第4章 周末练10 范围：§4.3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦对数函数，以题载法构建从定义运算到性质应用的逻辑链条，通过分层题型培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数定义与运算|题1,2,7,10|单选/多选/填空，直接考查定义、换底公式|从指数对数互化到运算性质，形成概念-运算逻辑| |函数性质|题3,4,8,9,12|定义域、分段函数、单调性比较、新定义|结合定义域、奇偶性等性质，构建性质应用体系| |图象与综合|题5,6,11,13|图象识别、不等式恒成立、反函数、解答题|从图象直观到代数推理，体现数形结合思想| |实际应用|题14|解答题，注意力指数模型|运用数学语言描述现实问题，发展应用意识|

周末练10　范围：§4.3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.若m2 025＝n(m>0,且m≠1),则(　　) A.logmn＝2 025 B.lognm＝2 025 C.log2 025m＝n D.log2 025n＝m 答案　A 解析　∵m2 025＝n(m>0,且m≠1), ∴logmn＝2 025. 2.若xlog34＝1,则4x－4－x等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵xlog34＝1,∴x＝＝log43,∴4x－4－x＝＝3－. 3.函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞,－4)∪(－4,1) B.(－∞,－1)∪(－1,4) C.(－∞,1) D.(1,＋∞) 答案　A 解析　∵⇒ ∴函数y＝的定义域为(－∞,－4)∪(－4,1). 4.已知函数f(x)＝若f(a)＝3,则f(a－2)等于(　　) A.－ B.3 C.－或3 D.－或3 答案　A 解析　当a>0时,若f(a)＝3,则log2a＋a＝3, 解得a＝2,满足a>0； 当a≤0时,若f(a)＝3,则4a－2－1＝3, 解得a＝3,不满足a≤0,舍去, 综上,a＝2. 故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－. 5.函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　) 答案　C 解析　由A选项中y＝x＋a的图象知a>1,而y＝logax为减函数,故A错误；由B选项中y＝x＋a的图象知0<a<1,而y＝logax为增函数,故B错误；由C选项中y＝x＋a的图象知0<a<1,且y＝logax为减函数,故C正确；由D选项中y＝x＋a的图象知a<0,而y＝logax无意义,故D错误. 6.当x∈(1,2)时,不等式(x－1)2<logax恒成立,则a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D. 答案　C 解析　设f1(x)＝(x－1)2,f2(x)＝logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x－1)2<logax恒成立,只需在(1,2)上f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立； 当a>1时,如图所示,要使在(1,2)上f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2－1)2≤loga2,所以loga2≥1,即1<a≤2. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.下列求值正确的是(　　) A.log927＝ B.若log27x＝－则x＝ C.lo81＝16 D.若logx16＝－4,则x＝－2 答案　ABC 解析　设x＝log927,则9x＝27,32x＝33, ∴2x＝3,∴x＝故A正确； ∵log27x＝－ ∴x＝2＝3－2＝故B正确； 设x＝lo81, 则()x＝81＝34, ∴＝4, ∴x＝16,故C正确； ∵logx16＝－4, ∴x－4＝16,即x4＝. 又x>0,∴x＝故D错误. 8.若1<m<n,下列不等式成立的是(　　) A.log3m<log3n B.4n<4m C.logm3<logn3 D.> 答案　AD 解析　因为y＝log3x是(0,＋∞)上的增函数,且1<m<n,所以log3m<log3n,故A正确；因为y＝4x在(1,＋∞)上单调递增,且1<m<n,故4m<4n,故B错误；取m＝3,n＝9,所以logm3＝log33＝1,logn3＝log93＝所以logm3>logn3,故C错误；y＝在(1,＋∞)上单调递减,且1<m<n,所以>故D正确. 9.已知函数f(x)＝log4(2x＋1)－log4(2x－1),则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数 C.f(x)的值域为(0,＋∞) D.不等式f(x)≥的解集为 答案　BCD 解析　依题意解得x> ∴f(x)的定义域为不关于原点对称, ∴f(x)为非奇非偶函数,A错误； f(x)＝log4＝log4 ∵y＝1＋为减函数, ∴f(x)为减函数,B正确； 又2x－1>0,∴1＋>1, ∴log4>log41＝0,故f(x)>0, ∴f(x)的值域为(0,＋∞),C正确； 由f(x)≥得log4≥＝log42, 故解得<x≤ 故不等式的解集为D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.已知m>0,且10x＝lg(10m)＋lg 则x＝　　　　.  答案　0 解析　lg(10m)＋lg ＝lg＝1,所以10x＝1＝100,所以x＝0. 11.已知函数y＝f(x)存在反函数y＝g(x),若函数y＝f(x)＋2x的图象经过点(1,6),则函数y＝g(x)＋log2x的图象必经过点　　　　　　.  答案　(4,3) 解析　由y＝f(x)＋2x的图象经过点(1,6),得6＝f(1)＋2,f(1)＝4, 故f(x)的反函数g(x)的图象经过点(4,1), 所以y＝g(4)＋log24＝1＋2＝3,故函数y＝g(x)＋log2x的图象必经过点(4,3). 12.★★已知函数y＝f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(－x)＝－f(x),则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(2] 解析　因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数, 所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立, 所以m－2>0,即m>2, 由局部奇函数的定义,存在x∈[－2,2], 使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m), 即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0,所以存在x∈[－2,2], 使得m2－x2＝1,即m2＝x2＋1, 又因为x∈[－2,2],所以x2＋1∈[1,5], 所以m2∈[1,5], 即m∈[－－1]∪[1], 综上,m的取值范围是(2]. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数. (1)求实数k的值；(6分) (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1).(7分) 解　(1)∵f(x)是偶函数, ∴f(－x)＝f(x), 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立, ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1) ＝log3＝log33－2x＝－2x, ∴k＝－1. (2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x), 则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x ≥7·3x－1>0, 由7·3x－1>0,解得x>－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1, 得6·(3x)2－3x－1≤0, 得0<3x≤ 即x≤－log32, 综上,不等式的解集为{x|－log37<x≤－log32}. 14.(14分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数y＝－(t－12)2＋83图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y＝loga(t－5)＋84(a>0,且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p不小于81时听课效果最佳. (1)试求p＝f(t)的函数关系式；(6分) (2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.(8分) 解　(1)因为y＝－(t－12)2＋83, 所以当t＝14时,y＝－(14－12)2＋83＝82, 又因为点(14,82)在y＝loga(t－5)＋84(a>0,且a≠1)的图象上, 所以loga(14－5)＋84＝82, 即loga9＝－2,即a－2＝9,解得a＝ 所以y＝lo(t－5)＋84, 所以f(t)＝ (2)当t∈(0,14]时,－(t－12)2＋83≥81, 解得12－2≤t≤12＋2 此时t∈[12－214]； 当t∈(14,40]时,lo(t－5)＋84≥81, 解得14<t≤32,此时t∈(14,32], 综上,当t∈[12－232]时,学生听课效果最佳, 此时Δt＝32－(12－2)＝20＋2>22, 所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完. 学科网（北京）股份有限公司 $