第4章 4.4.1 方程的根与函数的零点（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“方程的根与函数的零点”核心知识点，以具体方程与函数实例为起点，系统梳理函数零点的定义、零点存在定理、零点个数判断及方程解的分布，构建从概念理解到定理应用再到综合问题解决的学习支架。 该资料以问题驱动教学，结合中国古代数学家成就渗透数学文化，通过数形结合（如函数图象分析零点）、逻辑推理（利用定理与单调性判断零点）培养学生数学眼光与思维。例3通过单调性及零点存在定理判断零点个数，课中助力教师引导探究，课后跟踪训练与课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.4.1　方程的根与函数的零点 学习目标　1.了解函数零点存在定理.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 导语 同学们,我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法,比如：《九章算术》就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法；北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法,今天,让我们站在这些数学巨人的肩上,来探究方程的根与函数零点的关系吧. 一、求函数的零点 问题1　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系. 提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1,3,函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0),(3,0)； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根,为1,函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一的交点(1,0)； x2－2x＋3＝0没有实数根,函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点. 问题2　问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 提示　不是,零点不是点,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标. 知识梳理　函数零点的定义 (1)对于一般函数y＝f(x),把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点. (2)求方程f(x)＝0的实数根,就是确定函数y＝f(x)的零点. (3)函数y＝f(x)的零点,也就是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标. 注意点：函数的零点是一个数,不是点. 例1　判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝2x－1－3； (3)f(x)＝ 解　(1)令f(x)＝x2＋7x＋6＝0, 得x＝－1或x＝－6, 所以函数f(x)存在零点,零点是－1,－6. (2)令f(x)＝2x－1－3＝0,得x＝log26, 所以函数f(x)存在零点,零点是log26. (3)当x≤0时,令x2＋2x－3＝0,解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时,令－2＋ln x＝0,解得x＝e2. 所以函数f(x)＝存在零点,零点为－3和e2. 反思感悟　探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1　(1)函数y＝1＋的零点是(　　) A.(－1,0) B.－1 C.1 D.0 答案　B 解析　　令1＋＝0, 解得x＝－1. (2)若一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2,则函数g(x)＝bx2－kx的图象可能是(　　) 答案　B 解析　因为一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2, 所以－2k＋b＝0(k≠0),即b＝2k, 对于g(x)＝bx2－kx,令g(x)＝0,则bx2－kx＝0,则x(bx－k)＝0, 即x(2kx－k)＝0,解得x＝0或x＝0.5, 所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项. 二、函数零点的存在问题 问题3　探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况,并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？ 提示　利用图象可知,零点－5∈(－6,－4),零点1∈(0,2),且f(－6)·f(－4)<0,f(0)·f(2)<0,且函数图象在零点附近是连续不断的.再比如：函数f(x)＝2x－1的零点为∈(0,1),且有f(0)·f(1)<0；函数f(x)＝log2(x－1)的零点为2,2∈且有f ·f(3)<0,且以上函数在零点附近的图象也都是连续的. 知识梳理　函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0.进一步，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则可断定：方程f(x)=0在(a，b)内只有一个根. 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0. (2)闭区间[a,b]上的连续函数y＝f(x),f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分而不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y＝x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点. 例2　(1)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点 答案　C 解析　由题知f(0)·f(1)<0, 所以根据函数零点存在定理可得,f(x)在区间(0,1)上一定有零点, 又f(1)·f(2)>0, 因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点. (2)根据表格中的数据,可以判断方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案　C 解析　设f(x)＝ex－x－2,由表格中的数据得, f(－1)＝－0.63<0,f(0)＝－1<0, f(1)＝－0.28<0,f(2)＝3.39>0, f(3)＝15.09>0, 所以f(1)f(2)<0, 又f(x)的图象是连续不断的, 所以f(x)在(1,2)内有零点. 反思感悟　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练2　函数f(x)＝x3－5的零点所在的区间是(　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案　A 解析　由函数f(x)＝x3－5, 可得f(1)＝1－5＝－4<0,f(2)＝8－5＝3>0, 故有f(1)f(2)<0, 又f(x)是单调函数,且其图象连续不断, 所以根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在的区间为(1,2). 三、函数零点的个数问题 问题4　根据零点存在定理可以判断一个函数是否有零点,但零点个数是怎么判断的呢？ 提示　可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数,对于一般的函数可利用函数图象判断与x轴的交点个数. 例3　(课本例1)讨论函数f(x)＝2x3－5在区间(1，2)内零点的个数. 解　由于f(1)＝－3<0，f(2)＝11>0，又f(x)＝2x3－5是单调递增函数，因此，函数f(x)在区间(1，2)内只有一个零点. 例3　判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)＝x2－x＋； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解　(1)由f(x)＝0,即x2－x＋＝0, 得Δ＝－4×＝－<0, 所以方程x2－x＋＝0没有实数根, 即f(x)零点的个数为0. (2)方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0, 所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图). 由图象知,函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根, 即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点. 方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0, f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0, 所以f(1)·f(2)<0, 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1,2]上是连续的, 所以f(x)在(1,2)内必有零点,又f(x)在(0,＋∞)上单调递增,所以只有一个零点. 反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数. (3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判断y＝f(x)在(a,b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 跟踪训练3　(1)函数f(x)＝－x3－2在区间(－1,0)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为函数f(x)＝－x3－2为减函数, 又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0, f(0)＝－03－2＝－1<0, f(－1)·f(0)<0. 故函数f(x)在区间(－1,0)内的零点个数是1. (2)已知函数f(x)＝若k>0,则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　方法一　令y＝|f(x)|－1＝0,得|f(x)|＝1, 即f(x)＝1或f(x)＝－1. 当x>0时,由ln x＝1或ln x＝－1, 得x＝e或x＝； 当x≤0时,由kx＋2＝1或kx＋2＝－1,得x＝－<0或x＝－<0. 则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是4. 方法二　y＝f(x)的图象如图1所示, 故y＝|f(x)|的图象如图2所示. 令y＝|f(x)|－1＝0,即|f(x)|＝1,即y＝|f(x)|的图象与直线y＝1有4个交点, 故函数直线y＝|f(x)|－1的零点个数是4. 四、方程的解的个数与分布 例4　(课本例2)讨论方程2－x＝log2x的解的个数与分布情况. 解　考察函数f(x)＝log2x－2－x,x∈(0,＋∞),其零点就是方程2－x＝log2x的解. 计算得：f(1)＝log21－2－1＝－0.5<0, f(2)＝log22－2－2＝0.75>0, 可见f(x)＝log2x－2－x在(1,2)内有零点. 另一方面,由于log2x单调递增而－2－x也单调递增(因为2－x单调递减),因此f(x)＝log2x－2－x单调递增,所以f(x)＝log2x－2－x在(1,2)内恰有一个零点. 由图可看出,函数y＝2－x与y＝log2x的图象只在区间(1,2)内有一个交点,所以原方程有且只有一个解,且此解在区间(1,2)上. 例4　讨论下列方程解的个数与分布情况： (1)ln x＝－2x＋6； (2)＝x2－2x. 解　(1)由题得ln x＋2x－6＝0, 由于函数f(x)＝ln x＋2x－6是增函数, 且f(2)＝ln 2－2<0,f(3)＝ln 3>0,f(2)f(3)<0, 所以原方程的解只有一个,且此解在区间(2,3)上. (2)作函数的图象,如图所示, 所以方程的解有两个. 令g(x)＝－x2＋2x, 所以g(0)g(－1)＝1×<0, g(2)g(3)＝×<0,所以原方程有两个解,且分别位于区间(－1,0),(2,3)上. 反思感悟　讨论方程解的个数与分布 (1)构造函数,根据零点存在定理判断零点是否存在. (2)结合函数的单调性判断零点个数. (3)结合函数图象将方程的解的问题转化为函数图象交点问题. 跟踪训练4　讨论方程x3－3x＋1＝0解的个数与分布情况. 解　设f(x)＝x3－3x＋1, ∵f(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0, f(－1)＝－1＋3＋1＝3>0, f(0)＝1>0, f(1)＝1－3＋1＝－1<0, f(2)＝8－6＋1＝3>0. ∴f(x)＝x3－3x＋1在区间(－2,－1),(0,1)和(1,2)内各有一个零点. 由于f(x)＝x3－3x＋1＝x(x2－3)＋1在(－∞,－2]上为负,在[2,＋∞)上为正, 故只有这三个零点, 因此原方程有三个解,且分别位于区间(－2,－1),(0,1)和(1,2)上. 1.知识清单： (1)函数的零点与方程的解的关系. (2)函数零点存在定理. (3)函数零点个数的判断. (4)方程的解的个数及分布. 2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法. 3.常见误区： (1)零点理解成点. (2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共24分 1.若函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是(　　) A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)＝0 B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)＝0 C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)＝0 D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)＝0 答案　C 解析　对于选项A,C,可能存在；对于选项B,D,必存在但不一定唯一. 2.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　函数f(x)＝x2－2x的零点个数,等价于函数y＝2x,y＝x2的图象的交点个数.如图,画出函数y＝2x,y＝x2的大致图象. 由图象可知有3个交点,即f(x)＝x2－2x有3个零点. 3.已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.不能确定 答案　A 解析　因为奇函数的图象关于原点对称, 所以若f(x)有三个零点,则其和必为0. 4.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.0 B.－2,0 C. D.0 答案　D 解析　当x≤1时,令2x－1＝0,得x＝0. 当x>1时,令1＋log2x＝0,得x＝(舍). 综上所述,函数f(x)的零点为0. 5.(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　) 答案　CD 解析　根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标, 选项A中的图象与x轴没有交点,即函数没有零点； 选项B中的函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点； 选项C,D中的函数图象与x轴均有两个交点,即函数有两个零点. 6.(多选)函数y＝lg x－x＋1的零点所在的区间可以是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案　AC 解析　求函数y＝lg x－x＋1的零点,令0＝lg x－x＋1,即lg x＝x－1, 分别画出函数y1＝lg x与函数y2＝x－1的图象,如图, 得到两图象有两个公共点,即y＝lg x－x＋1有两个零点, 区间(0,1)上的零点显而易见. 令f(x)＝lg x－x＋1,f(2)＝lg 2－×2＋1＝lg 2>0, 所以f(2)>0, f(3)＝lg 3－×3＋1＝lg 3－(lg 9－1)<0, 所以f(2)·f(3)<0,则f(x)在(2,3)上存在零点. 7.(5分)已知函数f(x)＝x2＋x－1的两个零点分别为x1和x2,则x2＋x1的值为　　　　.  答案　1 解析　因为函数f(x)＝x2＋x－1的两个零点分别为x1和x2, 所以x1和x2是x2＋x－1＝0的两个实数根, 所以x1＋x2＝－1,x1x2＝－1, 所以x2＋x1＝x1x2(x1＋x2)＝－1×(－1)＝1. 8.(5分)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是　　　　.  答案　2 解析　函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数,即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象,如图, 由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2. 9.(8分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出其零点. (1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2分) (2)f(x)＝x4－x2；(2分) (3)f(x)＝4x＋5；(2分) (4)f(x)＝log3(x＋1).(2分) 解　(1)令－x2＋2x－1＝0,解得x1＝x2＝1, 所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1. (2)令f(x)＝x4－x2＝x2(x－1)(x＋1)＝0, 解得x＝0或x＝1或x＝－1, 故函数f(x)＝x4－x2的零点为0,－1和1. (3)令4x＋5＝0,则4x＝－5, 因为4x>0,－5<0,所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点. (4)令log3(x＋1)＝0,解得x＝0, 所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0. 10.(11分)函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2,判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 解　∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点, ∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解, ∴－1＋2＝－a,－1×2＝b,即a＝－1,b＝－2. ∴g(x)＝－x3－2x＋4. ∵g(1)＝1,g(2)＝－8,g(1)g(2)<0, ∴y＝g(x)在区间(1,2)内有零点. 又∵y＝g(x)在R上是单调函数, ∴y＝g(x)只有一个零点. 综上可知,函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2). 11.已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下对应值,则下列说法正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 A.函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点 B.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点 C.函数y＝f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点 D.函数y＝f(x)在区间[1,2]上无零点 答案　B 解析　由表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0. 由函数零点存在定理,知函数y＝f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 虽然f(1)·f(2)>0,但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在零点. 12.(多选)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,其零点分别为x1,x2,x3,…,x2 025,若x1＋x2＋x3＋…＋x2 025＝m,则关于x的方程2x－x－3＝m的解所在的区间是(　　) A.(－3,－2) B.(－2,－1) C.(1,2) D.(2,3) 答案　AD 解析　因为函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数,故其零点x1,x2,x3,…,x2 025对应的点关于原点对称,且f(0)＝0, 所以x1＋x2＋x3＋…＋x2 025＝m＝0,则关于x的方程为2x－x－3＝0. 分别画出函数y＝2x和函数y＝x＋3的图象,如图, 则由图象可知两函数有两个交点, 令h(x)＝2x－x－3,则h(x)有两个零点, 因为h(－3)＝2－3＋3－3＝>0,h(－2)＝2－2＋2－3＝－<0, h(－1)＝2－1＋1－3＝－<0, h(1)＝21－1－3＝－2<0,h(2)＝22－2－3＝－1<0,h(3)＝23－3－3＝2>0, 所以关于x的方程2x－x－3＝m的解所在的区间是(－3,－2),(2,3). 13.方程－|lox|＝0的解的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.2或3或4 答案　A 解析　方程－|lox|＝0的解的个数,等价于函数y＝和函数y＝|lox|的图象的交点个数,作出两函数的图象,如图所示. 数形结合可得,函数y＝和函数y＝|lox|的图象的交点个数为2, 故方程－|lox|＝0的解的个数为2. 14.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)＝则方程f(x)＝的所有实数根之和为　　　　　　　.  答案　－1 解析　由题意得,方程f(x)＝的根是函数f(x)的图象与直线y＝的交点的横坐标. 根据分段函数的解析式,以及f(x)是定义在R上的奇函数,作出函数图象如图,易知f(x)的图象与直线y＝共有5个交点,设交点为A,B,C,D,E, 根据f(x)＝|x－3|－1(x≥1)的对称性可得xD＋xE＝6, 根据f(x)是奇函数得,xA＋xB＝－6, ∴xA＋xB＋xD＋xE＝－6＋6＝0. 由log2(x＋1)＝得,xC＝－1, ∴xA＋xB＋xC＋xD＋xE＝－1. 15.(多选)函数f(x)＝若x1<x2,且f(x1)＝f(x2),则(　　) A.0<x1< B.2x1x2＝x1＋x2 C.x1x2>1 D.x1＋x2>2 答案　BCD 解析　作出函数f(x)的图象,如图, 由图可知,0<x1<1<x2, 由f(x1)＝f(x2)知－1＝1－即＝2, 即2x1x2＝x1＋x2,得x1＝>故A错误,B正确； 由2x1x2＝x1＋x2,得x1x2＝>即x1x2－>0,所以x1x2>1,故C正确； 所以x1＋x2＝2x1x2>2,故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式；(4分) (2)画出函数f(x)的图象,并写出单调区间；(4分) (3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点,求实数m的取值范围.(4分) 解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数, 则f(0)＝0； 当x<0时,－x>0,因为f(x)是奇函数, 所以f(－x)＝－f(x). 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)] ＝－x2－2x. 综上,f(x)＝ (2)图象如图所示, 单调递增区间为(－∞,－1],[1,＋∞)；单调递减区间为(－1,1). (3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解,由图象可知, －1<m<1,即m∈(－1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $