31 第4章 4.1.1&4.1.2 第1课时 根式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂 4.1.2　无理数指数幂 第1课时　根式 学习任务 核心素养 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养． 2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养． 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了． 若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫作3的什么？如何表示？ 知识点1　根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． (2)a的n次方根的表示 当n是奇数时，数a的n次方根记作． 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作．当a>0时，如xn＝a，则x＝． (3)根式 式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数． 1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？ [提示]　当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±． 1．(1)27的立方根是________； (2)已知x6＝2 025，则x＝________； (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． (1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3． (2)因为x6＝2 025，所以x＝±． (3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3． 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．] 知识点2　根式的性质(n∈N，n≥2) (1)n为奇数时，＝a． (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0． (4)负数没有偶次方根． 2．n中实数a的取值范围是任意实数吗？ [提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个． (　　) (2)当n∈N＋时，n＝－2． (　　) (3)＝π－4． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 3．(1)＝________． (1)－8　(2)π－3　[(1)＝|3－π|＝π－3．] 类型1　由根式的意义求取值范围 【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围． (1)； (2)＝(5－x)． [解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3． 即实数x的取值范围为{x|x≠3}． (2)由题意可知∴－5≤x≤5， ∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}． 　对于，当n为偶数时应注意的两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，则必有≥0． [跟进训练] 1．若，则实数a的取值范围是________． 　[因为， ∴1－3a≥0， ∴a≤．] 类型2　利用根式的性质化简求值 【例2】　【链接教材P95例1】 化简下列各式： (1)＋5； (2)＋6； (3)． [解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4． (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4． (3)原式＝|x＋2|＝ 【教材原题·P95例1】 例1　化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)(a<b)； (5)． [解]　(1)＝－2； (2)＝2； (3)＝3－a； (4)因为a<b，所以＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a； (5)＝|3－a|＝ 　正确区分与n (1)n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． [跟进训练] 2．化简下列各式： (1)(a≤1)； (2)． [解]　(1)∵a≤1， ∴3a－3≤0， ∴＝|3a－3|＝3－3a． (2)＝a＋|1－a|＝ 类型3　有限制条件的根式的化简 【例3】　(1)若x<0，则x＋＝________． (2)若－3<x<3，求的值． (1)－1　[∵x<0， ∴|x|＝－x，＝|x|＝－x， ∴x＋＝x－x－1＝－1．] (2)[解]　 ＝＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2． 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4． 综上，原式＝ [母题探究] (变条件)将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？ [解]　原式＝＝|x－1|－|x＋3|．因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4． 　有条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． [跟进训练] 3．已知－1<x<2，化简． [解]　∵－1<x<2， ∴x－2<0，x＋1>0， ∴＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x． 1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　) A．　　 B． C． BCD　[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．] 2．已知m10＝2，则m等于(　　) A． B．－ C． D．± D　[∵m10＝2， ∴m是2的10次方根． 又∵10是偶数， ∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m＝±．] 3．4运算的结果是(　　) A．2　　　B．－2　　　C．±2　　　D．不确定 [答案]　A 4．若x3＝－5，则x＝________． －　[若x3＝－5，则x＝．] 5．＝________． 1　[] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？ [提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝． 当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±(其中a≥0)． 2．与n相同吗？ [提示]　与n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者n＝a是恒等式，只要n有意义，其值恒等于a． 课时分层作业(二十五)　根式 一、选择题 1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． C． C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．] 2．(多选题)下列说法正确的有(　　) A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 CD　[A中16的4次方根应是±2；B中＝2，所以正确的应为CD．] 3．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) B　[由题意可知 ∴a≥2且a≠4．] 4．化简等于(　　) A．6 B．2x C．6或－2x D．6或－2x或2x C　[原式＝|x＋3|－(x－3)＝ 故选C．] 5．若n<m<0，则等于(　　) A．2m B．2n C．－2m D．－2n C　[原式＝＝|m＋n|－|m－n|，∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m．] 二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________． －11或7　[因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．] 7．若＝0，则x2 024＋y2 025＝________． 0　[∵≥0，且＝0， ∴即 ∴x2 024＋y2 025＝1－1＝0．] 8．若a>2b，则＝________． 2a－3b　[因为a>2b， 所以＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b．] 三、解答题 9．化简：(1)(x<π，n∈N＋)； (2)． [解]　(1)∵x<π，∴x－π<0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π． 综上， (2)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝|2a－1|＝1－2a． 10．设－2<x<2，求的值． [解]　原式＝＝|x－1|－|x＋2|， ∵－2<x<2，∴当－2<x<1时， 原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1； 当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3． ∴原式＝ 11．当有意义时，化简的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x C　[因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝＝(2－x)－(3－x)＝－1．故选C．] 12．下列式子中成立的是(　　) A．a B．a C．a D．a C　[由a可知a≤0，∴a≤0，故选C．] 13．已知＋1＝a，化简2＋＝________． a－1　[由已知＋1＝a， 即|a－1|＝a－1，即a≥1． 所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1．] 14．已知f (x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则f (－1)＝________(用a，b表示)，式子可化为________． a－b＋0.1　b－a　[∵f (－1)＝a－b＋0.1<0， ∴a－b<0， ∴＝b－a．] 15．化简y＝，并画出简图，写出最小值． [解]　y＝ ＝|2x＋1|＋|2x－3|＝ 其图象如图所示． 由图易知函数的最小值为4． 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $