函数，在区间上都单调递增， ∴函数在区间上单调递增． 又∵， ∴等价于， 即． ∴，即，解得， 故不等式的解集为． 12．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 13．若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． (3)，． 【分析】（1）根据闭区间同域函数定义判断证明； （2）根据闭区间同域函数定义求解； （3）根据题意可得，分时、讨论，结合闭区间同域函数定义，的单调性判断可得答案． 【详解】（1）易知函数在上单调递增， 当时，， 即函数的定义域与值域均为， 是“闭区间同域函数”． （2）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在上单调递增， 当时，， 即， 所以，解得或（舍）． 当时，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，符合题意． 正实数的值为1． （3）由题意得， 所以的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线，且， 当时，在上单调递增， ， 所以是方程的两根， 令，解得或，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， ①当时，，不符合题意； ②当时，，解得． 经检验，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”， 综上，，． 14．已知幂函数 满足 (1)求函数的解析式. (2)若函数 是否存在实数使得的最小值为10? (3)若函数 是否存在实数 使函数在上的值域为? 若存在，求出实数n的取值范围； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在 (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由可知幂函数为增函数，从而可确定出函数解析式； （2）由（1）可得，令，则，，然后分，和三种情况求函数的最小值； （3），由题意可得，令，，则得，求得， ，从而可求出范围. 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或． 当时，在上单调递减，故不符合题意． 当时，在上单调递增， 故，符合题意．∴． （2） ，令．∵，∴， ∴，． ①当时，时，函数有最小值，∴，． ②当时，时，函数有最小值．∴，无解． ③当时，时，函数有最小值，∴，（舍）． ∴综上． （3） ，易知在定义域上单调递减， ∴，即， 令，， 则，， ∴，∴， ∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴． ∵，∴，∴， ∴． ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $