第4章 4.3.1 对数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“对数的概念”核心知识点，从指数方程求解困境引入，构建指数与对数的互逆关系，系统梳理对数定义、指数式与对数式互化、基本恒等式及计算方法，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以数学文化和问题驱动培养数学眼光，通过例习题设计发展数学思维，借助符号转化强化数学语言。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后课时对点练帮助学生巩固概念、查漏补缺。

4.3.1　对数的概念 学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值. 导语 大家阅读课本127页的“数学文化”(大约3分钟),可以发现,对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展,人们发现,对数与指数存在互逆的关系,然而更有意思的是“对数源出于指数”,而对数的发明却先于指数,对数用来解决指数所不能解决的问题,让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 一、对数的概念 问题1　我们知道若2x＝4,则x＝2；若3x＝81,则x＝4；若＝128,则x＝－7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x＝3,1.11x＝2,10x＝5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗？ 提示　用指数方程不能解决上述方程,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解. 知识梳理 对数的定义：如果ab＝N(a>0且a≠1,N>0),那么b叫作以a为底,正数N的对数,记作b＝logaN.这里,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数. 注意点： (1)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数b、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 例1　(1)若对数式log(t－2)3有意义,则实数t的取值范围是(　　) A.[2,＋∞) B.(2,3)∪(3,＋∞) C.(－∞,2) D.(2,＋∞) 答案　B 解析　要使对数式log(t－2)3有意义, 需 解得t>2,且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,＋∞). (2)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由－2x＋1>0得x<. 反思感悟　关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 跟踪训练1　在M＝log(x－3)(x＋1)中,要使式子有意义,则x的取值范围为(　　) A.(－∞,3] B.(3,4)∪(4,＋∞) C.(4,＋∞) D.(3,4) 答案　B 解析　由对数的概念可得 解得3<x<4或x>4. 二、指数式与对数式的互化 例2　(课本例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)23＝8；(2)105＝100 000；(3)3x＝7； (4)log232＝5；(5)log3＝－3；(6)logxb＝2. 解　(1)log28＝3；(2)log10100 000＝5； (3)log37＝x；(4)25＝32；(5)3－3＝； (6)x2＝b(x>0且x≠1). 例2　将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；　(2)lo27＝－3； (3)log5100≈4.606；　(4)43＝64； (5)3－2＝；　(6)10－3＝0.001. 解　(1)24＝16. (2)＝27. (3)54.606≈100. (4)log464＝3. (5)log3＝－2. (6)log100.001＝－3. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 跟踪训练2　下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100＝1与log101＝0 B.2与log27＝－ C.log39＝与＝3 D.log55＝1与51＝5 答案　C 解析　因为＝3化为对数式应为log93＝故C不正确. 三、对数的基本恒等式 问题2　你能把20＝1,21＝2,log2x＝log2x,2x＝2x化成对数式或指数式吗？ 提示　log21＝0；log22＝1；＝x；x＝log22x. 知识梳理　对数的性质 (1)对数的基本恒等式：＝N(N>0,a>0且a≠1),b＝logaab(b∈R,a>0且a≠1). (2)logaa＝1(a>0且a≠1). (3)loga1＝0(a>0且a≠1). 例3　(课本例2)求下列各式的值： (1)log2；(2)log0.61；(3)；(4). 解　(1)log2＝log22－1＝－1. (2)log0.61＝log0.60.60＝0. (3)·2－2＝. (4)＝5. 例3　求下列各式的值： (1)log981＝　　　　；  (2)log0.41＝　　　　；  (3)＝　　　　.  答案　(1)2　(2)0　(3) 解析　(1)log981＝log992＝2. (2)log0.41＝log0.40.40＝0. (3)·3－2＝. 反思感悟　利用对数恒等式求解的方法 首先利用指数的运算性质变形,变形为或logaab的形式,再利用对数恒等式计算求值. 跟踪训练3　求下列各式的值： (1)log28；(2)log91； (3)；(4). 解　(1)log28＝log223＝3. (2)log91＝0. (3)＝5. (4)·91＝(32×9 ＝()2×9＝72×9＝441. 四、对数的计算 例4　(1)求下列各式中x的值. ①log27x＝－；②logx16＝－4. 解　①由log27x＝－ 得x＝2 ＝3－2＝. ②由logx16＝－4,得x－4＝16, 即x4＝ 又x>0,且x≠1,∴x＝. (2)求下列各式中x的值： ①log2(log5x)＝0； ②log3(log10x)＝1； ③x＝. 解　①∵log2(log5x)＝0,∴log5x＝20＝1, ∴x＝51＝5. ②∵log3(log10x)＝1,∴log10x＝31＝3, ∴x＝103＝1 000. ③x＝＝7÷＝7÷5＝. 反思感悟　(1)对数式中求值的方法 ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. (2)利用对数的性质求值的方法 ①求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算. ②已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解. 跟踪训练4　求下列各式中x的值. (1)lox＝－3；(2)logx49＝4； (3)log8[log7(log2x)]＝0；(4)log2[log3(log2x)]＝1. 解　(1)x＝＝27. (2)由x4＝49,x>0且x≠1,得x＝. (3)由log8[log7(log2x)]＝0, 得log7(log2x)＝1,即log2x＝7,∴x＝27. (4)由log2[log3(log2x)]＝1, 得log3(log2x)＝2,∴log2x＝9,∴x＝29. 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)指数式与对数式的互化. (3)对数的基本恒等式. (4)对数的计算. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共12分 1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0且a≠1 D.a< 答案　B 解析　由题意知解得0<a<. 2.已知logx16＝2,则x等于(　　) A.4 B.±4 C.256 D.2 答案　A 解析　由logx16＝2,得x2＝16＝(±4)2, 又x>0,且x≠1,∴x＝4. 3.若log3(x－2)＝2y－3＝1,则x＋y的值为(　　) A.2 B.3 C.5 D.8 答案　D 解析　由log3(x－2)＝1,得x－2＝3,解得x＝5,由2y－3＝1,得y－3＝0,解得y＝3, 所以x＋y＝8. 4.化简－2－log10 0.01＋log223等于(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 答案　B 解析　原式＝4－(33－log10＋3 ＝4－32－(－2)＋3＝0. 5.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是(　　) A.若M＝N,则logaM＝logaN B.若logaM＝logaN,则M＝N C.若logaM2＝logaN2,则M＝N D.若M＝N,则logaM2＝logaN2 答案　B 解析　A中,当M,N小于或等于0时,logaM＝logaN不成立；B正确；C中,M与N也可能互为相反数；D中,当M＝N＝0时等式不成立. 6.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若lox＝3,则x＝2 B.若logx＝－则x＝64 C.若则x＝4 D.若lob2＝1,则a＝b 答案　AB 解析　由lox＝3,得x＝()3＝2则A正确；由logx＝－得＝2－4,又(＝x,所以x＝(2－4＝26＝64,则B正确； 由3－2＝得log3＝－2,所以x－2＝即x＝2或x＝－2, 则C不正确； D中,a,b可能互为相反数,则D不正确. 7.(5分)若a＝log23,则2a＋2－a＝　　　　.  答案　 解析　∵a＝log23,∴2a＝＝3, ∴2a＋2－a＝2a＋＝3＋. 8.(5分)若log7[log3(lox)]＝0,则x＝　　　　.  答案　 解析　由题意得log3(lox)＝1, ∴lox＝3,∴x＝. 9.(12分)将下列指数式与对数式互化： (1)35＝243；(3分)(2)2－5＝；(3分) (3)lo81＝－4；(3分)(4)log2128＝7.(3分) 解　(1)log3243＝5. (2)log2＝－5. (3)＝81. (4)27＝128. 10.(9分)若lox＝m,loy＝m＋2,求的值. 解　∵lox＝m,∴＝x,x2＝. ∵loy＝m＋2,∴＝y,y＝. ∴＝16. 11.设f(log2x)＝2x(x>0),则f(2)的值是(　　) A.128 B.16 C.8 D.256 答案　B 解析　令log2x＝2,可得x＝4, 所以f(2)＝24＝16. 12.(多选)已知集合A＝{1,2,4,8},集合B＝{0,1,2,3,4,6,8,16},下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A.y＝2x B.y＝|x－2| C.y＝log2x D.y＝2x 答案　BCD 解析　A＝{1,2,4,8},B＝{0,1,2,3,4,6,8,16}, 当x＝1时,21＝2∈B,|1－2|＝1∈B,log21＝0∈B,2×1＝2∈B； 当x＝2时,22＝4∈B,|2－2|＝0∈B,log22＝1∈B,2×2＝4∈B； 当x＝4时,24＝16∈B,|4－2|＝2∈B,log24＝2∈B,2×4＝8∈B； 当x＝8时,28＝256∉B,|8－2|＝6∈B,log28＝3∈B,2×8＝16∈B, 所以y＝2x不能建立从集合A到集合B的函数关系,A错误； y＝|x－2|,y＝log2x,y＝2x可以建立从集合A到集合B的函数关系,B,C,D正确. 13.若a>0则loa等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　因为a>0, 所以a＝ 设loa＝x,所以＝a, 所以x＝3. 14.(5分)若a＝log102,b＝log103,则10的值为　　　.  答案　 解析　∵a＝log102,∴10a＝2. ∵b＝log103,∴10b＝3. ∴10. 15.已知正实数a,b满足ba＝4,且a＋log2b＝3,则a＋2b的值可以为(　　) A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 答案　A 解析　因为a＋log2b＝3,所以log2b＝3－a, 所以b＝23－a, 所以ba＝(23－a)a＝＝4＝22, 所以－a2＋3a＝2,即a2－3a＋2＝0,解得a＝1或a＝2, 当a＝1时,b＝4,则a＋2b＝9；当a＝2时,b＝2,则a＋2b＝6. 16.(12分)若log2[lo(log2x)]＝log3[lo(log3y)]＝log5[lo(log5z)]＝0,试确定x,y,z的大小关系. 解　由log2[lo(log2x)]＝0, 得lo(log2x)＝1,log2x＝即x＝. 同理y＝z＝. ∵y＝x＝ ∴y>x. 又x＝＝3z＝＝2 ∴x>z,∴y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $