第2章 周末练6 章末检测试卷(二) 一元二次函数、方程和不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦不等式与集合单元，以题载知，覆盖基础概念到综合应用，逻辑递进，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|单选1-2、多选9|集合运算、不等式性质判断|从集合基本运算到不等式性质推导，构建概念体系| |方程与不等式应用|单选3-8、填空12-13|一元二次方程根、不等式恒成立、最值|方程根与系数关系→不等式求解→基本不等式应用，形成问题解决链| |综合与实际应用|解答15-19|证明、含参问题、应用题|从代数证明到实际利润计算，体现数学语言表达现实问题的能力|

周末练6　章末检测试卷(二) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0},B＝{x|0<x<5},则A∪B等于(　　) A.(0,2) B.(－2,5) C.(0,1) D.(－1,5) 答案　D 解析　因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x<5},则A∪B＝(－1,5). 2.下列命题中正确的是(　　) A.若ab>0,a>b,则< B.若a>b,则a|c|>b|c| C.若a>b,c>d,则a－c>b－d D.若a>b,c<d,则a＋c＝b＋d 答案　A 解析　∵ab>0,a>b,∴a·>b·∴>故A正确；取c＝0,可排除B；取a＝3,b＝1,c＝0,d＝－4,此时a－c<b－d,故C错误；取a＝3,b＝1,c＝－4,d＝0,此时a＋c<b＋d,故D错误. 3.设m>0,若关于x的方程mx2－4x＋2＝0有两个不相等的根x1,x2,则x1＋x2的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(0,2] C.(2,＋∞) D.[2,＋∞) 答案　C 解析　∵关于x的方程mx2－4x＋2＝0有两个不相等的实数根, ∴解得0<m<2, 则x1＋x2＝∈(2,＋∞),即x1＋x2的取值范围为(2,＋∞). 4.若正数m,n满足2m＋n＝1,则的最小值为(　　) A.1＋ B. C.2＋ D. 答案　B 解析　∵正数m,n满足2m＋n＝1, ∴＝(2m＋n)≥＋2 当且仅当n＝m＝－1时取等号. ∴的最小值为. 5.实数a,b,c满足a2＝2a＋c－b－1且a＋b2＋1＝0,则下列关系成立的是(　　) A.b>a≥c B.c≥a>b C.b>c≥a D.c≥b>a 答案　D 解析　由a2＝2a＋c－b－1可得c－b＝(a－1)2≥0, 所以c≥b,当且仅当a＝1时,等号成立； 由a＋b2＋1＝0可得a＝－b2－1, 则b－a＝b2＋b＋1＝>0, 所以b>a,综上c≥b>a. 6.已知关于x的不等式ax2－x＋c>0的解集为{x|－2<x<1},则函数y＝ax2＋x＋c的图象为(　　) 答案　B 解析　由题意可知,a<0且 ∴ ∴函数y＝ax2＋x＋c＝－x2＋x＋2的图象为B项. 7.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤2} B.{a|－2<a<2} C.{a|－2<a≤2} D.{a|a<－2} 答案　C 解析　当a－2＝0,即a＝2时,不等式为－4<0,对∀x∈R恒成立. 当a≠2时,则即 解得－2<a<2. 综上,实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}. 8.材料：已知三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S＝其中p＝这个公式被称为海伦—秦九韶公式.根据材料解答：已知△ABC中,BC＝2,AB＋AC＝4,则△ABC面积的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D. 答案　D 解析　记a＝BC,b＝AC,c＝AB, 由题意a＝2,c＋b＝4,则p＝＝3,且p－a＝1, 故△ABC的面积S＝×≤× 当且仅当3－b＝3－c,即b＝c＝2时等号成立, 故△ABC面积的最大值为. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若实数a,b满足1<a<3,2<b<7,则下列结论中正确的有(　　) A.3<a＋b<10 B.1<b－a<4 C.2<ab<21 D.2<< 答案　AC 解析　因为1<a<3,2<b<7,所以3<a＋b<10,2<ab<21,故A,C正确； 因为1<a<3,所以－3<－a<－1,又2<b<7,所以－1<b－a<6,故B错误； 因为1<a<3,所以<<1,又2<b<7,所以<<7,故D错误. 10.已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1},则(　　) A.b>0且c<0 B.4a＋2b＋c＝0 C.不等式bx＋c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 答案　AC 解析　对于A,B,由题意可知则所以b>0且c<0,4a＋2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0, 故A正确,B错误； 对于C,不等式bx＋c>0⇔ax－2a＝a(x－2)>0⇒x>2,故C正确； 对于D,不等式cx2－bx＋a<0⇔－2ax2－ax＋a＝－a(2x－1)(x＋1)<0,又a>0, 可得(2x－1)(x＋1)>0,所以x>或x<－1,故D错误. 11.已知正实数x,y满足x＋＝4,下列说法正确的是(　　) A.的最大值是2 B.x－y的最大值是1 C.xy的最小值是2 D.＋y的最小值是2 答案　AD 解析　∵x>0,y>0,x＋＝4, ∴4－>0,解得y>∴0<x<4. x＋≥2即4≥2 解得0<≤2(当且仅当x＝2,y＝1时取最大值2),故A正确； x－y＝4－－y＝4－≤4－2(当且仅当y＝x＝4－时取最大值4－2),故B错误； 当x＝y＝时,满足x＋＝4,此时xy＝1,故C错误； ＋y＝×≥2(当且仅当x＝2,y＝1时取最小值2),故D正确. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.不等式≤1的解集是　　　　　　.  答案　{x|1<x≤6} 解析　由≤1得≤0, 故解得1<x≤6. 13.已知x>0,y>0,2x＋3y＝6,则xy的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为x>0,y>0,2x＋3y＝6, 所以xy＝(2x·3y) ≤· ＝×. 当且仅当2x＝3y,即x＝y＝1时,xy取得最大值. 14.某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件；若每件提价1元,则每天卖出件数将减少一件,为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　　　　　.(假设每件衬衫的售价是m)  答案　{m|45≤m≤65} 解析　设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40＋x)元, 则每天出售衬衫的净收入为(40＋x－30)(40－x)＝(－x2＋30x＋400)元, 由题可知,－x2＋30x＋400≥525, 整理得(x－25)(x－5)≤0, 解得5≤x≤25, 则45≤m≤65. 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)(1)若a,b>0,且ab＝a＋b＋3,求ab的最小值；(6分) (2)若a,b>0,且ab＝a＋b,求4a＋b的最小值.(7分) 解　(1)∵a,b>0,∴a＋b≥2 ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3. ∴ab－2－3≥0,∴(－3)(＋1)≥0.∵＋1>0,∴－3≥0. ∴≥3,∴ab≥9, 当且仅当a＝b＝3时,等号成立.所以ab的最小值为9. (2)∵a,b>0,且ab＝a＋b,∴＝1,即＝1, ∴4a＋b＝(4a＋b)＝5＋≥5＋2＝9, 当且仅当b＝2a,即a＝b＝3时,等号成立. 所以4a＋b的最小值为9. 16.(15分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3,不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围；(6分) (2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.(9分) 解　(1)若命题p为真命题,即方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根, 则有Δ＝(2m－4)2－4m＝4m2－20m＋16>0, 解得m<1或m>4. ∴实数m的取值范围为{m|m<1或m>4}. (2)若命题q为真命题,则对所有的2≤x≤3,不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13,只需2≤x≤3时,m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝(x－2)2＋9,2≤x≤3. ∴ymin＝9,∴m2≤9,解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时,实数m的取值范围为{m|－3≤m≤3}. ∵命题p,q一真一假, ∴若命题p为真命题,命题q为假命题,则有 解得m<－3或m>4； 若命题p为假命题,命题q为真命题,则有 解得1≤m≤3. 综上所述,当命题p,q一真一假时,实数m的取值范围为{m|m<－3或1≤m≤3或m>4}. 17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2－2x＋3≤0在x∈R上有解,求实数a的取值范围；(6分) (2)若关于x的不等式－2≤ax2－2x＋3≤2恰有一个实数解,求实数a的值(或取值范围).(9分) 解　(1)①当a＝0时,由－2x＋3≤0,解得x≥满足题意； ②当a<0时,令y＝ax2－2x＋3,则此二次函数的图象开口向下,满足题意； ③当a>0时,Δ＝4－12a≥0,解得a≤ 综上所述,实数a的取值范围为. (2)当a＝0时,－2≤－2x＋3≤2, 即≤x≤不满足条件,舍去； 当a≠0时,令y＝ax2－2x＋3, 若a>0,则函数y＝ax2－2x＋3的图象开口向上, ∴函数的最小值为2,∴＝2,∴a＝1； 若a<0,则函数y＝ax2－2x＋3的图象开口向下, ∴函数的最大值为－2, ∴＝－2,∴a＝(舍去), 综上所述,实数a的值为1. 18.(17分)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.若abc＝1,证明：<. 证明　∵a,b,c是不全相等的正数,且abc＝1, ∴ ∵2≤当且仅当b＝c时取等号, 2≤当且仅当a＝b时取等号, 2≤当且仅当a＝c时取等号, ∴以上三个不等式中至少有一个等号不成立, ∴2＋2＋2<2 即< ∴<. 19.(17分)现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元,x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月生产多少个人形机器人时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为多少万元？(8分) (2)若每个人形机器人的售价为万元,假设生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.(9分) 解　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元,根据题意有 y＝＋10≥2＋10＝30, 当且仅当即x＝100时取等号. 所以该企业每月生产100个人形机器人时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为30万元. (2)设月利润为W万元, 则有W＝x－1 000－10x－＋13x－1 000, 由题知＋13x－1 000≥400,整理得x2＋130x－14 000≥0,解得x≥70. 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人时,才能确保每月的利润不低于400万元. 学科网（北京）股份有限公司 $