第3章 周末练7 范围：§3.1～3.2.1（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，以题载法构建从定义到应用的逻辑链条，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念|1-3题|定义域：列不等式组；同一函数：三要素（定义域、对应关系、值域）|从集合运算切入，构建函数概念生成逻辑| |函数性质|5、13题|分段函数最值：分段求导/单调性；单调性证明：定义法（作差变形定号）|性质推导基于概念，应用回归定义| |抽象函数|6、9题|构造函数法（如g(x)=xf(x)）；利用单调性解不等式|通过转化思想，建立抽象与具体的联系| |实际应用|14题|数学建模：分段函数表达价格与交易量关系|体现数学语言描述现实世界的应用意识|

周末练7　范围：§3.1~3.2.1 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使f(x)有意义,只需满足 即x≤且x≠0. 2.和函数f(x)＝x2是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝(x＋1)2 B.f(x)＝x· C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案　D 解析　f(x)＝x2的定义域为R,值域为[0,＋∞), 对于A,f(x)＝(x＋1)2与f(x)＝x2的对应关系不同,故不是同一个函数； 对于B,f(x)＝x·的值域为R,故不是同一个函数； 对于C,f(x)＝的定义域为{x|x≠0},故不是同一个函数； 对于D,f(x)＝即f(x)＝所以f(x)＝x2,故与f(x)＝x2是同一个函数. 3.已知集合A＝{x|y＝},B＝{y|y＝x2＋1},则A∩(∁RB)等于(　　) A.[0,1) B.(－∞,1) C.[－1,1) D.[－1,1] 答案　C 解析　因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}＝[－1,＋∞), B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝[1,＋∞), 所以∁RB＝(－∞,1), 所以A∩(∁RB)＝[－1,1). 4.已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x),则函数g(x)的图象是(　　) 答案　D 解析　因为g(x)＝－f(x),所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称, 由f(x)的解析式,作出f(x)的图象如图所示, 从而可得g(x)的图象为D选项. 5.函数f(x)＝的最小值为(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案　A 解析　当x<0时,函数f(x)＝|x＋1|在x＝－1处取得最小值,最小值为f(－1)＝0； 当x≥0时,函数f(x)＝x2－2x在x＝1处取得最小值,最小值为f(1)＝－1. 综上可得,f(x)的最小值为－1. 6.★★定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足<0,且f(2)＝4,则不等式f(x)－>0的解集为(　　) A.(4,＋∞) B.(0,4) C.(0,2) D.(2,＋∞) 答案　C 解析　由题意,设g(x)＝xf(x),x>0, 因为<0, 即<0, 所以函数g(x)是减函数, 不等式f(x)－>0,即>0, 因为x∈(0,＋∞), 所以不等式等价于xf(x)－8>0,即xf(x)>8, 又f(2)＝4,则g(2)＝2·f(2)＝8, 所以不等式xf(x)>8的解集为(0,2). 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.已知函数f(＋1)＝2x＋－1,则(　　) A.f(3)＝9 B.f(x)＝2x2－3x(x≥0) C.f(x)的最小值为－1 D.f(x)的图象与x轴有1个交点 答案　ACD 解析　令t＝＋1≥1,得＝t－1,则x＝(t－1)2,得f(＋1)＝f(t)＝2t2－3t,故f(x)＝2x2－3x,x∈[1,＋∞),f(3)＝9,A正确,B错误. f(x)＝2x2－3x＝2所以f(x)在[1,＋∞)上单调递增, f(x)min＝f(1)＝－1,f(x)的图象与x轴只有1个交点,C正确,D正确. 8.符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]＝3,[－1.6]＝－2,定义函数：f(x)＝x－[x],则下列结论正确的是(　　) A.f(－0.8)＝0.2 B.当1≤x<2时,f(x)＝x－1 C.函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1) D.函数f(x)是增函数 答案　ABC 解析　对于A项,f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8－(－1)＝0.2,故A正确； 对于B项,当1≤x<2时,[x]＝1,则f(x)＝x－1,故B正确； 对于C项,函数f(x)的定义域为R,因为[x]表示不超过x的最大整数,所以0≤x－[x]<1,故C正确； 对于D项,f(－1)＝－1－[－1]＝－1－(－1)＝0,f(－1.5)＝－1.5－[－1.5]＝－1.5－(－2)＝0.5,f(1.5)＝1.5－[1.5]＝1.5－1＝0.5,因为f(－1.5)>f(－1),f(－1.5)＝f(1.5)＝0.5, 所以函数f(x)不是增函数,故D错误. 9.★★已知f(x)＝x2＋x＋c(c>0),下列说法正确的是(　　) A.若y＝的定义域为R,则c≥ B.若x∈[－1,b](b>0)时,f(x)∈则b＋c＝1 C.若f(t)<0,则f(t＋1)>0 D.若f(a)>f则－|b|>0 答案　ACD 解析　y＝的定义域为R,则x2＋x＋c≥0恒成立, 所以Δ＝1－4c≤0,则c≥故A正确； 因为函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－ 所以当x∈时,f(x)单调递减, 当x∈时,f(x)单调递增, 所以f(x)min＝f 解得c＝1, 又因为f(－1)＝1,b>0且f(x)∈ 所以f(b)＝3,解得b＝1(负根舍去), 所以b＋c＝2,故B不正确； 由于f(0)＝c>0,f(－1)＝c>0,且f(x)图象的对称轴为直线x＝－ 若f(t)<0,则－1<t<0, 所以t＋1>0,而f(x)在[0,＋∞)上单调递增, 所以f(t＋1)>f(0)＝c>0,故C正确； 若f(a)>f  又函数图象开口向上,对称轴为直线x＝－. 所以>即－|b|>0,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.已知函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的增函数,则f(x2)>f(－x)的解集是　　　　　.  答案　[－－1)∪(0] 解析　由函数y＝f(x)在[－2,2]上单调递增,且f(x2)>f(－x), 得 解得－≤x<－1或0<x≤. 11.已知函数f(x)＝设a＝f(f(－1)),b＝f(f(1)),则a与b的大小关系是 　　　.  答案　a>b 解析　因为f(x)＝ 所以a＝f(f(－1))＝f(0)＝π,b＝f(f(1))＝f(3×12－4)＝f(－1)＝0,所以a>b. 12.若函数f(x)＝(k>0)在[4,5]上的最大值为1,则k的值为　　　　.  答案　3 解析　因为f(x)＝(k>0)的图象是由y＝(k>0)的图象向右平移1个单位长度得到,即f(x)＝(k>0)在(1,＋∞)上单调递减,所以f(x)＝(k>0)在[4,5]上单调递减,所以f(x)max＝f(4)＝＝1,解得k＝3. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)＝ax＋的图象经过点A(1,0),B. (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)判断函数f(x)在(0,＋∞)上的单调性并用定义证明；(4分) (3)求f(x)在区间上的最值.(5分) (1)解　因为函数f(x)＝ax＋的图象过点A(1,0),B 所以解得 因此f(x)＝－x＋. (2)证明　函数f(x)＝－x＋在(0,＋∞)上单调递减,证明如下： 设任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝＝(x2－x1)＋ 因为x2>x1>0,所以x2－x1>0,x1x2>0, 所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 因此函数f(x)＝－x＋在(0,＋∞)上单调递减. (3)解　由(2)知,函数f(x)＝－x＋在上单调递减,所以f(x)min＝f(1)＝0,f(x)max＝f即f(x)在区间上的最小值为0,最大值为. 14.(14分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在如图所示中的两条线段上.该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示： 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(5分) (2)根据表中数据,确定该股票日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；(4分) (3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求出在这30天中第几天日交易额最大,最大是多少.(5分) 解　(1)由图象知,前20天满足递增的直线方程,且过(0,2),(20,6)两点,易求得直线方程为P＝t＋2.从第20天到第30天满足递减的直线方程,且过(20,6),(30,5)两点,易求得直线方程为P＝－t＋8.故函数关系式为 P＝ (2)由表易知,Q与t满足一次函数关系式, 即Q＝－t＋40,0<t≤30,t∈N. (3)由(1)(2)可知, y＝ 当0<t<20且t＝15时,ymax＝125； 当20≤t≤30时,y随t的增大而减小, 所以当t＝20时,ymax＝120.因为120<125, 所以这30天中第15天的日交易额最大,最大值为125万元. 学科网（北京）股份有限公司 $