第4章 4.3.2 第2课时 换底公式及对数的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学换底公式及对数应用核心知识点，承接上节课对数运算法则，系统讲解常用对数、自然对数概念，通过问题引导从具体实例抽象出换底公式及推论，构建从基础到化简求值、实际应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，如通过log₄8推导换底公式发展抽象能力，例题解析强化数学思维，如连等式设k转化提升推理能力，实际问题（地震震级、基金收益）体现数学语言的模型应用。课中助教师引导探究，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　换底公式及对数的应用 学习目标　1.了解常用对数、自然对数的概念.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算法则进行化简求值. 导语 上节课我们学习了对数的运算法则,对数运算随着底数的变化而变化,变化太多就不方便,在没有计算机的年代,为了复杂计算的需要,引入了常用对数和自然对数,本节我们学习一下常用对数和自然对数及换底公式. 一、对数的换底公式 问题1　上节课我们学习了对数的运算法则,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗？ 提示　设log48＝x,故有4x＝8,即22x＝23,故x＝而log28＝3,log24＝2,于是我们大胆猜测log48＝同样log927＝. 问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a>0且a≠1；b>0；c>0且c≠1)？说出你的理由. 提示　依据当a>0,且a≠1时,ax＝N⇔logaN＝x推导得出. 令＝x,则logcb＝xlogca＝logcax,故b＝ax, ∴x＝logab,∴logab＝. 知识梳理 1.常用对数与自然对数 通常,我们将以10为底的对数叫作常用对数,并且把log10N记为lg N,另外,在数学研究中,常用以e(e＝2.718 28…)为底的对数,这种对数叫作自然对数,并且把logeN记为ln N.  2.logbN＝(N>0，a>0且a≠1,b>0且b≠1). 3.对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0且N≠1；a>0且a≠1). (2)bm＝logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0). (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1). 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义； (2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logaN＝或logaN＝. 例1　(1)(课本例6)利用换底公式求值： ①log927；②lo16. 解　①由换底公式得,log927＝. ②由换底公式得,lo16＝＝－4. 例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)； (2)已知log189＝a,18b＝5,用a,b表示log3645的值. 解　(1)原式＝ ＝ ＝×. (2)方法一　∵log189＝a,18b＝5,∴log185＝b. ∴log3645＝ ＝. 方法二　∵log189＝a,18b＝5,∴log185＝b. ∴log3645＝. 延伸探究　若本例(2)条件不变,求log915(用a,b表示). 解　因为18b＝5,所以log185＝b. 所以log915＝ ＝ ＝ ＝. 反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练1　(1)的值是(　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数, 即·. 方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数, 即. (2)设log23＝a,log53＝b,则lg 3等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为log23＝a,log53＝b, 故由换底公式得即 所以alg 2＝b(1－lg 2),解得lg 2＝ 则lg 3＝. 二、对数运算法则的综合运用 例2　已知x,y,z为正数,若3x＝4y＝6z,求的值. 解　令3x＝4y＝6z＝a(a>0), 所以x＝log3a,y＝log4a,z＝log6a,因为x,y,z为正数,所以a≠1, 所以××. 反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 跟踪训练2　已知3a＝5b＝c,且＝2,求c的值. 解　∵3a＝5b＝c＝2,∴c>0且c≠1,∴a＝log3c,b＝log5c, ∴＝logc3＝logc5,∴＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15,即c＝(负值舍去). 三、实际问题中的对数运算 例3　(课本例9)地震的强烈程度通常用里氏震级M＝lg A－lg A0表示，这里A是距离震中100 km处所测量地震的最大振幅，A0是该处的标准地震振幅. (1)若一次地震测得A＝25 mm，A0＝0.001 mm，则该地震的震级是多少(lg2.5≈0.4)？ (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍. 解　(1)M＝lg 25－lg 0.001＝lg ＝lg 25 000＝lg 2.5＋lg 104≈4.4. 因此，该地震的震级约为里氏4.4级. (2)设里氏8级和5级地震的最大振幅分别为A1，A2. 由题意，得⇒ 由上可得，＝103＝1 000. 因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的1 000倍. 例3　某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　C 解析　设至少需要过滤n次, 则0.02×≤0.001,即≤. 两边取常用对数得nlg≤lg 即n(lg 2－lg 3)≤－lg 20, 又lg 2－lg 3<0, 即n≥≈7.4. 又n∈N,所以n≥8. 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 反思感悟　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中的数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算. 跟踪训练3　标准的围棋棋盘共19行19列,361个交叉点,每个交叉点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况.而我国北宋科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052,下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　) A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34 答案　B 解析　根据题意,对取常用对数得lg＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8,则≈10－35.8,选项B中的10－36与其最接近. 1.知识清单： (1)换底公式. (2)对数的实际应用. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式,易混淆. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共6分 1.化简log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　D 解析　log832＝. 2.log29·log34等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案　D 解析　方法一　原式＝× ＝4. 方法二　原式＝2log23×＝2×2＝4. 3.已知log47＝a,4b＝6,则log4228等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由4b＝6,得log46＝b,且log47＝a, 所以log4228＝. 4.某市政府为了增加农民收入,决定对该市的特色农副产品逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长12%,则估计该政府全年投入的资金翻一番(2021年的两倍)的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 2≈0.30)(　　) A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年 答案　C 解析　设再过n年,该政府全年投入的资金翻一番,则120×(1＋12%)n＝2×120, 即n＝log1.122＝≈＝6, 所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是2021＋6＝2027(年). 5.下列各式中不正确的是(　　) A.10－2lg 3＝ B.log168＝ C.log34·log427＝2 D. 答案　C 解析　因为10－2lg 3＝1＝3－2＝故A正确； log168＝lo23＝log22＝故B正确； log34·log427＝log327＝log333＝3,故C不正确； 故D正确. 6.(多选)若实数a,b满足2a＝5b＝10,则下列关系正确的有(　　) A.＝1 B.＝lg 20 C.＝2 D. 答案　AB 解析　a＝log210,b＝log510＝lg 2＋lg 5＝1,故A正确； ＝lg 4＋lg 5＝lg 20,故B正确； ＝lg 2＋lg 25＝lg 50,故C,D不正确. 7.(5分)log23·log34·log42＝　　　　.  答案　1 解析　原式＝··＝1. 8.(5分)设log23·log36·log6m＝log4(2m＋8),则实数m＝　　　　.  答案　4 解析　左边＝××＝log2m＝log4m2,所以m2＝2m＋8,解得m＝4或m＝－2(负值舍去). 9.(10分)计算下列各式的值： (1)log535＋2lo－log5－log514；(5分) (2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(5分) 解　(1)原式＝log535＋log550－log514＋2lo ＝log5＋lo2＝log553－1＝2. (2)方法一　原式＝ ＝ ＝log25·3log52＝13log25·＝13. 方法二　原式＝ ＝ ＝·＝13. 10.(12分)设xa＝yb＝zc,其中x,y,z均大于0,且都不为1求证：z＝xy. 证明　令xa＝yb＝zc＝k,k>0且k≠1, 则a＝logxk,b＝logyk,c＝logzk. 因为所以 即logkx＋logky＝logkz. 所以logk(xy)＝logkz,即z＝xy. 11.设log83＝p,log35＝q,则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq 答案　C 解析　∵log83＝＝p, ∴lg 3＝3plg 2. ∵log35＝＝q, ∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5), ∴lg 5＝. 12.任何正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1),则2－20在小数点后第　　　　　　位开始出现非零数字(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)  A.4 B.5 C.6 D.7 答案　D 解析　∵lg 2－20＝－20lg 2≈－20×0.301＝－6.02＝－7＋0.98,∴n＝－7,lg a＝0.98, ∴2－20＝100.98×10－7在小数点后第7位开始出现非零数字. 13.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L＝L0其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A.72 B.73 C.74 D.75 答案　B 解析　由题意知L0＝0.5,G0＝18,所以L＝0.5 又由题意知,当G＝18时,L＝0.4,即0.4＝0.5⇒D＝0.8, 所以L＝0.5×令L<0.2,即0.5×<0.2,即<0.4,则lg 0.<lg 0.4, 解得>≈＝4,故G>4×18＝72, 所以学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为73. 14.(5分)已知实数x,y,正实数a,b满足ax＝by＝2,且＝－3,则a2＋b的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意得x＝loga2,y＝logb2, 所以＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)＝－3, 所以a2b＝a2＋b≥2 当且仅当a2＝b,即a＝b＝时,等号成立. 15.(5分)已知a>b>1,若logab＋logba＝ab＝ba,则ab＝　　　　.  答案　9 解析　∵logab＋logba＝＋logba＝ ∴3(logba)2－10logba＋3＝0, 解得logba＝3或logba＝ ∵a>b>1,∴logba>1,则logba＝3, ∴a＝b3, 又∵ab＝ba,∴(b3)b＝ ∴3b＝b3, 又∵b>1,∴b＝a＝3 ∴ab＝9. 16.(12分)基金是一种常见的投资理财产品,投资人通过购买持有基金产品,获得相应的投资收益,但是高收益往往伴随着高风险,并不是所有的基金投资都能获得丰厚收益,有时还要承担损失本金的风险.某银行推出了三款基金理财产品,产品A为低风险型基金,年化收益率为0%~4%；产品B为中风险型基金,年化收益率为－2%~8%；产品C为高风险型基金,年化收益率为－5%~15%,且均采用复利模型S＝p(1＋i)n计算本息和,其中p为本金,i为年化收益率,n为基金持有年限,S为本息和(参考数据：ln 1.2≈0.18,ln 1.03≈0.03,lg 1.02＋lg 1.03≈lg 1.05,1.023＝1.061 208,1.033＝1.092 727,1.053＝1.157 625.各产品年化收益率取年化收益率中位数). (1)甲拟投资50 000元购买上述基金产品中的一种,并持有3年,分别计算这三个基金产品到期后的收益；(6分) (2)乙拟等额购买基金产品A和产品C,并持有相同年数,则约多少年后,产品C的本息和为产品A本息和的1.2倍？(6分) 解　(1)由题意,产品A的年化收益率为2%,收益为S－p＝50 000×(1＋2%)3－50 000＝50 000×(1.061 208－1)＝3 060.4(元)； 产品B的年化收益率为3%,收益为S－p＝50 000×(1＋3%)3－50 000＝50 000×(1.092 727－1)＝4 636.35(元)； 产品C的年化收益率为5%,收益为S－p＝50 000×(1＋5%)3－50 000＝50 000×(1.157 625－1)＝7 881.25(元), 综上,这三个基金产品到期后的收益分别为3 060.4元,4 636.35元,7 881.25元. (2)设购买产品A和产品C的本金均为m万元,持有年限为n年,产品A的本息和为S1,产品C的本息和为S2,则S2＝1.2S1,即m(1＋5%)n＝1.2m(1＋2%)n,即1.05n＝1.2×1.02n＝1.2,即1.03n≈1.2,n≈log1.031.2＝≈＝6,故约6年后,产品C的本息和为产品A本息和的1.2倍. 学科网（北京）股份有限公司 $