第3章 章末复习课 函数的概念与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习讲义以知识网络框架图系统构建函数主题的知识体系，梳理求定义域的依据、分段函数的表达形式、函数单调性与奇偶性的判断方法，明确各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的分层设计，如复合函数定义域求解、分段函数不等式证明等题型，结合“换元法求值域”“定义法证单调性”等技巧，培养逻辑推理与数学运算素养。反思感悟总结方法规律，基础学生可掌握步骤，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

一、求函数的定义域、值域 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0,偶次根式中被开方数大于或等于0等,由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围,一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握集合的运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　由题意知解得x<1且x≠ 即f(x)的定义域是∪. (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2],则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A. B. C.[0,1] D. 答案　C 解析　由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2], 得x－1∈[－2,1],即f(x)的定义域是[－2,1], 令－2≤1－3x≤1,解得0≤x≤1,即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]. (3)函数f(x)＝x＋的值域是　　　　.  答案　 解析　令t＝则t≥0,x＝ 则y＝＋t＝(t2＋2t)－ ＝(t＋1)2－1(t≥0), 由函数y＝(t＋1)2－1(t≥0)得y≥－ 故函数f(x)的值域为. 反思感悟　求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式：根式,根号下非负；分式,分母不为0；0次幂,底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围. (4)求函数量值的方法 ①单调性法； ②图象法. 跟踪训练1　(1)函数y＝的定义域为　　　　　　　.  答案　{x|1≤x≤5且x≠3} 解析　解不等式组得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}. (2)函数y＝的值域是　　　　.  答案　(－∞,1)∪(1,＋∞) 解析　y＝＝1＋ ∵≠0,∴y≠1, ∴函数的值域为(－∞,1)∪(1,＋∞). 二、分段函数 1.分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式,主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题. 2.通过对分段函数的考查,提升学生的数学运算素养. 例2　已知函数f(x)＝ (1)求f(x)的定义域、值域； (2)求f(f(1))； (3)解不等式f(x＋1)>. 解　(1)f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪. 易知f(x)在(0,1)上单调递增, ∴0<f(x)<f(x)在上单调递减, ∴0<f(x)≤ ∴值域为. (2)f(1)＝. f(f(1))＝f×. (3)f(x＋1)>等价于 ①或②或 ③ 解①得－<x<0,解②得0≤x<1, 解③得x∈∅. ∴f(x＋1)>的解集为∪[0,1)＝. 跟踪训练2　(1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1),则f等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　方法一　当0<a<1时,a＋1>1, f(a)＝f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. ∵f(a)＝f(a＋1), ∴＝2a,解得a＝. ∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6； 当a≥1时,f(a)＝2(a－1), f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1),得2(a－1)＝2a,无解. 综上,f ＝6. 方法二　由当x≥1时,f(x)＝2(x－1)是增函数, 可知若a≥1,则f(a)≠f(a＋1), ∴0<a<1. 由f(a)＝f(a＋1),得＝2(a＋1－1), 解得a＝ 则f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6. (2)已知函数f(x)＝若f(a)<－3,则a的取值范围为　　　　.  答案　(－∞,－3) 解析　当a≤－2时,f(a)＝a<－3,此时不等式的解集为(－∞,－3)； 当－2<a<4时,f(a)＝a＋1<－3,此时不等式无解； 当a≥4时,f(a)＝3a<－3,此时不等式无解. 故a的取值范围为(－∞,－3). 三、函数的性质 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数,且f . (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在(－1,1)上单调递增； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. (1)解　根据题意得即 解得∴f(x)＝x∈(－1,1). (2)证明　任取x1,x2∈(－1,1),且令x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝ ＝. ∵－1<x1<x2<1, ∴x1－x2<0,1＋>0,1＋>0,1－x1x2>0, ∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(－1,1)上单调递增. (3)解　f(t－1)<－f(t)＝f(－t). ∵f(x)在(－1,1)上单调递增, ∴解得0<t<. ∴不等式的解集为. 反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝是奇函数,且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2,－1]上的最值. 解　(1)∵f(x)是奇函数,∴f(－x)＝－f(x), ∴＝－. 比较得n＝－n,n＝0. 又f(2)＝ ∴解得m＝2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝. 任取x1,x2∈[－2,－1],且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1, ∴x1－x2<0,x1x2>1,x1x2－1>0, ∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[－2,－1]上单调递增. ∴f(x)max＝f(－1)＝－ f(x)min＝f(－2)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $