第4.2节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦指数函数性质及综合应用，课堂导入可从指数函数单调性、奇偶性等基础回顾入手，过渡到分段函数、实际问题等综合场景，搭建从基础到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合实际情境如湖泊蓝藻面积增长和数学模型，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论分段函数单调性、换元法求指数函数最值等发展数学思维，解答题规范推导强化数学语言表达。典型例题提升应用意识，学生能巩固知识提升能力，教师可直接用于课堂训练提高教学效率。

数学 必修第一册 XJ 1 4.2 4.2 指数函数 2 4.2 第4.2节综合训练 刷能力 3 1.［甘肃兰州2025高一期中］若函数是上的单调函数，则实数 的 取值范围为( ) D A. B. C. D. 4 解析 ①若函数在 上单调递增， 则满足即解得 . ②若函数在 上单调递减， 则满足即 此时无解. 综上，实数的取值范围为 .故选D. 5 2.［广东佛山南海区一中2025高一月考］已知函数，若，则 的最大值和最小值分别是( ) B A.,0 B.,1 C., D.3，1 6 解析 由，得，令 ， 则可等价于，又图象的对称轴为直线 ， 所以在 上单调递增， 在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为 ， 当时，取得最小值，最小值为 ， 所以的最大值和最小值分别是 ,1.故选B. 7 3.（多选）如图，某湖泊蓝细菌的面积（单位：）与时间 （单位：月） 的关系满足 ，则下列说法正确的是( ) ACD A.蓝细菌面积每个月的增长率为 B.蓝细菌每个月增加的面积都相等 C.第4个月时，蓝细菌面积就会超过 D.若蓝细菌的面积蔓延到，，所经过的时间分别是，， ， 则一定有 8 解析 由题图可知,函数的图象经过点,即,则,, 不是常数.由可知蓝细菌每个月的面积是上个月面积的3倍,则每个月的增长率为 ,A正 确,B错误； 当时, ,C正确； 若蓝细菌的面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,,则,, , ,则,D正确.故选 . 9 4.（多选）［安徽合肥八中2025高一期中］高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其 名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如:, .已知 函数, ，则下列说法中正确的是( ) ABD A.是奇函数 B.在 上是增函数 C.是偶函数 D.的值域是, 10 解析 由，得， 的定义域为 ，则 是奇函数，故A正确. ， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在 上是增 函数，故B正确. 因为，所以 ， 所以, ， 当时， ， 当时， ， 所以不是偶函数，的值域是,，故C不正确，D正确.故选 . 11 5.［四川成都部分学校2025高一期末联考］已知函数，对任意的 , ，若，恒有，则实数 的取值范围为________. 解析 由题意得在上是单调函数，而，令 ， 则在 上单调. 又在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，所 以只需，即 . 12 6.［湖北咸宁2024高一期末］已知,，其中, . （1）若，求 的取值范围. 【解】由的定义域为,且,得 为偶函数. 当时, , 当时,,,则 , 当时,,,则 . 因此,,即在 上单调递增. 若,即,则 ,两边平方可得 ,即 , 解得 , 所以的取值范围为 . 13 （2）设，若,，恒有，求实数 的取值范围. [答案] 设,,依题意可知时, . 因为 , 则 , 当时,令,由（1）可知,在上单调递增,在 上单调 递增, 则在上单调递增,可得在 上单调递减, 所以 . 因为 14 , 由以上分析知在上单调递增,则在 上单调递增, 可得在 上单调递增, 所以 . 因此 恒成立, 设,则,则,整理得,解得 ,则 , 所以,解得且 , 结合,可得 , 所以实数的取值范围为 . 规律方法 ,,则等价于 ； ,,则等价于 ； ,,则等价于 ； ,,则等价于 . 16 7.［2022中学生标准学术能力诊断性测试］已知定义域为的偶函数和奇函数 满足： .若存在实数，使得关于的不等式在区间 上恒 成立，则正整数 的最小值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 17 解析 由题可得,又 ,联立可得 , . 又的内层函数为（在上单调递增）,外层函数为（在 上单调递增）,故由复合函数单调性知在上单调递增,故, . 在上单调递增,故, . 若则且为正整数,只需 即可. 若则且 为正整数,不成立. 综上,正整数 的最小值为2.故选B. 18 $$