第4章 4.5.1 几种函数增长快慢的比较（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦一次函数、指数函数、对数函数增长快慢的比较，从投资方案的现实问题导入，通过画图象探究差异，再以表格系统梳理三种函数的增减性、图象变化及增长速度，结合例题与训练形成完整学习支架。 以“投资回报”情境激发兴趣，通过表格对比和图象直观呈现函数增长差异，问题驱动式例题培养分析推理能力。体现用数学眼光观察现实、用数学思维推理规律，课中助力教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺。

4.5.1　几种函数增长快慢的比较 学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义. 导语 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、几个函数模型增长快慢的比较 问题　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异. 提示　一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢. 知识梳理　三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3)一次函数增长速度不变，平稳变化. (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 例1　(1)下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 025x B.y＝x2 025 C.y＝log2 025x D.y＝2 025x 答案　A 解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快. (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 答案　C 解析　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，知指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数. 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)一次函数模型：一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度最快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数y＝xα(α>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x2 D.y＝6x 答案　B 解析　D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意. 二、函数增长速度的比较 例2　(课本例2)比较y＝x1.000 1和y＝100x＋1 000在区间[0，＋∞)上增长的快慢. 解　当x>1 000时，有101x>100x＋1 000，因而有>. 于是，对任意正数M>1，当x>(101M)10 000>1 000时，有 x1.000 1＝x0.000 1·x>[(101M)10 000]0.000 1·x＝M·101x>M(100x＋1 000). 这表明无论M多大，当x大到一定程度，y＝x1.000 1就会比y＝100x＋1 000的M倍还大. 例2　已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由. 解　(1)由指数函数与幂函数的增长速度知， C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x. (2)依题意知x1，x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值， 当x<x1时，2x>x3，即f(x)>g(x)； 当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x). 因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(1)>g(1)，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，f(2)<g(2)， 所以x1∈[1，2]，即a＝1. 因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)<g(8)， f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)<g(9)， f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)>g(10)， 所以x2∈即b＝9. 反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练2　(1)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A.当x>1时，乙在最前面 B.当x>1时，丙在最前面 C.当0<x<1时，丁在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲 答案　D 解析　甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以A不正确；当x＝2时，f2(2)＝4，f3(2)＝2，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，所以C不正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲，所以D正确. (2)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 答案　B 解析　在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D， 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C. 能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B. 1.知识清单：三种函数模型：一次函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1.01 0.01 0.98 2.00 则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　) A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x 答案　D 解析　将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A； 将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意. 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 答案　B 解析　根据题意，得函数解析式为 y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x>0)， 所以函数为指数函数， 因为指数函数的底数1.104>1， 所以函数单调递增，且过点(0，1). 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数y＝lox减小的速度越来越慢 B.在指数函数y＝ax(a>1)中，当x>0时，底数a越大，其增长速度越快 C.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100 D.当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)内，对任意的x，总有logax<kx<ax成立 答案　AB 解析　C项，y＝1.1x为指数函数，y＝x100为幂函数， ∴存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100，故C错误； D项，当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)内，存在x，使得logax<kx<ax成立，故D错误；A，B显然正确. 4.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　) A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 答案　D 解析　若投资3天以内(含3天)，由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一； 若投资4天，方案三回报最小，故不采用； 若投资6天，方案一为40×6＝240(元)，方案二为10＋20＋…＋60＝210(元)，故采用方案一； 若投资12天，易知采用方案三回报最大. 5.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 答案　B 解析　由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2，所以y3最小，由函数y1＝2x，y2＝x2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2＝x2的图象恒在函数y1＝2x的图象上方，所以y2>y1>y3. 6.下面对函数f(x)x与g(x)在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的是(　　) A.f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 答案　C 解析　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢. 7.(5分)当x∈(1，e)时，试探究三个函数y＝3x，y＝ln x，yx的增长差异，用“>”把它们的大小关系连接起来为　　　　　　　　　　.  答案　3x>x>ln x 8.(5分)若x∈(0，＋∞)，则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是　　　　，使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是　　　　.  答案　(2，4)　(0，2)∪(4，＋∞) 解析　在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在(0，＋∞)上的图象如图所示. 由图得，若log2x<2x<x2，则2<x<4， 若log2x<x2<2x，则0<x<2或x>4. 9.(11分)函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；(5分) (2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.(6分) 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 10.(12分)每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？ 解　方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米). 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二较好. 11.下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b>0)来模拟的是(　　) 答案　C 解析　由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 12.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　) A.33分钟 B.40分钟 C.43分钟 D.50分钟 答案　C 解析　由题意得 解得am＝0.05，故h(t)＝0.05× 令h(t)＝0.05×1，得20， 故t≈≈43(分钟). 13.(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的信息，其中正确的是(　　) A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样 答案　AB 解析　看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故B正确；由图知骑摩托车者的速度是40 km/h，骑摩托车者出发1 h后与骑自行车者的距离为10 km，骑自行车者后2小时的速度为15 km/h，故骑摩托车者还需要0.4(h)追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发1.4 h后追上了骑自行车者，C错误；D显然错误. 14.(5分)某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产. 以上说法中正确的是　　　　.(填序号)  答案　①③ 解析　从图可以看出，工厂在前3年增长速度越来越快，3年后，产品停止生产.故①③正确. 学科网（北京）股份有限公司 $