4.1.3 幂函数 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：幂函数 【教学目标】 1.了解幂函数的概念,会画出幂函数,,,,的图象,根据上述幂函数的图象,了解幂函数的变化规律和性质. 2.了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小. 3.进一步加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的体验，培养学生的观察、分析、归纳能力，了解“类比”、“特殊到一般”、“数形结合”等思想方法在研究问题中的作用. 【教学重点】从具体幂函数归纳幂函数概念、图象及性质. 【教学难点】运用数形结合思想归纳幂函数的性质. 【教学方法】自主学习与探究学习相结合 【教学手段】多媒体辅助教学 【核心素养】数学抽象、直观想象、逻辑推理 【教学过程】 1、 创设情境，引入课题 我们先看下面几个生活实际问题： 1.如果某人购买了每千克1元的蔬菜千克，则需要的钱数为 元； 2.如果某正方形的边长为，则面积为 ； 3.如果某正方体的棱长为，则体积为 ； 4.如果某正方形的面积为，则边长为 ； 5.如果某人秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为公里／秒，那么 ； 问题：上述函数解析式有什么共同特征？ 预案： 〖设计意图〗由生活实际问题入手，从熟悉的情景引入，激发学生学习兴趣，符合学生认知特点. 2、 形成概念,探索性质 幂函数的概念：形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，且 问题1：判断下列函数中哪些是幂函数？ ① ② ③ ④ 〖设计意图〗巩固概念，强化学生对概念形式特征的把握，总结幂函数的特征：整体为幂，变量在底，系数为1.同时调动学生思考问题的积极性，培养学生的创造性思维. 1.借助图象，直观感知 下面我们通过举例来研究这类函数的一些性质， 探究1：在同一坐标系内作出幂函数，，，的图象； 探究2：在同一坐标系内作出幂函数和的图象； 探究3：在同一坐标系内作出幂函数和的图象； 〖设计意图〗学生描点法作图，最后教师用几何画板展示，动态演示值变化时幂函数图象的变化，引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律及性质. 总结幂函数的性质： ⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ⑵当时，图象都过点和且在上是增函数； ⑶当时，图象过点且在上是减函数； 2.探究规律，理性认识 问题：幂函数图象在四个象限分布情况如何，为什么会有这样的分布？ 留给学生充足的时间观察函数图象并进行思考. 预设：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限也可能没有图象. 当时，不论取何值，函数值都不可能为负值.所以第四象限无函数图象. 问题：幂函数，，与的图象有何不同？ 预设：当时，，幂函数的图象都在轴的下方，形状向下凸，越大，下凸的程度越大；当时，，幂函数的图象都在轴的上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大. 〖设计意图〗通过微问题链训练学生的观察能力和语言叙述能力，再次体会幂指数的不同情况对幂函数单调性的影响. 3、 掌握证法，适当延展 例比较下列两个代数式值的大小： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解：⑴可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以. ⑵可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以. ⑶因为，可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于，所以. ⑷可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递减，由于，所以. 〖设计意图〗训练学生用幂函数的性质进行比较两个代数式值的大小，利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.强化学生的逻辑推理、构造意识等. 例讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象并说明函数的单调性. 分析：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域. 拓展：若，试求实数的取值范围. 〖设计意图〗留给学生自己探索的空间，让每个学生都经历探索的过程．让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去探索、发现、创造，使学生探究问题落在实处. 四、归纳小结，提高认识 1.幂函数的概念，几个简单的幂函数的图象，幂函数图象的变化规律和性质； 2.思想方法方面： 数形结合 由特殊到一般 3.作业 求函数的定义域，并指出函数的单调区间. 学科网（北京）股份有限公司 $$