第4章 4.2.2 第1课时 指数函数的图象与性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的图象与性质这一核心知识点，前承指数函数定义，通过列表描点画图、性质对比表格等学习支架，引导学生掌握定义域、值域、单调性等关键性质，为后续应用学习奠定基础。 该资料以问题链驱动探究，通过画图分析培养几何直观（数学眼光），例题与跟踪训练结合提升推理能力（数学思维）。课中助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

4.2.2　指数函数的图象与性质 第1课时　指数函数的图象与性质(一) 学习目标　1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. 导语 请同学们口答指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说,函数的图象与性质紧密联系,图象可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图象和性质. 一、指数函数的图象与性质 问题1　用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再画出指数函数y＝2x与y＝的图象. x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝2x y＝ 提示　(1)　　　1　2　4　8　8　4　2 1　　　 (2)y＝2x和y＝的图象如图所示. 问题2　通过图象,分析y＝2x与y＝的性质并完成下列表格. 函数 y＝2x y＝ 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 特殊点 y的变化情况 当x<0时,　 　；  当x>0时,　　  当x<0时,　　　　；  当x>0时,　　　  提示　x∈R　x∈R　(0,＋∞)　(0,＋∞)　增函数　减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数　非奇非偶函数　(0,1)　(0,1)　0<y<1　y>1　y>1　0<y<1 问题3　比一比y＝2x与y＝的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称. 问题4　再选取底数a＝3,a＝4,a＝a＝在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势,它们有哪些共性？ 提示　 画出函数图象,如图所示. 观察图象知,y＝ax与y＝的图象关于y轴对称. 知识梳理　指数函数的图象和性质 y＝ax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,＋∞) 最值 无最值 过定点 函数图象过定点(0,1),即a0＝1 函数值 的变化 当x<0时,0<y<1； 当x>0时,y>1 当x>0时,0<y<1； 当x<0时,y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时,有a0＝1,故过定点(0,1). (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴. (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 例1　如图是指数函数①y＝ax,②y＝bx,③y＝cx,④y＝dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案　B 解析　作直线x＝1(图略),由下到上分别与②,①,④,③相交,所以b<a<1<d<c. 反思感悟　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时,图象的大体形状. (2)在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”. 跟踪训练1　已知0<m<n<1,则指数函数①y＝mx,②y＝nx的图象为(　　) 答案　C 解析　由于0<m<n<1,故排除A,B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略),交点在下面的是函数y＝mx的图象. 二、与指数函数有关的定义域(值域)问题 例2　求下列函数的定义域、值域： (1)y＝32x＋1；(2)y＝23－x；(3)y＝. 解　(1)函数的定义域为R, ∵x∈R,∴2x＋1∈R, ∴函数y＝32x＋1的值域为(0,＋∞). (2)函数的定义域为R, ∵x∈R,∴3－x∈R, ∴函数y＝23－x的值域为(0,＋∞). (3)由x－1≠0得x≠1, ∴函数的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), ∴≠0≠1, ∴函数的值域为(0,1)∪(1,＋∞). 反思感悟　定义域：形如y＝af(x)的函数的定义域是使得f(x)有意义的x取值的集合. 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域时要注意分类讨论. 跟踪训练2　求函数y＝的定义域、值域. 解　函数的定义域为R. ∵y＝＝1－ 又∵3x>0,∴1＋3x>1, ∴0<<1, ∴－1<－<0, ∴0<1－<1, ∴函数的值域为(0,1). 三、指数函数图象的应用 例3　(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(－1,4),则m＋n等于(　　) A.3 B.1 C.－1 D.－2 答案　C 解析　由题意得 解得∴m＋n＝－1. (2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为(　　) A.t≤－1 B.t<－1 C.t≤－3 D.t≥－3 答案　C 解析　函数g(x)＝3x＋1＋t的图象过点(0,3＋t),且g(x)为增函数,要使g(x)的图象不经过第二象限,则3＋t≤0,解得t≤－3. 反思感悟　与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”. 跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是　　　　.  答案　(－1,－1) 解析　因为y＝ax的图象过定点(0,1), 所以令x＋1＝0,即x＝－1, 则f(－1)＝－1, 故f(x)＝2ax＋1－3的图象恒过定点(－1,－1). (2)已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围. 解　函数y＝|2x－2|的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1). 1.知识清单： (1)指数函数的图象. (2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点. (3)指数函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题,要使f(x)＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共6分 1.函数y＝2x＋1的图象是(　　) 答案　A 解析　当x＝0时,y＝2,且函数单调递增. 2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81),则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案　B 解析　设f(x)＝ax(a>0,且a≠1), 由题意得a4＝81,解得a＝3,∴f(x)＝3x. 3.函数y＝－1的定义域是(　　) A.R B.{x|x≠1} C. {x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1} 答案　C 解析　要使y＝－1有意义, 只需有意义,即x≠0. 4.当x∈[－2,2)时,y＝3－x－1的值域是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　y＝3－x－1在[－2,2)上单调递减, ∴3－2－1<y≤32－1,即－<y≤8. 5.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(－∞,0) B.(0,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,1) 答案　C 解析　函数f(x)＝的图象如图, 显然函数f(x)在R上单调递减, ∵f(x＋1)<f(2x), ∴x＋1>2x, 解得x<1. 6.(多选)若a>1,－1<b<0,则函数y＝ax＋b的图象一定过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　ABC 解析　∵a>1,且－1<b<0, ∴函数的图象如图所示. 故图象过第一、二、三象限. 7.(5分)函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点　　　　.  答案　(1,3) 解析　令x－1＝0,得x＝1,又f(1)＝2×1＋1＝3, 所以f(x)的图象恒过定点(1,3). 8.(5分)函数f(x)＝2x＋k的值域为M,能使M⊆[－1,＋∞)成立的一个k值为　　　　.  答案　0(答案不唯一,k≥－1即可) 解析　函数f(x)＝2x＋k的值域为M＝(k,＋∞),因为M⊆[－1,＋∞),所以k≥－1. 9.(10分)已知函数y＝3x的图象,怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象. 解　y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴对称的图象,得函数y＝3－x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象,如图所示. 10.(12分)已知函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点其中a>0且a≠1. (1)求a的值.(5分) (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域.(7分) 解　(1)因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点所以a2＝得a＝(负值舍去). (2)由(1)得f(x)＝(x≥0),函数为减函数,当x＝0时,函数取最大值为1, 故f(x)的值域为(0,1], 所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域为(1,2]. 11.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(x)＝ 由指数函数的图象知B正确. 12.若函数f(x)＝＋m－1的图象与x轴有公共点,则实数m的取值范围为(　　) A.m<1 B.m≤1 C.0<m<1 D.0≤m<1 答案　D 解析　函数f(x)＝＋m－1的图象与x轴有公共点,即m－1＝－有实数解, 由于－1≤－<0, 故－1≤m－1<0,解得0≤m<1. 13.(5分)函数y＝9x＋3x＋1－2,x∈[0,1]的值域是　　　　　.  答案　 解析　由题意可得,y＝9x＋3x＋1－2＝＋3×3x－2＝ 因为当x∈时,3x∈ 根据二次函数的单调性知, 当x＝0时,y取得最小值为1＋3－2＝2；当x＝1时,y取得最大值为9＋9－2＝16, 所以函数y的值域是. 14.(5分)已知实数a,b满足等式给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的有　　　个.  答案　2 解析　作y＝与y＝的图象(图略). 当a＝b＝0时＝1； 当a<b<0时,可以使； 当a>b>0时,也可以使. 故①,②,⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③,④. 15.已知函数f(x)＝若存在x1,x2,x3(x1<x2<x3),使f(x1)＝f(x2)＝f(x3),则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是(　　) A.(0,1] B.[0,1] C.(－∞,1] D.(－∞,1) 答案　B 解析　作出f(x)的大致图象如图,交点横坐标为x1,x2,x3,自左向右依次排列, 由图可知,x1,x2关于x＝－1对称,x3>0,即x1＋x2＝－2, 则x1＋x2＋x3>－2. 由图象知,当x>－2时,f(x)∈[0,1], 所以f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]. 16.(12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值；(3分) (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围；(4分) (3)在(1)中,若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.(5分) 解　(1)由图①知f(x)的图象过点(2,0),(0,－2), 所以 又因为a>0,且a≠1,所以a＝b＝－3. (2)由图②知f(x)单调递减,所以0<a<1, 又f(0)<0,即a0＋b<0, 所以b<－1. 故a的取值范围为(0,1), b的取值范围为(－∞,－1). (3)由(1)知f(x)＝()x－3,则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示,要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根, 则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3,＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $