4.3.3 第1课时 对数函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

　 第4章　4.3 对数函数 4.3.3　对数函数的图象与性质 第1课时　对数函数的图象与性质 学习目标 1.通过具体实例了解对数函数的概念，培养数学抽象核心素养. 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1). 3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，培养直观想象核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝_________________________叫作对数函数，其中___是自变量，函数的定义域是___________.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.两者的________和______正好互换. 知识梳理 logax(x＞0，a＞0且a≠1) x (0，＋∞) 定义域 值域 知识点二　指数函数、对数函数性质对比 函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax 图象     定义域 ______________ (0，＋∞) 值域 ___________ ______________ 图象经过点 ________ ________ 增减性 a＞1时______；0＜a＜1时______ a＞1时______；0＜a＜1时______ (－∞，＋∞) (0，＋∞) (－∞，＋∞) (0，1) (1，0) 递增 递减 递增 递减 点拨　对数函数图象的特点 对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R. (　　) (2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数. (　　) (3)对数函数的定义域、值域都是R. (　　) (4)对数函数的图象一定在y轴右侧. (　　) (5)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数. (　　) × √ × √ √ 自主检测 2.函数y＝log(x－3)(7－x)中实数x的取值范围是 A.(－∞，7) B.(3，7) C.(3，4)∪(4，7) D.(3，＋∞) √ 由题意得解得3＜x＜7，且x≠4. 3.已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是 √ 法一：首先，曲线y＝ax只可能在x轴上方，y＝loga(－x)的图象只可能在y轴左侧，从而排除A、C.其次，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.故选B. 法二：若0＜a＜1，则函数y＝ax递减且图象过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)递增且图象过点(－1，0)，所有选项均不符合这些条件.若a＞1，则函数y＝ax递增且图象过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)递减且图象过点(－1，0)，只有B满足条件. 4.不等式lo (5＋x)＜lo(1－x)的解集为__________. 因为函数y＝lox在(0，＋∞)上是减函数， 所以解得－2＜x＜1. (－2，1) 返回 合作探究 返回 探究点一　对数函数的概念 (1)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a＝_____. 典例 1 2 由a2－3a＋3＝1得a＝1或a＝2. 又a＞0且a≠1，所以a＝2. (2)若对数函数f(x)的图象过点(9，－2)，则f(27)＝______. －3 由题意设f(x)＝logax，则f(9)＝loga9＝－2，所以a－2＝9，故a＝，即f(x)＝lox，所以f(27)＝lo27＝－3. 判断一个函数是对数函数的依据 规律方法 对点练1．下列函数表达式中，对数函数有 ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log3(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 由于①中自变量出现在底数上，所以①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a＞0，且a≠1，所以②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，所以⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，所以⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选B. 探究点二　与对数函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域. (1)f(x)＝； 解：由题意有解得x＞－且x≠0，则f(x)的定义域为 ∪ (0，＋∞). 典例 2 (2)f(x)＝ln(x－2)＋ln(x＋1)； 解：由已知解得x＞2，故其定义域为(2，＋∞). (3)f(x)＝ln[(x－2)(x＋1)]. 解：由已知(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1，故其定义域为(－∞，－1) ∪(2，＋∞). 求对数型函数定义域的原则 1.分母不能为0. 2.根指数为偶数时，被开方数非负. 3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 规律方法 对点练2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋； 解：要使函数有意义，需满足解得x＞2且x≠3. 所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)f(x)＝logx＋1(16－4x). 解：要使函数有意义，需满足 解得－1＜x＜0或0＜x＜4. 所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 探究点三　对数(型)函数的图象 (1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为 典例 3 √ y＝a－x＝，因为a＞1，所以0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是 减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C. (2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则 A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1 C.a＞b＞1 D.b＞a＞1 √ 由对数的性质logaa＝1(a＞0，且a≠1)，画一条直线y＝1，如图所示，由图可知0＜b＜a＜1，故选B. 有关对数型函数图象问题的应用技巧 1.求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). 2.给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法. 3.根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 规律方法 √ 对点练3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是 因为0＜a＜1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确，C，D不正确.又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确. 对点练4．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点 A.(1，1) B.(1，2) C.(2，1) D.(2，2) √ 令x－1＝1，即x＝2，得f(2)＝loga1＋1＝1.因此f(x)的图象恒过点(2，1).故选C. 探究点四　比较对数值的大小 比较下列各题中两个值的大小： (1)log31.9，log32； 解：因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9＜2，所以log31.9＜log32. (2)log23，log0.32； 解：因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0.所以log23＞log0.32. 典例 4 (3)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1). 解：π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在(0， ＋∞)上是增函数， 有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 有logaπ＜loga3.14. 综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 比较对数值大小时常用的4种方法 1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. 2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用在第一象限顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较. 4.若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 规律方法 对点练5．已知a＝log0.70.6，b＝ln 0.6，c＝0.70.6，则 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.c＞b＞a √ 因为a＝log0.70.6＞log0.70.7＝1，b＝ln 0.6＜0，c＝0.70.6∈(0，1)，所以a＞c＞b. 探究点五　解对数不等式 解不等式： (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； 解：原不等式等价于 解得＜x≤3. 所以不等式的解集为. 典例 5 (2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1). 解：原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1). 当a＞1时，不等式等价于无解. 当0＜a＜1时，不等式等价于 解得x＞4. 综上可知，当a＞1时，解集为⌀；当0＜a＜1时，解集为{x｜x＞4}. 常见对数不等式的两种解法 1.形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. 2.形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 规律方法 对点练6．不等式log2(5－x)＜log2(1＋x)的解集为________. (2，5) 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 所以解得2＜x＜5. 探究点六　对数型函数的单调性 已知f(x)＝log4(4x－1). (1)求f(x)的定义域； 解：由4x－1＞0，解得x＞0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞). (2)讨论f(x)的单调性； 解：设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1， 因此log4(－1)＜log4(－1)， 即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 典例 6 (3)求f(x)在区间上的值域. 解：由(2)得f(x)在区间上单调递增， 又f＝0，f(2)＝log415， 所以f(x)在区间上的值域为[0，log415]. 1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域. 2.对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型. 规律方法 对点练7．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) √ 由x2－2x－8＞0得x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)， 令t＝x2－2x－8，则y＝ln t. 因为要求f(x)的单调递增区间，且y＝ln t是增函数，所以根据复合函数单调性可知，只需求出t＝x2－2x－8在定义域内的增区间即可. 因为x∈(4，＋∞)时，t＝x2－2x－8为增函数， 所以函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，故选D. 探究点七　与对数函数有关的值域与最值问题 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值； 解：因为f(1)＝2，所以f(1)＝loga2＋loga2＝loga4＝2，所以a＝2. (2)求f(x)在区间上的最大值. 解：由得x∈(－1，3)， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)， f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2(－x2＋2x＋3) ＝log2[－(x－1)2＋4]， 典例 7 记t＝－(x－1)2＋4， 因为x∈. 所以x＝1时，t有最大值4，当x＝0时，t有最小值3. 所以3≤t≤4.所以log2t≤log24＝2. 所以f(x)在区间上的最大值为2. 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法 1.求解最值问题，一定要注意转化思想的应用，求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题，一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围. 2.求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数值域的步骤： (1)分解成两个函数y＝logau，u＝f(x)； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用单调性求解y＝logau(a＞0，且a≠1)的值域. 规律方法 对点练8．求下列函数的值域. (1)y＝log2(x2＋4)； 解：y＝log2(x2＋4)的定义域为R. 因为x2＋4≥4， 所以log2(x2＋4)≥log24＝2. 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞). (2)y＝lo(8－2x－x2). 解：设u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9≤9，又u＞0，所以0＜u≤9， 又y＝lou在(0，＋∞)上为减函数， 所以lou≥lo9＝－2， 所以y＝lo(8－2x－x2)的值域为[－2，＋∞). 返回 随堂评价 返回 1.函数y＝－lg｜x＋1｜的大致图象为 √ 函数y＝－lg ｜x＋1｜的定义域为{x｜x≠－1}，可排除A，C；当x＝1时，y＝－lg 2＜0，显然只有D符合题意.故选D. 2.lo(a2＋a＋1)与lo的大小关系为 A.lo(a2＋a＋1)≥lo B.lo(a2＋a＋1)＞lo C.lo(a2＋a＋1)≤lo D.lo(a2＋a＋1)＜lo √ 因为y＝lox在(0，＋∞)上是减函数，而a2＋a＋1＝＋≥，所以lo(a2＋a＋1)≤lo. 3.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数图象过点(9，2) ，则a＝ A.3 B.2 C.9 D.4 由题意得原函数过点(2，9)，所以a2＝9⇒a＝3，选A. √ 4.求下列函数的定义域. (1)y＝； 解：要使函数有意义，需 即 所以－2＜x≤2， 故所求函数的定义域为(－2，2]. (2)y＝＋ln(x＋1). 解：要使函数有意义，需 所以－1＜x＜2. 故所求函数的定义域为(－1，2). 返回 课时分层评价 返回 1.函数f(x)＝＋的定义域为 A.(0，2] B.(0，2) C.(0，1)∪(1，2] D.(－∞，2] √ 欲使函数有意义， 则 解得x∈(0，1)∪(1，2]. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b √ a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1， 所以a，b，c的大小关系为a＞b＞c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.“x＜y”是“lox＞loy”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若x＜y＜0，则lox＞loy不成立，故不具有充分性，因为y＝lox单调递减，若lox＞loy，所以x＜y，故有必要性，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知函数f(x)＝，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝ f(c)，则abc的取值范围是 A.(1，10) B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24) √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 画出函数f(x)的图象，如图所示，不妨设a＜b＜c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，由图可知0＜a＜1＜b，所以－lg a＝lg b，所以ab＝1，c的取值范围是(10，12)，所以abc的取值范围是(10，12). 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a √ 法一：由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数.因为f(x)在R上是增函数，f(0)＝0，所以当x＞0时，f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，0＜20.8＜2＝log24＜log25.1＜log28＝3，所以b＜a＜c，故选C. 法二：取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，然后进行判断可知b＜a＜c，故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________. －2，2 因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， 所以c＝2，3＋b＝1，所以b＝－2，c＝2. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.已知对数函数y＝f(x)，若x＝4时，y＝－2，则f(8)＝______. －3 由题意设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， 则f(4)＝loga4＝－2， 所以a－2＝4， 解得a＝， 所以f(x)＝lox， 所以f(8)＝lo8＝－3. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围是________. (1，2] 若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，且a＞0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1， 所以当x＞2时，由可得1＜a≤2. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知函数f(x)＝lo的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值； 解：因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以函数f(x)的定义域关于原点对称. 因为＞0，所以(x－1)(1－ax)＞0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， 所以＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lo(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围. 解：因为f(x)＋lo(x－1)＝lo＋lo(x－1)＝lo(1＋x)， 所以当x＞1时，lo(1＋x)＜lo(1＋1)＝－1. 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lo(x－1)＜m恒成立，所以m≥－1. 即实数m的取值范围为[－1，＋∞). 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知f(x)＝lo(x2－ax－a). (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； 解：当a＝－1时，f(x)＝lo(x2＋x＋1)， 因为x2＋x＋1＝＋≥， 所以lo(x2＋x＋1)≤lo＝2－log23， 所以f(x)的值域为(－∞，2－log23]. 设u＝x2＋x＋1，则y＝lou. 因为u＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，y＝lou在(0，＋∞)上递减， 所以f(x)的增区间为，减区间为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围. 解：令u(x)＝x2－ax－a＝－－a， 因为y＝lou在定义域内为单调减函数， 所以要想f(x)在上为单调增函数，u(x)应在上为单调减函数，且u(x)＞0在上恒成立，因此解得－1≤a≤. 故实数a的取值范围是. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.已知函数f(x)＝｜log2x｜，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x) 在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝____. 根据题意并结合函数f(x)＝｜log2x｜的图象知，0＜m＜1 ＜n，所以0＜m2＜m＜1.根据函数图象易知，当x＝m2时 函数f(x)取得最大值，所以f(m2)＝｜log2m2｜＝2.又0＜m ＜1，解得m＝.再结合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以n＋m＝. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.若函数y＝lo(x2－ax＋a)在(－∞，)上是增函数，则实数a的取值范围是_______________. 令u＝x2－ax＋a，则y＝lou显然为减函数，则要使函数在区间(－∞，)上是增函数，则u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上应是减函数，且恒大于0. 则解得2≤a≤2＋2，故所求a的取值范围 是[2，2＋2]. 返回 [2，2＋2] 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 4.3 对数函数 返回 $