第4章 4.2.1 指数函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦指数函数的概念这一核心知识点，通过对折纸张层数与面积、人口年增长率、“一尺之棰”剩余长度等生活实例引入，经问题链抽象出指数函数y=aˣ(a>0且a≠1)的定义及底数限制条件，再结合例题与跟踪训练巩固概念，最后拓展至指数增长型（如研发资金投入）和衰减型（如钴60射线强度）模型的实际应用，构建“实例感知-抽象建模-应用拓展”的学习支架。 该资料以生活实例驱动概念生成，如用对折纸张问题引导学生观察数量关系，培养数学眼光。通过问题链设计（如对比y=1.01ˣ与y=(1/2)ˣ的共同特征），引导学生自主归纳指数函数本质，发展数学思维。实际应用环节（如计算8年后研发资金、12cm铅板后射线强度）帮助学生用数学语言表达现实问题，课中助力教师引导探究，课后通过课时对点练可让学生巩固概念、查漏补缺，提升学习效果。

4.2.1　指数函数的概念 学习目标　1.理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用. 导语 同学们,让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题. 一、指数函数的概念及应用 问题1　若从今年年底开始我国的人口年平均增长率为1%,那么经过x年后我国的人口数是现在的几倍？ 提示　1.01x. 问题2　《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰,日取之半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,一天截取一半,很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x次,剩余长度y与x的关系是什么？ 提示　y＝. 问题3　函数y＝1.01x和函数y＝这两个函数的解析式有什么共同特征？ 提示　如果用字母a来代替底数1.01和那么以上两个函数都可以表示为y＝ax的形式,其中自变量x是指数,底数a是一个大于0且不等于1的常数. 知识梳理　指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 注意点： (1)规定y＝ax中a>0,且a≠1的理由： ①当a≤0时,ax可能无意义.②当a>0时,x可以取任何实数.③当a＝1时,ax＝1(x∈R),无研究价值.因此规定y＝ax中a>0,且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式,如y＝2x＋1不是指数函数. 例1　(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中,指数函数的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　B 解析　①中,3x的系数是2,故不是指数函数；②中,y＝的指数是x＋1,不是自变量x,故不是指数函数；③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故是指数函数；④中,y＝x3的底数为自变量x,指数为常数,故不是指数函数；⑤中,底数－2<0,故不是指数函数. (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是(　　) A.(0,1)∪(1,＋∞) B.[0,1)∪(1,＋∞) C.∪(1,＋∞) D. 答案　C 解析　依题意得2a－1>0,且2a－1≠1, 解得a>且a≠1, 即a的取值范围是∪(1,＋∞). 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 跟踪训练1　(1)下列是指数函数的是(　　) A.y＝－3x B.y＝ C.y＝ax D.y＝πx 答案　D 解析　根据指数函数的特征知,A,B,C不是指数函数. (2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数,则a的值为　　　　.  答案　2 解析　由指数函数的定义知 由①得a＝1或2,结合②得a＝2. 二、指数爆炸和指数衰减的实际应用 问题4　如果我们将3张A4复印纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y之间有什么关系？对折后的面积S(A4纸的面积近似为0.06平方米)与折叠的次数又有怎样的关系呢？ 提示　第x次折叠后对应的层数y＝3×2x(x∈N＋), 对折后的面积S＝0.06×(x∈N＋). 知识梳理 1.指数爆炸 (1)一般地，当底数a>1时，指数函数y=ax的函数值随自变量的增大而呈“爆炸性”增长，这种变化被称为指数爆炸. (2)若把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u+T]中，指数函数y=ax(a>1)的值从au增长到au+T，其增长率为=aT-1，它是一个常量.在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量被描述为指数式增长，也称指数增长. 2.指数衰减 一般地，当底数0<a<1时，指数函数y=ax的函数值随自变量的增大而缩小，以至无限接近于0，这种变化被称为指数衰减.类比指数增长的分析过程，可知指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 注意点： (1)y＝kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0,a>0且a≠1),当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 例2　(1)(课本例1) 某公司为大力提升创新水平，计划逐年加大研发资金投入.若该公司当年投入的研发资金为3 500万元，预计下一年(将为计划执行的第一年)投入的研发资金为4 200万元；如果假定增速不变，该公司第x年投入的研发资金用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，并以此估计计划执行的第8年该公司投入研发资金为多少万元(1.28≈4.3). 解　按假设条件和数据，有 G(0)＝C·a0＝3 500， G(1)＝C·a1＝4 200. 解得C＝3 500， 于是a＝. 于是，该函数解析式为G(x)＝3 500×. 因此，可估计出该公司第8年投入的研发资金为 G(8)＝C·a8＝3 500×≈15 050(万元). (2)(课本例2) 医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1 cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为x cm的铅板后的强度与原来的强度之比为H(x)＝ax.若铅板厚度为12 cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 解　由H(1)＝a1＝0.568，得H(x)＝0.568x. 故利用计算器可算得射线穿过厚度为12 cm的铅板后的强度与原来的强度之比是H(12)＝0.56812≈0.001 128， 即约为原来的千分之一. 例2　(1)已知某种细菌在培养过程中,每20 min繁殖一次,经过一次繁殖1个细菌变成2个,经过3 h,这种细菌由1个可繁殖成(　　) A.511个 B.512个 C.1 023个 D.1 024个 答案　B 解析　因为3 h＝(9×20)min, 所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个). (2)有容积相等的桶A和桶B,开始时桶A中有a升水,桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B中,t分钟后,桶A的水剩余y1＝amt(升),其中m为正常数.假设5分钟后,桶A和桶B中的水相等,要使桶A中的水只有升,必须再经过(　　) A.12分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 答案　B 解析　由题意得桶B中水的体积y2＝a－amt,因为t＝5时,y1＝y2,所以am5＝a－am5,得m5＝.设再经过t1分钟后桶A中的水只有升,则a所以＝m20,所以t1＝15,即再经过15分钟,桶A中的水只有升. 反思感悟　关于函数y＝kax在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律；若0<a<1,则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题. 跟踪训练2　随着我国经济的不断发展,2023年年底某地区农民人均年收入为7 000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2030年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A.7 000×1.06×7元 B.7 000×1.067元 C.7 000×1.06×8元 D.7 000×1.068元 答案　B 解析　设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元, 根据题意可得y＝7 000×1.06x,从2023年年底到2030年年底共经过了7年, 所以2030年年底该地区的农民人均年收入为 7 000×1.067元. 1.知识清单： (1)指数函数的定义. (2)指数增长型和指数衰减型函数模型. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共45分 1.下列函数是指数函数的是(　　) A.y＝ B.y＝(－8)x C.y＝2x－1 D.y＝x2 答案　A 解析　对于A,函数y＝中,a＝>1,是指数函数；对于B,函数y＝(－8)x中,a＝－8<0,不是指数函数；对于C,函数y＝2x－1＝·2x,不是指数函数；对于D,函数y＝x2,是幂函数,不是指数函数. 2.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数,则f(1)等于(　　) A.8 B. C.4 D.2 答案　D 解析　∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数, ∴2a－3＝1,解得a＝2. ∴f(x)＝2x,∴f(1)＝2. 3.一种产品的成本是a元,今后m年,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0<x<m)的函数,其关系式是(　　) A.y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B.y＝a(1－p%)x(0<x<m) C.y＝a(p%)x(0<x<m) D.y＝a－(p%)x(0<x<m) 答案　B 解析　∵产品的成本是a元,1年后,成本为a－p%·a＝a(1－p%)；2年后,成本为a(1－p%)－a(1－p%)·p%＝a(1－p%)2； …, ∴x年后,成本y＝a(1－p%)x(0<x<m). 4.已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　) A.－4 B.－ C. D.－8 答案　D 解析　∵f(2)＝－＝－<0, ∴f(f(2))＝f ＝－8. 5.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化情况是(　　) A.增加7.84% B.减少7.84% C.减少9.5% D.不增不减 答案　B 解析　设商品原价为a,两年后价格为a(1＋20%)2,四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a, ∴×100%＝7.84%,故选B. 6.专家对某地区传染病暴发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与病情暴发系数f(t)之间满足函数模型：f(t)＝当f(t)＝0.1时,标志着病情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据：e1.1≈3)(　　) A.38 B.40 C.45 D.47 答案　B 解析　令＝0.1, 即1＋e－0.22(t－50)＝10,得e－0.22(t－50)＝9, 而e－0.22(t－50)＝e1.1×(－0.2)(t－50)＝(e1.1)－0.2(t－50), 又e1.1≈3,∴3－0.2(t－50)＝9, 即－0.2(t－50)＝2,得t－50＝－10,即t＝40. 7.(5分)若指数型函数f(x)＝b·ax,满足f(1)＝6,f(3)＝24,则f(x)＝　　　　.  答案　3×2x 解析　由f(1)＝6＝b·a1,f(3)＝24＝b·a3, 得a2＝4,∴a＝2,b＝3.∴f(x)＝3×2x. 8.(5分)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩留的这种物质为上一年的84%,则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为　　　　.  答案　y＝0.84x(x>0,x∈N) 解析　设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y,则经过1年,剩留量y＝0.84； 经过2年,剩留量y＝0.842；…；经过x年,剩留量y＝0.84x(x>0,x∈N). 9.(10分)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k,r为常数,e≈2.718 28).若牛奶在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是100 h,在5 ℃的冰箱中,保鲜时间约是80 h,那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是多少？ 解　因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为 y＝kerx(k,r为常数). 所以解得 所以y＝100 所以当x＝10时,y＝100×＝64. 故在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是64 h. 10.(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－2处取得最大值,指数函数g(x)＝. (1)求g的值；(6分) (2)设函数h(x)＝g(x)＋试判断h(x)的奇偶性,并说明理由.(6分) 解　(1)因为该二次函数的对称轴为x＝－ 所以由题意可得－＝－2, 得＝4, 则g(x)＝4x, 则g. (2)h(x)为偶函数. 理由如下： h(x)＝g(x)＋＝4x＋4－x,其定义域为R,关于原点对称. 因为h(－x)＝4－x＋4x＝h(x), 所以h(x)为偶函数. 11.函数y＝f(x)是R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x,则当x>0时,f(x)等于(　　) A.－2x B.2－x C.－2－x D.2x 答案　C 解析　当x<0时,f(x)＝2x, 当x>0时,－x<0, 则f(－x)＝2－x. 又f(x)是R上的奇函数, 所以当x>0时,f(x)＝－f(－x)＝－2－x. 12.某股民购买一公司股票10万元,在连续十个交易日内,前5个交易日,平均每天上涨5%,后5个交易日内,平均每天下跌4.9%,则股民的股票盈亏情况(不计其他成本,精确到元)为(　　) A.赚723元 B.赚145元 C.亏145元 D.亏723元 答案　D 解析　由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5 ≈10×0.992 77＝9.927 7(万元), ∵100 000－99 277＝723(元), ∴股民亏723元. 13.已知关于x的不等式mx－n>0的解集为{x|x<－2},函数f(x)＝(b2＋1)ax(a>0且a≠1)为指数函数,则f(n)·[f(m)]2等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　因为不等式mx－n>0的解集为{x|x<－2},所以－2m－n＝0,即n＋2m＝0, 又f(x)为指数函数,所以b2＋1＝1,所以f(x)＝ax,a>0且a≠1, 所以f(n)·[f(m)]2＝an·(am)2＝an＋2m＝a0＝1. 14.(5分)已知函数y＝f(x),x∈R,且f(0)＝2＝2＝2,…＝2,n∈N,则函数y＝f(x)的一个可能的解析式为　　　　　　.  答案　f(x)＝2×4x(答案不唯一) 解析　由题意,得＝4＝42,…＝4x, ∴f(x)＝2×4x,经检验,符合题意. 15.(5分)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗　　　　次.  答案　4 解析　设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的； 经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的也就是原来的； 经过第三次漂洗,存留量为原来的；…； 经过第x次漂洗,存留量为原来的 故存留量y关于漂洗次数x的解析式为 y＝. 由题意,得≤4x≥100,2x≥10, ∴x≥4,即至少要漂洗4次. 16.(13分)截止到2018年年底,我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均增长率控制在3‰,则经过x年后,此市人口数为y(万). (1)求y与x的函数关系y＝f(x),并写出定义域；(6分) (2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(2分) (3)哪一年年底的人口数将达到135万？(5分) 解　(1)2018年年底的人口数为130万； 经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰ ＝130(1＋3‰)(万)； 经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)； 经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万). … 所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同, 所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万). 即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N＋). (2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134.4(万). (3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134.4<135. 2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8<135, 2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2>135. 所以2031年年底的人口数将达到135万. 学科网（北京）股份有限公司 $