4.3.2 对数的运算法则-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦对数的运算法则核心知识点，系统梳理对数运算性质（同底数积、商、幂的对数法则），衔接常用对数与自然对数概念，构建换底公式实现不同底数对数转换的知识脉络，通过定义阐释、性质点拨、公式推导及例题解析搭建学习支架。 资料以数学运算、数学建模为核心素养导向，设计探究点结合实际问题，如黎曼猜想中素数个数估计、自动驾驶仪空间复杂度计算，培养建模能力。分层练习与综合问题设计，课中助力教师教学实施，课后帮助学生巩固运算技能，查漏补缺提升应用能力。

4.3.2　对数的运算法则 学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算，培养数学运算的核心素养. 2.了解对数、常用对数、自然对数的概念，培养数学抽象核心素养.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数. 3.了解对数在简化运算中的作用，并能利用对数解决实际应用问题，培养数学建模的核心素养. 知识点一　对数的运算性质 若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM. [点拨]　对数的运算性质必须在同底数时才能使用，而且必须保证式子中的所有对数都有意义. 知识点二　常用对数与自然对数 知识点三　换底公式 　logbN＝(a＞0且a≠1；b＞0且b≠1；N＞0) [点拨]　换底公式的适用条件 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差. (　　) (2)loga(xy)＝logax·logay. (　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5). (　　) (4)由换底公式可得logab＝. (　　) (5)log2M＋log3N＝log6(MN). (　　) (6)log23·log32＝1. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2.lg＝(　　) A.－4 B.4 C.10 D.－10 答案：A 解析：lg＝lg 10－4＝－4. 3.设a＝lg 2，b＝lg 3，则log26＝(　　) A.ab2 B.a2b C. D. 答案：C 解析：因为a＝lg 2，b＝lg 3， 所以log26＝.故选C. 4.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为　　　　. 答案：1 解析：方法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct， 因为＋＋＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，所以abc＝t0＝1，即abc＝1. 方法二：因为a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， 所以令ax＝by＝cz＝t＞0，所以x＝，y＝，z＝， 所以＋＋＋＋ ＝. 因为＋＋＝0，且lg t≠0， 所以lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0， 所以abc＝1. 学生用书⬇第90页 探究点一　对数运算性质的应用 求下列各式的值： (1)log2(47×25)； (2)lg ； (3)lg－lg＋lg； (4)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 解：(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19. (2)lg ＝lg 10lg 100＝×2＝. (3)方法一：原式＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋×(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5) ＝lg 10 ＝. 方法二：原式＝lg－lg 4＋lg 7 ＝lg ＝lg(·)＝lg. (4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 利用对数运算性质化简求值 1.“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； 2.“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； 3.“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 对点练1.(1)1＋log23×log332－＝　　　　； (2)2(lg)2＋lg×lg 5＋ ＝　　　　. 答案：(1)10　(2)1 解析：(1)原式＝＋log23×log325－3 ＝23＋log23×5×log32－3 ＝8＋5－3 ＝10. (2)原式＝lg×(2lg＋lg 5)＋ ＝lg×(lg 2＋lg 5)＋｜lg－1｜ ＝lg×lg(2×5)＋1－lg ＝1. 探究点二　对数换底公式的应用 计算： (1)log29·log34； (2)； (3)已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. 解：(1)由换底公式可得， log29·log34＝··＝4. (2)原式＝×＝lo×lo9 ＝××＝－. (3)因为18b＝5，所以log185＝b， 所以log3645＝ ＝. 利用换底公式求值的思想与注意点 对点练2.已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 解：因为log23＝a，所以＝log32， 又因为log37＝b， 所以log4256＝. 学生用书⬇第91页 探究点三　实际问题中的对数运算 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数的个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A.768 B.144 C.767 D.145 答案：D 解析：由题意可知：π(1 000)≈lg e≈×0.434 29≈145. 所以根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为145. 关于对数运算在实际问题中的应用 1.在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. 2.在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 对点练3.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A. B. C. D. 答案：B 解析：汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010， 目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230. 所以，两边取常用对数， 可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230 ≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88. 所以＝10－1.88≈. 探究点四　对数运算中的综合问题 (1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋. (2)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值. 解：(1)证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞1. 由对数的定义，得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， 则＋＋＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36， ＝2logk6＝logk36， 所以＋. 法二：对3a＝4b＝6c同时取对数，得 lg 3a＝lg 4b＝lg 6c，即alg 3＝blg 4＝clg 6， 所以＝log63，＝log64， 又＋＝log6(9×4)＝2， 所以＋. (2)因为3a＝5b＝c， 所以a＝log3c，b＝log5c， 所以＝logc3，＝logc5， 所以＋＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15，即c＝. 解对数综合应用问题的三种方法 1.统一化：所求为对数式，条件转为对数式. 2.选底数：针对具体问题，选择恰当的底数. 3.会结合：会换底公式与对数运算法则结合使用. 对点练4.已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋. 证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)， 所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k， 所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，logk6＝logk2＋logk3，所以＋. 对点练5.已知a，b均为正数，且3a＝5b＝15，求＋的值. 解：因为3a＝5b＝15， 所以a＝log315，b＝log515， 所以＋＝log153＋log155＝log1515＝1. 学生用书⬇第92页 1.log242＋log243＋log244＝(　　) A.1 B.2 C.24 D. 答案：A 解析：log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1. 2.设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是(　　) A. B.9 C.18 D.27 答案：B 解析：因为log34·log48·log8m ＝··＝log416＝＝2， 所以lg m＝2·lg 3＝lg 32，解得m＝9.故选B. 3. (2025·江苏南通高一期末)设lg 2＝a，lg 3＝b.若2 025＝100c，则c＝　　　　.(结果用a，b表示) 答案：2b－a＋1 解析：由2 025＝100c可得c＝log1002 025＝＝lg 45＝lg ＝lg 90－lg 2＝2lg 3＋1－lg 2＝2b－a＋1. 4.化简下列各式： (1)4lg 2＋3lg 5－lg ； (2)2log32－log3＋log38－. 解：(1)原式＝4lg 2＋3lg 5－lg 5－1 ＝4lg 2＋4lg 5 ＝4(lg 2＋lg 5) ＝4lg 10 ＝4. (2)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3 ＝－1. 课时分层评价25　对数的运算法则 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.以下四个式子中a＞0且a≠1，x＞0，m＞0，n＞0，其中恒成立的是(　　) A.(logax)3＝3logax B.loga(m＋n)＝logam＋logan C.loga＝logam－logan D.＝logaxm 答案：C 解析：由对数的运算性质可知a＞0且a≠1，m＞0，n＞0. loga＝logam－logan，＝loga，故选C. 2.设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由log89＝a，得log23＝a，所以a.又log35＝＝b，所以×ab，所以ab，所以lg 2＝. 3.对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级70 dB，声强为I2时的声强级为60 dB，则＝(　　) A.10 B.100 C.1010 D.10 000 答案：A 解析：由题意可得两式相减得lg ＝1，所以＝10.故选A. 4.计算(log32＋log23)2－－的值为(　　) A.log26 B.log36 C.2 D.1 答案：C 解析：原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2. 5.若实数a，b，c满足25a＝403b＝2 015c＝2 019，则下列式子正确的是(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案：A 解析：由已知，得52a＝403b＝2 015c＝2 019，得2a＝log52 019，b＝log4032 019，c＝log2 0152 019，所以＝log2 0195，＝log2 019403，＝log2 0192 015，而5×403＝2 015，所以＋，即＋，故选A. 6.(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有(　　 ) A.＋＝1 B.＋＝lg 20 C.＋＝2 D.＋ 答案：AB 解析：由题意知，a＝log210，b＝log510，＋＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；＋＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D不正确.故选AB. 7.化简：log3＋log3＋log3＋…＋log3＝　　　　. 答案：－4 解析：原式＝log3 ＝log3＝－4. 8.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为　　　　. 答案：3 解析：由2x＝3得x＝log23， 所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋ ＝log23＋(3log22－log23)＝3. 9.(10分)计算： (1)(lg 5)2＋3lg 2＋2lg 5＋lg 2×lg 5； (2)； (3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×. 解：(1)(lg 5)2＋3lg 2＋2lg 5＋lg 2×lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 ＝lg 5×lg 10＋2lg 10＋lg 2 ＝2＋(lg 5＋lg 2) ＝3. (2) ＝ ＝ ＝－4. (3)(log62)2＋(log63)2＋3 log62× ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6 ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6 ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1. 10.(10分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度v(单位：m·s－1)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是常数).据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，飞行速度为1 m·s－1.若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于2 m·s－1，求其耗氧量至少要多少个单位. 解：由题意，知 所以v＝－1＋log3， 要使飞行速度不能低于2 m·s－1，则有v≥2， 即－1＋log3≥2， 即log3≥3，解得≥27，即Q≥270， 所以耗氧量至少要270个单位. (11、12每小题5分，共10分) 11.定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论： ①a*b＝b*a； ②(a*b)*c＝a*(b*c)； ③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c). 其中正确结论的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：D 解析：由题意，得a*b＝lg(10a＋10b)＝lg(10b＋10a)＝b*a，故①正确； (a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg[1＋10c]＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝a*lg(10b＋10c)＝lg[10a＋1]＝lg(10a＋10b＋10c)，故②正确； (a＋c)*(b＋c)＝lg(10a＋c＋10b＋c)，(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg 10c＝lg(10a·10c＋10b·10c)＝lg(10a＋c＋10b＋c)，故③正确.故选D. 12.已知使log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)(k∈N＋)为整数的数k称为“企盼数”，则在区间[1，1 000]内“企盼数”共有　　　　个. 答案：8 解析：log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)＝××…×＝log2(k＋2)，令log2(k＋2)＝n(n∈Z)，则k＋2＝2n(n∈Z).又k∈[1，1 000]，故k＋2＝22，23，…，29，故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}，所以在区间[1，1 000]内共有8个“企盼数”. 学科网（北京）股份有限公司 $