第4章 4.1.2 无理数指数幂（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦无理数指数幂核心知识点，通过有理数指数幂的基本不等式（正、负有理数情形及推论）搭建学习支架，系统阐述从有理数指数幂到无理数指数幂的拓展过程，明确实数指数幂的概念及运算性质。 资料以问题链引导学生用数学眼光观察指数范围拓展的必要性，通过推理证明（如幂运算不等式证明）培养数学思维，结合整体代换法等例题解析提升数学语言表达能力，课中辅助教师授课，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺。

4.1.2　无理数指数幂 学习目标　1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算法则掌握实数指数幂的运算法则. 导语 上节我们将ax(a>0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.那么,当指数x是无理数时,ax的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是,那么它有什么运算性质？在初中的学习中,我们通过有理数认识了一些无理数,类似地,也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂. 一、有理数指数幂的基本不等式 问题1　对任意的正整数n和正数a, 若a>1,则an与1的大小关系如何？ 若a<1,则an与1的大小关系如何？ 提示　若a>1,则an>1；若a<1,则an<1. 问题2　对任意的正有理数和1之间的大小关系如何？ 提示　若a>1,则>1；若a<1,则<1. 知识梳理　有理数指数幂的基本不等式 (1)基本形式：对任意的正有理数r和正数a,若a>1,则ar>1；若a<1,则ar<1. (2)推论：对任意的负有理数r和正数a,若a>1,则ar<1；若a<1,则ar>1. (3)对任意的正数a>1和两有理数r>s,有＝ar－s>1,即ar>as. 对任意的正数a<1和两有理数r>s,有＝ar－s<1,即ar< as. 二、无理数指数幂的概念 问题3　阅读课本98~99页的内容,你发现了什么？ 提示　可以发现,当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时,它是一个确定的实数,在数轴上有唯一的一个点与它对应. 知识梳理 1.一般地，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义.在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数. 2.实数指数幂的运算性质 对任意实数r,s,均有： (1)ar·as＝ar＋s(a>0,r,s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a>0,r,s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r∈R). 拓展： (1)ar÷as ＝ar－s(a>0,r,s∈R)； (2)(a>0,b>0,r∈R). 注意点：特别强调底数a>0,如果a<0,比如无法判断其值是1还是－1. 例1　(课本例6)化简下列各式： (1)(；(2)(－2)4·4π－2. 解　(1)(＝32＝9. (2)(－2)4·4π－2＝42·4π－2＝42＋π－2＝4π. 例1　计算下列各式的值： (1)(×； (2)(a>0)； (3). 解　(1)原式＝(×＝29×32＝4 608. (2)原式＝＝a0＝1. (3)原式＝＝(＝π. 反思感悟　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算. 跟踪训练1　计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1)；(2)a－π. 解　(1)原式＝(·＝26·m3＝64m3. (2)原式＝＝a0＝1. 三、幂运算的基本不等式的证明 例2　(课本例7)已知a>1,h>0,对任意的实数u,求证：au＋2h－au＋h>au＋h－au. 证明　因为au＋2h,au＋h,au都是正数, 且＝ah>1, 故au＋2h－au＋h,au＋h－au也是正数. 又＝ah>1, 即得au＋2h－au＋h>au＋h－au. 例2　已知a>1,t>0,对任意实数m,求证：am＋t＋am－t>2am. 证明　∵am＋t,am,am－t都为正数, 又＝at>1, ∴am＋t>am,am>am－t, ∴＝at>1, ∴am＋t－am>am－am－t,即am＋t＋am－t>2am. 反思感悟　对于正数a与实数μ,当μ>0时,若a>1,则aμ>1；若a<1,则aμ<1.当μ<0时,若a>1,则aμ<1；若a<1,则aμ>1. 跟踪训练2　若a>b>0,对r<0,求证：ar<br. 证明　∵a>b>0,∴>1, 又∵r<0,∴<1,即<1,∴ar<br. 四、实数指数幂的计算求值 例3　(1)已知则x2＋x－2＝　　　　.  答案　7 解析　将 两边平方得x＋x－1＋2＝5,则x＋x－1＝3, 两边再平方得x2＋x－2＋2＝9,所以x2＋x－2＝7. (2)已知x＋x－1＝7,求值： ①；②x2－x－2. 解　①设m＝ 两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9, 因为m>0,所以m＝3,即＝3. ②设n＝ 两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5, 因为n∈R,所以n＝± 即＝±. 所以x－x－1＝()()＝±3 x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21. 延伸探究　本例(2)的条件不变,求x3＋x－3的值. 解　由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47, 所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1) ＝7×46＝322. 反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂 ①整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键. ②利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式. x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2,x＋x－1＝(±)2∓2＝(±)2∓2. 跟踪训练3　(1)若＝2,则(x＋3＝　　　　.  答案　±1 解析　因为＝2,则＝23＝8, 得x2＝8,解得x＝±2 所以(x＋3＝(3±2＝[(±1)2±1. (2)若＝1,则x＋x－1＝　　　　；x2＋x－2＝　　　　.  答案　3　7 解析　将＝1, 两边平方得x＋x－1－2＝1,则x＋x－1＝3. x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9, 所以x2＋x－2＝7. 1.知识清单： (1)有理数指数幂的基本不等式. (2)无理数指数幂的概念. (3)幂运算的基本不等式的证明. (4)实数指数幂的计算求值. 2.方法归纳：整体代换法. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共45分；多选题每小题6分,共6分 1.已知集合A＝{0,1,2,4},B＝{x|x＝2n,n∈A},则A∩B等于(　　) A.{0,1,2} B.{0,1,4} C.{2,4} D.{1,2,4} 答案　D 解析　由题意得B＝{1,2,4,16},又A＝{0,1,2,4}, ∴A∩B＝{1,2,4}. 2.在2－1中,最大的数是(　　) A. B. C. D.2－1 答案　C 解析　因为＝－2 2－1＝ 所以最大. 3.对于a>0,b>0,以下运算正确的是(　　) A.ar·as＝ars B.(ar)s＝ars C.＝arbr D.arbs＝(ab)r＋s 答案　B 解析　根据实数指数幂的运算性质进行判断. 4.下列运算中正确的是(　　) A. B.＝－ C.(－2)0＝1 D.(－)5＝－ 答案　D 解析　故A错误； 故B错误； 当a＝4时,(－2)0无意义,故C错误； (－)5＝－故D正确. 5.若3a·9b＝则下列等式正确的是(　　) A.a＋b＝－1 B.a＋b＝1 C.a＋2b＝－1 D.a＋2b＝1 答案　C 解析　∵3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1, ∴a＋2b＝－1. 6.(多选)已知a2＋a－2＝3,则a＋a－1等于(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案　AB 解析　(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝5, ∴a＋a－1＝±. 7.(5分)计算：＋(2＋1)0＝　　　　.  答案　7 解析　原式＝2＋4＋1＝7. 8.(5分)化简：＝　　　　.  答案　1 解析　原式＝＝1. 9.(10分)已知x＋x－1＝3(x>0),求的值. 解　因为x＋x－1＝3, 所以x2＋x－2＝7, 所以()2＝x3＋x－3＋2 ＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＋2＝3×6＋2＝20, 所以＝2. 10.(12分)已知0<a<1,h>0,对任意的实数u,求证：au＋h－au＋2h<au－au＋h. 证明　由au,au＋h,au＋2h都是正数, 且＝ah<1, 得au＋h－au＋2h>0,au－au＋h>0, 所以＝ ＝ah<1, 所以au＋h－au＋2h<au－au＋h. 11.在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中,“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字,且依次从大到小,则“国”字所对应的数字为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　B 解析　由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20,可得“国”字所对应的数字为3. 12.方程的解是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　B 解析　∵＝3－2, ∴x－1＝－2,∴x＝－ ∴方程的解是x＝－. 13.已知2a＝5b＝m,且＝2,则m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 答案　A 解析　由题意得m>0, ∵2a＝m,5b＝m, ∴2＝5＝ ∵2×5＝· ∴m2＝10,∴m＝. 14.(5分)已知2x＝8y＋1,9y＝3x－9,则x＋y＝　　　　.  答案　27 解析　由2x＝8y＋1,得2x＝23y＋3, 所以x＝3y＋3. ① 由9y＝3x－9,得32y＝3x－9, 所以2y＝x－9. ② 联立①②, 解得x＝21,y＝6, 所以x＋y＝27. 15.22k－1－22k＋1＋22k等于(　　) A.22k B.22k－1 C.－22k－1 D.－22k＋1 答案　C 解析　原式＝22k－1－22×22k－1＋2×22k－1 ＝(1－4＋2)×22k－1＝－22k－1. 16.(12分)已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1,x2(x1<x2). (1)求的值；(6分) (2)求的值.(6分) 解　由题意知x1＋x2＝8,x1x2＝4. (1)∵x1<x2, ∴ ＝ ＝＝2. (2) ＝ ＝＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $