4.4.2 计算函数零点的二分法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦计算函数零点的二分法这一核心知识点，系统梳理其与函数零点概念、函数连续性的关联，详细阐述二分法的适用条件（函数图象连续、区间端点函数值异号）和操作步骤（区间二分、中点取值、符号判断、缩小区间），为学生构建从理论到应用的学习支架。 该资料通过判断正误题辨析二分法适用范围（如“能否用二分法求所有函数零点”）培养学生逻辑推理的数学思维，结合求方程近似解实例（如用二分法求函数负零点）训练数学运算能力与问题解决的数学语言表达。课中助力教师引导学生深化概念理解，课后分层评价题帮助学生自主巩固知识，有效查漏补缺。

4.4.2　计算函数零点的二分法 学习目标 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图. 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解. 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性，培养数学运算核心素养. 知识点　计算函数零点的二分法 1.求函数零点的二分法 条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断. (2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)＜0. 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值. 2.二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得｜x－x0｜≤ε. (1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果｜m－a｜＜ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行步骤(2). 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用二分法可求所有函数的零点. (　　) (2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位. (　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用. (　　) (4)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案：C 解析：由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值. 3.用二分法研究函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点，选取初始区间[－2，4]，则下一个有零点的区间为(　　) A.[－2，1] B.[1，4] C.[1，2.5] D.[2.5，4] 答案：B 解析：易知f(－2)＝－8－8－6－6＜0，f(4)＝64－32＋12－6＞0.因为＝1，且f(1)＝1－2＋3－6＜0， 所以下一个有零点的区间为[1，4]. 4.在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于　　　　. 答案：5 解析：因为初始区间的长度为1，精确度为0.05，所以≤0.05，即2n≥20.又因为n∈N＋，所以n≥5，所以取中点的次数不小于5. 学生用书⬇第102页 探究点一　二分法的概念 (1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　) A.f(x)＝3x－1 B.f(x)＝x3 C.f(x)＝｜x｜ D.f(x)＝ln x (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是　　　　. 答案：(1)C　(2)[1，2] 解析：(1)对于选项C而言，令｜x｜＝0，得x＝0，即函数f(x)＝｜x｜存在零点，但当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＞0.所以f(x)＝｜x｜的函数值非负，即函数f(x)＝｜x｜有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点. (2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝23＋3×3－7＝10＞0，f(2)＝22＋3×2－7＝3＞0，所以f(x)零点所在的区间为[1，2]，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是[1，2]. 运用二分法求函数的零点应具备的条件 1.函数图象在零点附近连续不断. 2.在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点. 对点练1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案：C 解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)＜0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点. 探究点二　求方程的近似解 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度为0.01). 解：因为f(－1)＞0，f(－2)＜0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下： 端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间 x0＝＝－1.5 4.375 0 (－2，－1.5) x1＝＝－1.75 2.203 1 (－2，－1.75) x2＝＝－1.875 0.736 3 (－2，－1.875) x3＝ ＝－1.937 5 －0.097 4 (－1.937 5，－1.875) x4＝ ＝－1.906 25 0.328 0 (－1.937 5，－1.906 25) x5＝ ＝－1.921 875 0.117 4 (－1.937 5，－1.921 875) x6＝ ＝－1.929 687 5 0.010 5 (－1.937 5，－1.929 687 5) 由于｜－1.929 687 5＋1.937 5｜＝0.007 812 5＜0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5. 利用二分法求方程的近似解的步骤 1.构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间[n，n＋1]，n∈Z. 2.取区间[n，n＋1]的中点m，计算｜m－n｜及f(m)的值，如果｜m－n｜＜ε(给定误差)，则m为函数零点的近似值；如果f(m)＝0，则m为函数的零点. 对点练2.求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度0.1). 解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数f(x)的大致图象，如图所示. 因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0， 所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5， 因为f(2.5)＝0.25＞0， 所以x1∈(2，2.5)， 再取2与2.5的中间数2.25， 因为f(2.25)＝－0.437 5＜0， 所以x1∈(2.25，2.5)， 如此继续下去，得f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0， 则x1∈(2.375，2.437 5)， 因为｜2.437 5－2.375｜＝0.062 5＜0.1， 所以此方程大于零的近似解可取为2.437 5. 1.已知函数y＝f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 答案：D 解析：题中图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D. 2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－3，5]，则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1，5] B.[－2，1] C.[1，3] D.[2，5] 答案：C 解析：因为第一次所取的区间是[－3，5]， 所以第二次所取的区间可能是[－3，1]，[1，5]， 则第三次所取的区间可能是[－3，－1]，[－1，1]，[1，3]，[3，5]，故选C. 3.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上的近似解，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是　　　　. 答案： 解析：令f(x)＝ln x－2＋x， 因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0， f＝ln －＜0， 所以下一个含根的区间是. 4.求方程lg x＝－1的近似解(精确度为0.1). 解：先作出函数y＝lg x和y＝－1的图象，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解.作出图象如图所示. 由图象可知，方程lg x＝－1有唯一实数解，且在区间(0，1)内.设f(x)＝lg x－＋1， 则f(1)＝＞0，用计算器计算，列表如下： 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度 (0，1) 0.5 －0.008 1 1 (0.5，1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5，0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5，0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125＜0.2，此时该区间中点0.562 5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562 5，即方程lg x＝－1的近似解为x≈0.562 5. 课时分层评价29　计算函数零点的二分法 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下列函数中，不能用二分法求函数零点的是(　　) A.f(x)＝3x－1 B.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝log3x D.f(x)＝ex－2 答案：B 解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x＜1时，f(x)＞0；当x＞1时，f(x)＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点.其余的零点两侧函数值异号.故选B. 2.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在的区间为(　　) A.(1.25，1.5) B.(1，1.25) C.(1.5，2) D.不能确定 答案：A 解析：易知f(x)在R上是增函数.由题意可知f(1.25)·f(1.5)＜0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内.故选A. 3.设a是函数f(x)＝2x－lox的零点，若x0＞a，则f(x0)的值满足(　　) A.f(x0)＝0 B.f(x0)＞0 C.f(x0)＜0 D.以上都有可能 答案：B 解析：画出y＝2x与y＝lox的图象(图略)，可知当x0＞a时，＞lox0，故f(x0)＞0. 4.(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　) A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75 答案：AB 解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB. 5.用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n(n∈N＋)次操作后，区间长度变为. 因为精确度为0.01，所以＜0.01，又n∈N＋，所以n≥7，且n∈N＋， 故所需二分区间的次数最少为7. 6.已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为　　　　. 答案：(2，3) 解析：因为f(2)f(3)＜0，所以零点在区间(2，3)内. 7.函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点x0与的大小关系为　　　　. 答案：x0＞ 解析：在同一平面直角坐标系内画出y＝ln x，y＝3－x2的图象，如图所示. 由图可知，y＝ln x与y＝3－x2有唯一的交点x0∈(1，). 即f(x)＝ln x＋x2－3有唯一的零点x0∈(1，). 取区间中点x＝，则ln＜ln e＝1，3－＝2－＞1.所以ln＜3－， 即f()＜0，又f()＝ln ＋()2－3＞0，所以x0∈(，)，所以＜x0. 8.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 … y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 … y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 … 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a的值为　　　　. 答案：－1或－0.8 解析：令f(x)＝2x－x2， 由表中的数据可得f(－1)＝0.5－1＜0， f(－0.6)＝0.6 598－0.36＞0，f(－0.8)＝0.5 743－0.64＜0，f(－0.4)＝0.7 579－0.16＞0， 所以根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内， 所以a＝－1或a＝－0.8. 9.(10分)学校请了30名工人制作200把椅子和100张课桌，已知1名工人在1 h内可制作7张课桌或10把椅子，问：30名工人如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能最快完成任务？ 解：设x(1≤x≤29，x∈N＋)名工人制作课桌，(30－x)名工人制作椅子. 1名工人在1 h内可制作7张课桌或10把椅子， 所以制作100张课桌所需的时间P(x)＝，制作200把椅子所需要的时间Q(x)＝， 要想任务完成最快，则应求y＝max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点， 记x0为y取最小值时的x的值. 下面用二分法的知识求x0. 令f(x)＝＋， 则f(1)＝－≈13.60＞0， f(29)＝－20≈－19.51＜0， 所以x0∈(1，29)， 取中点x1＝＝15，f(15)≈－0.38＜0， 所以x0∈(1，15)； 同理可得x0∈(8，15)，…，x0∈(11.5，13.25). 又x0∈N＋，所以x0＝12或x0＝13. 当｜f(x)｜取最小值时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短， 当x0＝12时，f(x)≈0.079； 当x0＝13时，f(x)≈－0.078. 因为｜0.079｜＞｜－0.078｜，所以取x0＝13， 即13名工人制作课桌，17名工人制作椅子时，最快完成任务. 10.(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内. 解：(1)证明：因为f(0)＝1＞0， f(2)＝－＜0， 所以f(0)·f(2)＝－＜0. 由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解. (2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝＞0. 由此可得f(1)·f(2)＝－＜0， 下一个有解区间为(1，2)； 取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－＜0； 所以f(1)·f＝－＜0， 下一个有解区间为； 取x3＝×，得f＞0. 所以f·f＜0， 下一个有解区间为， 综上所述，所求的实数解x0在区间内. (11、12每小题5分，共10分) 11.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：因为初始区间的长度为0.1，精确度要求0.01. 由≤0.01，得2n≥10，所以n的最小值为4.故选B. 12.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当｜an－bn｜＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过(　　) A.ε B.ε C.2ε D.ε 答案：B 解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当｜an－bn｜＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε.故选B. 学生用书⬇第103页 学科网（北京）股份有限公司 $