第4章 4.3.2 第1课时 对数的运算法则（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦对数的积、商、幂运算性质这一核心知识点，通过指数式与对数式的转化，引导学生推导运算法则，明确成立条件及逆运算、推广应用，结合例题与跟踪训练构建从原理到应用的学习支架。 以对数在天文计算中的历史应用激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，通过问题链引导推导培养推理能力（数学思维），例题设计注重符号表达与化简（数学语言）。课中助力教师引导探究，课后练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.3.2　对数的运算法则 第1课时　对数的运算法则 学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 导语 同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.人类的祖先,从数手指开始,逐渐积累经验,堆石子、数贝壳、树枝、竹片,而后有刻痕计数、结绳计数等,后来创造文字、数字及计数用具,如算盘、计算器等.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,再多的手指头也算不过来了,怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”,对数学的发展起了重要作用. 一、对数的运算法则 问题1　将指数式M＝ap,N＝aq化为对数式,结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 提示　由M＝ap,N＝aq得p＝logaM,q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N). 从而得出loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题2　结合问题1,若＝ap－q,又能得到什么结论？ 提示　将指数式＝ap－q化为对数式,得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题3　结合问题1,若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R),又能有何结果？ 提示　由Mn＝anp,得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R). 知识梳理　如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)loga＝logaM－logaN. 注意点： (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义,而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk,其中N1,N2,N3,…,Nk>0,k∈N＋. 例1　求下列各式的值： (1)log332；(2)log35＋log3；(3)log1050－log105. 解　(1)log332＝2log33＝2. (2)log35＋log3＝log3＝log33＝1. (3)log1050－log105＝log10＝log1010＝1. 反思感悟　对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)log3(27×92)；(2)log105＋log102； (3)log23＋log2；(4)log35－log315. 解　(1)方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7. 方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7. (2)log105＋log102＝log10(5×2)＝log1010＝1. (3)log23＋log2＝log2＝log21＝0. (4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1. 二、对数运算法则的运用 例2　(课本例3)设A＝logax,B＝logay,C＝logaz,用A,B,C表示下列各式： (1)loga；(2)loga. 解　(1)loga＝loga(xy2)－logaz3 ＝logax＋2logay－3logaz＝A＋2B－3C. (2)loga＝3logax＋logay－logaz ＝3A＋B－C. 例2　用logax,logay,logaz表示下列各式： (1)loga(xyz)；(2)loga； (3)loga；(4)loga. 解　(1)loga(xyz)＝logax＋logay＋logaz. (2)loga＝loga(xy2)－logaz＝logax＋logay2－logaz＝logax＋2logay－logaz. (3)loga＝loga(xy3)－loga ＝logax＋logay3－loga ＝logax＋3logay－logaz. (4)loga＝loga－loga(y2z) ＝loga－(logay2＋logaz) ＝logax－2logay－logaz. 反思感悟　用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化. 跟踪训练2　已知log102＝a,log103＝b,则log10＝　　　　　；log1054＝　　　　.  答案　b＋3a－1　3b＋a 解析　log10＝log1012－log105 ＝log10(3×22)－(1－log102) ＝log103＋log1022－1＋log102 ＝log103＋3log102－1＝b＋3a－1. log1054＝log10(27×2)＝log1027＋log102 ＝log1033＋log102＝3log103＋a＝3b＋a. 三、利用对数的运算法则化简、求值 例3　(1)(课本例4)求下列各式的值： ①log3(94·33)；②log10. 解　①log3(94·33)＝log394＋log333＝4log332＋3＝4×2＋3＝11. ②log10＝log10＝log101. (2)(课本例5)计算： ①log535－log5－log514； ②log1012.5－log10＋log10. 解　①log535－log5－log514 ＝log5＝log5125＝log553＝3. ②log1012.5－log10＋log10 ＝log10＝log1010＝1. 例3　计算下列各式的值： (1)(log105)2＋2log102－(log102)2； (2)； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 解　(1)原式＝(log105)2＋(2－log102)log102 ＝(log105)2＋(1＋log105)log102 ＝(log105)2＋log102·log105＋log102 ＝(log105＋log102)·log105＋log102 ＝log105＋log102＝1. (2)原式＝ ＝. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 反思感悟　利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值,如利用log102＋log105＝1,进行计算或化简. 跟踪训练3　计算下列各式的值： (1)log10log10＋log10； (2)log1025＋log108＋log105×log1020＋(log102)2. 解　(1)方法一　原式＝(5log102－2log107)－×log102＋(2log107＋log105) ＝log102－log107－2log102＋log107＋log105 ＝log102＋log105＝(log102＋log105) ＝log1010＝. 方法二　原式＝log10－log104＋log107 ＝log10＝log10(×) ＝log10. (2)原式＝2log105＋2log102＋log105×(2log102＋log105)＋(log102)2 ＝2log1010＋(log105＋log102)2 ＝2＋(log1010)2＝2＋1＝3. 1.知识清单： (1)对数的运算法则. (2)对数运算法则的运用. (3)利用对数的运算法则化简、求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算法则的结构形式,易混淆,且不可自创运算法则. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共45分；多选题每小题6分,共6分 1.log242＋log243＋log244等于(　　) A.1 B.2 C.24 D. 答案　A 解析　原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1. 2.已知3a＝2,那么log38－2log36用a表示是(　　) A.a－2 B.5a－2 C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2 答案　A 解析　因为3a＝2,所以a＝log32, 所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2. 3.计算log102－log10等于(　　) A.－1 B. C.3 D.－5 答案　A 解析　原式＝log10－2＝－1. 4.若log10a,log10b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根,则ab的值等于(　　) A.2 B. C.100 D. 答案　C 解析　∵log10a,log10b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根, ∴由根与系数的关系得log10a＋log10b＝2, ∴log10(ab)＝2,∴ab＝100. 5.下列计算正确的是(　　) A.(a2)3＝a5 B.log26－log23＝1 C.·＝0 D.log3(－4)2＝2log3(－4) 答案　B 解析　由题意,根据实数指数幂的运算,可得＝a6·＝a0＝1,所以A,C不正确； 由对数的运算性质,可得log26－log23＝log2＝log22＝1,所以B正确； 根据对数的化简,可得log3(－4)2＝log342＝2log34,所以D不正确. 6.(多选)已知f(x)＝log5x,则对任意的a,b∈(0,＋∞),下列关系成立的是(　　) A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b) C.f ＝f(a)＋f(b) D.f ＝f(a)－f(b) 答案　AD 解析　∵f(x)＝log5x,a,b∈(0,＋∞), ∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b＝f(a)＋f(b), f ＝log5＝log5a－log5b＝f(a)－f(b). 7.(5分)计算：log2＝　　　　　.  答案　－1 解析　原式＝log2－2－1－1＝－1. 8.(5分)设alog34＝2,则4－a＝　　　　　.  答案　 解析　因为alog34＝2, 所以log34a＝2,则4a＝32＝9, 则4－a＝. 9.(10分)已知log102＝m,log103＝n,试用m,n表示. 解　∵log102＝m,log103＝n, ∴ ＝. 10.(12分)计算下列各式的值： (1)log3＋log1025＋log104＋；(6分) (2)2log32－log3＋log38－.(6分) 解　(1)原式＝log3＋log10(25×4)＋2 ＝log3＋log10102＋2＝－＋2＋2＝. (2)原式＝2log32－(log325－log332)＋3log32－ ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9 ＝2－9＝－7. 11.已知a＝(log23)2,b＝log2则下列选项正确的是(　　) A.2>a>b B.b>2>a C.b>a>2 D.a>b>2 答案　D 解析　因为a－b＝(log23)2－log2 ＝－2log23＋1＝>0, 所以a>b. 因为b＝log2>log24＝2,所以a>b>2. 12.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x),f(x)＝f(4＋x),若f(1)＝6,则f(log2128)＋f(log216)等于(　　) A.6 B.0 C.－6 D.－12 答案　C 解析　因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x), 所以f(0)＝0,f(－1)＝－f(1)＝－6, 故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4) ＝f(－1)＝－6,f(4)＝f(0)＝0, 所以f(log2128)＋f(log216)＝f(log227)＋f(log224)＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6. 13.设m＝log62,n＝log63,则m2－n2＋2n＋4n－9m等于(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为m＝log62,n＝log63,则6m＝2,6n＝3, 可得4＝62m,9＝62n,4n＝62mn,9m＝62mn,则4n－9m＝62mn－62mn＝0, 又因为m＋n＝log62＋log63＝log66＝1, 所以m2－n2＋2n＋4n－9m＝(m＋n)(m－n)＋2n＝m＋n＝1. 14.(5分)若log5x＋log5y＝2log5(x－2y),则＝　　　　.  答案　4 解析　因为log5x＋log5y＝2log5(x－2y), 所以 由xy＝(x－2y)2,知x2－5xy＋4y2＝0, 所以x＝y或x＝4y. 又x>0,y>0且x－2y>0, 所以舍去x＝y,故x＝4y,则＝4. 15.已知m>0,0<n<2,且log2(m＋n)＝log4(m＋n)＋log4(2－n),则的最小值是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案　C 解析　由log2(m＋n)＝log4(m＋n)＋log4(2－n)得log2(m＋n)＝log2[(m＋n)(2－n)], 所以2log2(m＋n)＝log2[(m＋n)(2－n)],所以(m＋n)2＝(m＋n)(2－n), 即(m＋n)(m＋2n－2)＝0. 因为m>0,0<n<2, 所以m＋2n＝2(m＋2n)×≥(4＋2)＝4, 当且仅当即m＝2n＝1时,等号成立. 16.(12分)已知log102＝a,log103＝b. (1)求log1072,log104.5；(6分) (2)若log10x＝a＋b－2,求x的值.(6分) 解　(1)log1072＝log10(23×32) ＝3log102＋2log103＝3a＋2b； log104.5＝log10＝2log103－log102＝2b－a. (2)log10x＝a＋b－2＝log102＋log103－2 ＝log102＋log103＋log10＝log10 所以x＝＝0.06. 学科网（北京）股份有限公司 $