第4章 4.1.1 有理数指数幂（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦有理数指数幂核心知识点，从平方根、立方根类比构建n次方根概念，系统梳理根式的定义、性质及运算，再通过分数指数幂实现根式与指数式的转化，最终落实有理数指数幂运算法则，形成层层递进的学习支架。 以毕达哥拉斯学派发现无理数的历史情境导入，激发学生用数学眼光观察现实世界的兴趣。通过问题驱动引导学生自主归纳n次方根概念，培养数学思维中的推理意识，结合含参数化简等例题强化数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

4.1.1　有理数指数幂 学习目标　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质. 导语 古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.这就是本节课我们要学习的根式. 一、根式 问题1　如果x2＝a,那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？ 提示　如果x2＝a,那么x叫作a的平方根,这样的x有两个；如果x3＝a,那么x叫作a的立方根,这样的x有一个. 问题2　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么？ 提示　比如(±2)4＝16,我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4＝81,我们把±3叫作81的4次方根；(－2)5＝－32,我们把－2叫作－32的5次方根；(±2)10＝1 024,我们把±2叫作1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到：如果2n＝a,那么我们把2叫作a的n次方根. 知识梳理 1.a的n次方根的定义 若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn＝a,则称x是a的n次方根. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0,＋∞) 3.根式：式子(n∈N,n≥2)叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0,记作＝0(n∈N,n≥2). (3)()n＝a(n∈N,且n≥2). (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 注意点： (1)对于()n＝a,若n为奇数,则a∈R；若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如＝－3＝3,而没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n＝；当a<0且n为奇数时,()n＝；当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序. 例1　(1)(课本例1)化简下列各式： ①；②；③； ④(a<b)；⑤. 解　①＝－2. ②＝2. ③＝3－a. ④因为a<b,所以＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a. ⑤＝|3－a|＝ 例1　(1)化简下列各式： ①＋()5； ②＋()6； ③. 解　①原式＝(－2)＋(－2)＝－4. ②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. ③原式＝|x＋2|＝ (2)已知－3<x<3,求的值. 解　原式＝ ＝|x－1|－|x＋3|, ∵－3<x<3,∴当－3<x<1时, 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝ 延伸探究　在本例(2)中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？ 解　原式＝ ＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3,∴x－1<0,x＋3≤0, ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 反思感悟　正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围. 跟踪训练1　化简下列各式： (1)； (2)； (3)(a≤1)； (4). 解　(1)＝－2. (2)＝|π－4|＋π－4 ＝4－π＋π－4＝0. (3)∵a≤1, ∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. (4)＝a＋|1－a|＝ 二、分数指数幂 问题3　被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如a>0,是否可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示　. 知识梳理 1.分数指数幂：当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定. 2.(1)ar·as＝ar＋s(a>0,r,s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0,r,s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r∈Q). 拓展：①＝ar－s(a>0,r,s∈Q). ②(a>0,b>0,r∈Q). 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 例2　(1)(课本例2)求值： ①1；②2；③；④. 解　①1＝(24＝23＝8. ②2＝(52＝5－1＝. ③＝(3－1)－3＝33＝27. ④＝. (2)(课本例3)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： ①a·；②a2·；③. 解　①a·＝a·. ②a2·＝a2·. ③＝(a·＝(. 例2　(1)化简的结果是(　　) A. B. C.3 D.5 答案　A 解析　原式＝. (2)(a>0)的分数指数幂表示为(　　) A. B. C. D.都不对 答案　A 解析　原式＝. (3)化简·(a>0)的结果是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝·. 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 跟踪训练2　(1)求值：＝　　　　.  (2)用分数指数幂表示a·(a>0)＝　　　.  答案　(1)－　(2) 解析　(1)原式＝＝－. (2)原式＝a·. 三、有理数指数幂的运算法则的应用 例3　(1)(课本例4)计算下列各式(式中字母都是正数)： ①()6； ②(3)·(－4)÷(－6). 解　①()6＝()6·()6 ＝a2b－5＝. ②(3)·(－4)÷(－6) ＝··＝2n. (2)(课本例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数)： ①.②()÷. ③. 解　①＝(ab. ②()÷＝()÷. ③＝(xy2·(xy＝(. 例3　(1)＝　　　　.(式中的字母均是正数)  答案　 解析　原式＝ ＝ ＝a－1＝. (2)计算：－(π－3)0＋. 解　原式＝－1＋2＝2. 反思感悟　关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错. 跟踪训练3　(1)－(－2)0－； (2)2÷(－6)(x,y>0). 解　(1)原式＝－1－－1－. (2)原式＝2×(－3)÷(－6)＝x2y. 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)根式的概念及性质. (3)分数指数幂与根式的相互转化. (4)分数指数幂的运算法则. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)对于当n为偶数时,a≥0. (2)混淆()n和. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共6分 1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当a<0时,a的偶次方根无意义. 2.若＋(a－4)0有意义,则a的取值范围是(　　) A.[2,＋∞) B.[2,4)∪(4,＋∞) C.(－∞,2)∪(2,＋∞) D.(－∞,4)∪(4,＋∞) 答案　B 解析　由题意可知∴a≥2且a≠4. 3.化简(其中a>0,b>0)的结果是(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　 ＝. 4.下列等式一定成立的是(式中字母为正数)(　　) A.·＝a B.·＝0 C.(a3)2＝a9 D.÷ 答案　D 解析　同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误；因为(ar)s＝ars,3×2＝6,故C错误；同底数幂相除,指数相减,故D正确. 5.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得. 6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A.－＝(－x B.(y>0) C.(x>0) D.[(x>0) 答案　BCD 解析　A项错误,－＝－(x≥0), 而(－x(x≤0)； B项正确(y>0)； C项正确(x>0)； D项正确,[(x>0). 7.(5分)当x<0时,x＋＝　　　　.  答案　1 解析　原式＝x＋|x|＋＝x－x＋1＝1. 8.(5分)方程2x－1＝的解是　　　　.  答案　x＝－1 解析　2x－1＝＝2－2⇒x－1＝－2⇒x＝－1. 9.(10分)化简下列各式： (1)；(5分) (2)(x≥1).(5分) 解　(1)＝|－3|＋|－2|＝3－－2＝1. (2)当1≤x<3时, ＝|1－x|＋|3－x| ＝x－1＋3－x＝2； 当x≥3时, ＝|1－x|＋|3－x| ＝x－1＋x－3＝2x－4. 所以原式＝ 10.(12分)(1)化简：(2)(－6)(－3)(a>0,b>0)；(6分) (2)求值：＋2－2×－0.010.5.(6分) 解　(1)(2)(－6)(－3) ＝2×(－6)×(－3) ＝36a. (2)＋2－2×－0.010.5 ＝1＋×＝1＋× ＝1＋. 11.若(1－2x有意义,则x的取值范围是(　　) A.R B.∪ C. D. 答案　D 解析　将分数指数幂化为根式,可知需满足1－2x>0,解得x<. 12.已知m10＝2,则m等于(　　) A. B.－ C. D.± 答案　D 解析　∵m10＝2,∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数, ∴2的10次方根有两个,且互为相反数. ∴m＝±. 13.已知正数a,b满足×＝2,则3a＋2b的最小值为(　　) A.10 B.12 C.18 D.24 答案　D 解析　由题意××＝2, ∴＝1, 3a＋2b＝(3a＋2b)＝6＋6＋≥12＋2＝12＋2×6＝24, 当且仅当即时,等号成立. 14.(5分)＝　　　　.  答案　3－2 解析　＝3－2. 15.(5分)化简：()2 028·()2 028＝　　　　.  答案　1 解析　原式＝[()·()]2 028 ＝12 028＝1. 16.(12分)若a,b,c为正实数,ax＝by＝cz＝0,求abc. 解　设ax＝by＝cz＝k, 则k>0,a＝b＝c＝ 因此abc＝＝k0＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $