第4章 4.1.3 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦幂函数的概念、图象特征和性质，通过实例抽象概念，结合y=x、x²等具体幂函数的图象分析定义域、值域、单调性等性质，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 资料以历史背景引入培养数学文化，问题驱动引导学生用数学眼光观察现实抽象概念，通过图象与性质分析发展数学思维，结合实例训练提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后练习帮助学生查漏补缺。

4.1.3　幂函数 学习目标　1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化,会根据幂函数的单调性比较幂值的大小. 导语 同学们,我们说要学好数学,要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数,“幂”其原意是遮盖东西用的布,后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂.清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 问题1　下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg,那么她需要支付p＝ω元,这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S＝a2,这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V＝b3,这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c＝这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v＝ km/s,即v＝t－1,这里v是t的函数. 提示　这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数. 知识梳理 1.幂函数的概念 一般来说,当x为自变量而α为非零实数时, 函数y＝xα叫作(α次)幂函数. 2.幂运算的基本不等式 对任意的正实数r和两正实数a>b,有 >1,即ar>br. 对任意的负实数r和两正实数a>b,有<1,即ar<br. 注意点： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是非零实数. (4)函数的定义域与α有关. 例1　(1)在函数y＝y＝2x2,y＝x2＋x,y＝1中,幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为y＝＝x－2,所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2,因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式,不是幂函数；y＝1＝x0,易知指数不能为0,所以常函数y＝1不是幂函数. (2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数,求m,n的值. 解　由题意得 解得或 所以m＝－3或1,n＝. 反思感悟　幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为非零实数)的形式,需满足：①指数为常数,②底数为自变量,③xα的系数为1.形如y＝(3x)α,y＝2xα,y＝xα＋5,…形式的函数都不是幂函数. (2)若一个函数为幂函数,则该函数也必具有y＝xα(α为非零实数)这一形式. 跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)＝16,则f(－4)＝　　　　.  答案　16 解析　设f(x)＝xα, ∵f(4)＝16,∴4α＝16, 解得α＝2,∴f(x)＝x2, ∴f(－4)＝(－4)2＝16. 二、幂函数的图象与性质 问题2　根据之前所学,我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示　根据函数解析式先求出函数的定义域,然后画出函数图象,再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. 问题3　你能在同一坐标系下作出y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝y＝x－1这五个函数的图象吗？ 提示　 问题4　观察函数图象以及函数解析式,完成下表. y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 单调性 提示　R　R　R　[0,＋∞)　{x|x≠0}　R　[0,＋∞)　R　[0,＋∞)　{y|y≠0}　奇函数 偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数　增函数　在[0,＋∞)上递增,在(－∞,0]上递减　增函数　在[0,＋∞)上递增　在(0,＋∞)上递减,在(－∞,0)上递减 知识梳理 幂函数y＝xα(α≠0)具有以下性质： (1)当α>0时,它在[0,＋∞)上有定义且单调递增,值域为[0,＋∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点； (2)当α<0时,它在(0,＋∞)上有定义且单调递减,值域为(0,＋∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正方向无限接近,向右与x轴正方向无限接近. 注意点：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0,＋∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上单调递增. 特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸；当α＝1时,幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减,且函数在原点无意义. (4)在(—∞,0)上,幂函数有无图象与α的取值有关,若函数为偶函数,函数图象一定出现在第二象限,若函数为奇函数,函数图象一定出现在第三象限. (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. (6)在第一象限,作直线x＝a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列. 例2　如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,故C1的n＝2,C2的n＝；当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－曲线C4的n＝－2. 反思感悟　(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念,对于幂函数y＝xα(α≠0),由于α的取值不同,所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时,注意分类讨论思想的应用. (2)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值,确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象. ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象. 跟踪训练2　若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　) A.－1<n<0<m<1 B.n<－1,0<m<1 C.－1<n<0,m>1 D.n<－1,m>1 答案　B 解析　由图象知,y＝xm在(0,＋∞)上递增, 所以m>0, 由于y＝xm的图象增长的越来越慢, 所以m<1, y＝xn在(0,＋∞)上递减, 所以n<0, 又当x>1时,y＝xn的图象在y＝x－1的下方, 所以n<－1. 三、幂函数性质的综合运用 例3　(1)(课本例8)比较下列各组中两个数的大小： ①1.51.4,1.61.4；②1.50.4,1.60.4； ③1.5－1.5,1.6－1.5. 解　①1.51.4,1.61.4可看作幂函数y＝x1.4的两个函数值.该函数在[0,＋∞)上递增,由于底数1.5<1.6,所以1.51.4<1.61.4. ②1.50.4,1.60.4可看作幂函数y＝x0.4的两个函数值.该函数在[0,＋∞)上递增,由于底数1.5<1.6,所以1.50.4<1.60.4. ③1.5－1.5,1.6－1.5可看作幂函数y＝x－1.5的两个函数值.该函数在(0,＋∞)上递减,由于底数1.5<1.6,所以1.5－1.5>1.6－1.5. 例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小： ①与； ②与； ③与. 解　①∵幂函数y＝x0.5在[0,＋∞)上递增, 又>∴>. ②∵幂函数y＝x－1在(－∞,0)上递减, 又－<－∴>. ③∵函数y1＝在[0,＋∞)上递增, 又>1,∴>＝1. 又∵函数y2＝在[0,＋∞)上递增,且<1, ∴<＝1, ∴>. (2)已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4,2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性,并进行证明； ③若f(a＋1)>f(2a－3),求实数a的取值范围. 解　①因为f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数,所以m2－2m＋1＝1,∴m＝2或m＝0. 当m＝2时,f(x)＝图象过点(4,2)； 当m＝0时,f(x)＝图象不过点(4,2),舍去. 综上,f(x)＝. ②函数f(x)在[0,＋∞)上为增函数. 设x1,x2∈[0,＋∞),且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝ 因为0≤x1<x2<0, 即f(x1)－f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0,＋∞)上为增函数. ③函数f(x)在[0,＋∞)上为增函数,由f(a＋1)>f(2a－3),则得≤a<4. 综上,a的取值范围为. 反思感悟　比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造函数,利用幂函数的单调性比较大小. (2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”. (3)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等. (4)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合等数学思想. 跟踪训练3　(1)比较下列各组数的大小： ①与；②－3.143与－π3. 解　①∵y＝x0.3在[0,＋∞)上递增且> ∴>. ②∵y＝x3是R上的增函数,且3.14<π, ∴3.143<π3, ∴－3.143>－π3. (2)已知函数f(x)＝(m∈N＋).若该函数图象经过点(2),试确定m的值,并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围. 解　∵该函数图象过点(2), ∴ ∴m2＋m＝2,∴m＝1或m＝－2(舍去), ∴f(x)＝且在[0,＋∞)上递增. 由f(2－a)>f(a－1),得 解得1≤a<. 故m的值为1,满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为. 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共12分 1.若幂函数的图象过点(3),则该幂函数的解析式是(　　) A.y＝x－1 B.y＝ C.y＝x2 D.y＝x3 答案　B 解析　设y＝xα,则3α＝ ∴α＝∴y＝. 2.下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,＋∞)上递增的是(　　) A.f(x)＝x3 B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ D.f(x)＝x－1 答案　A 解析　对于A,函数f(x)＝x3,由f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x),可得函数f(x)为奇函数,根据幂函数的性质,函数f(x)＝x3在区间(0,＋∞)上递增,符合题意； 对于B,函数f(x)＝x2,由f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x),可得函数f(x)为偶函数,不符合题意； 对于C,函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞),不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数,不符合题意； 对于D,函数f(x)＝x－1在(0,＋∞)上递减,不符合题意. 3.若四个幂函数y＝xa,y＝xb,y＝xc,y＝xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(　　) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c 答案　B 解析　在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数由小到大,所以a>b>c>d. 4.已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N＋且m≠4)为奇函数,且在区间(0,＋∞)上递增,则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 答案　C 解析　因为f(x)＝x4－m在(0,＋∞)上递增, 所以4－m>0,所以m<4. 又因为m∈N＋,所以m＝1,2,3. 又因为f(x)＝x4－m是奇函数, 所以4－m是奇数, 所以m＝1或3. 5.已知a＝20.2,b＝0.40.2,c＝0.150.1,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案　A 解析　因为y＝x0.2在R上为增函数,所以20.2>0.40.2,即a>b, 又因为0.40.2＝＝0.160.1,且y＝x0.1在[0,＋∞)上递增, 所以0.160.1>0.150.1,即b>c,所以a>b>c. 6.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B.在(0,＋∞)上递减 C.奇函数 D.定义域为R 答案　BC 解析　设幂函数f(x)＝xα(α≠0), 因为幂函数的图象过点 所以＝27α,解得α＝－ 所以f(x)＝ 由幂函数的性质知,f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f(x)是奇函数,在(－∞,0),(0,＋∞)上均递减. 7.(5分)如图为三个幂函数y＝y＝y＝的局部图象,则实数a1,a2,a3从小到大的排列顺序为　　　　　　.(请用“<”连接)  答案　a1<a2<a3 解析　对于y＝由其图象可知a1<－1,例如a1＝－2； 对于y＝由其图象可知0<a2<1,例如a2＝； 对于y＝由其图象可知a3>1,例如a3＝3, 所以a1<a2<a3. 8.(5分)已知函数f(x)为幂函数,且f(4)＝若f(a)≥f(2－a2),则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　{a|0<a≤1} 解析　设f(x)＝xα(α≠0),则4α＝解得α＝－ 所以f(x)＝定义域为(0,＋∞),且f(x)在定义域上为减函数, 故解得0<a≤1. 9.(10分)比较下列各组数的大小： (1)和；(5分) (2)和.(5分) 解　(1)函数y＝在(0,＋∞)上递减, 又3<3.2,所以>. (2)函数y＝在[0,＋∞)上递增, 又> 所以>. 10.(11分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3, 又f(x)为偶函数,则m＝3, 所以f(x)＝x2. (2)g(x)＝x2－ax－3＝－3－在[1,3]上不单调, 则对称轴x＝满足1<<3,即2<a<6. 所以实数a的取值范围为(2,6). 11.在同一坐标系内,函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 答案　C 解析　选项A中,幂函数的指数a<0,则y＝ax－应为减函数,A错误； 选项B中,幂函数的指数a>1,则y＝ax－应为增函数,B错误； 选项D中,幂函数的指数a<0,则－>0,直线y＝ax－与y轴的交点应在x轴上方,D错误. 12.函数f(x)＝(a－b)＋b－3是幂函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)＝f(b) D.以上都不对 答案　A 解析　∵f(x)为幂函数, ∴∴ ∴f(x)＝ ∴f(x)在[0,＋∞)上递增, 且a>b>0, ∴f(a)>f(b). 13.已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm,对任意x1,x2∈(0,＋∞)且x1≠x2,都有>0,若a,b∈R,a＋b<0,则f(a)＋f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.等于0 C.恒小于0 D.无法判断 答案　C 解析　因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm为幂函数, 所以m2－2m－2＝1,且m≠0, 解得m＝－1或m＝3. 因为对任意x1,x2∈(0,＋∞)且x1≠x2,都有>0, 可知函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增, 当m＝－1时,f(x)＝x－1,此时函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,矛盾； 当m＝3时,f(x)＝x3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,满足条件, 所以m＝3,f(x)＝x3, 函数f(x)＝x3为奇函数,且在R上为增函数, 由a＋b<0,可得a<－b,所以f(a)<f(－b),即f(a)<－f(b), 所以f(a)＋f(b)<0. 14.(5分)不等式(2x＋1<(x－3的解集为　　　　　　.  答案　 解析　幂函数f(x)＝的定义域为R,且在[0,＋∞)上递增, 又f(－x)＝＝f(x), 则f(x)为偶函数, 所以f(x)在(－∞,0)上递减, 则由不等式(2x＋1<(x－3可得|2x＋1|<|x－3|, 整理得3x2＋10x－8<0, 即(3x－2)(x＋4)<0, 解得－4<x< 则不等式的解集为. 15.(多选)若a>b>1>c>0>d,则下列不等式不成立的是(　　) A.ad>bd B.dca<dba C.ac>bc D.b<d 答案　ABD 解析　∵d<0,∴幂函数y＝xd在(0,＋∞)上递减, 又∵a>b>1,∴ad<bd,故A不成立； ∵a>0,∴幂函数y＝xa在(0,＋∞)上递增, 又∵b>c>0,∴ba>ca, 又∵d<0,∴dba<dca,故B不成立； ∵c>0,∴幂函数y＝xc在(0,＋∞)上递增, 又∵a>b>1,∴ac>bc,故C成立； ∵a>b>1,∴>1, ∴幂函数y＝在(0,＋∞)上递增, 又∵b>c>0,∴>>0, 又∵b>0>d,∴b>0,d<0, ∴b>d故D不成立. 16.(12分)若函数f(x)＝(m2－3m＋3)为幂函数,且在(0,＋∞)上单调递减. (1)求实数m的值；(3分) (2)若函数g(x)＝x－f(x),x∈(0,＋∞), ①判断函数g(x)的单调性,并证明；(5分) ②求使不等式g(2t－1)<g(t)成立的实数t的取值范围.(4分) 解　(1)由题意知m2－3m＋3＝1,解得m＝1或m＝2, 当m＝1时,幂函数f(x)＝x－1, 此时f(x)在(0,＋∞)上单调递减,符合题意； 当m＝2时,幂函数f(x)＝x4, 此时f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不符合题意. 所以实数m的值为1. (2)①由(1)知f(x)＝x－1.g(x)＝x－f(x)＝x－g(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2, 则g(x1)－g(x2)＝ ＝(x1－x2)－ ＝(x1－x2) 由0<x1<x2可得x1－x2<0,1＋>0, 则g(x1)－g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 故g(x)在区间(0,＋∞)上单调递增. ②由①知,g(x)在区间(0,＋∞)上单调递增, 又由g(2t－1)<g(t)可得 解得<t<1,所以实数t的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $