专题02 十类函数的性质综合运用（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02 十类函数的性质综合运用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的性质综合运用1：比较大小（常考点） 1 题型二、函数的性质综合运用2：解不等式 2 题型三、函数的性质综合运用3：求最值（范围）（常考点） 4 题型四、函数的性质综合运用4：恒成立问题（难点） 5 题型五、利函数的性质综合运用5：有解问题（难点） 9 题型六、利函数的性质综合运用6：周期函数（拓展） 12 题型七、利函数的性质综合运用7：伪周期函数 13 题型八、利函数的性质综合运用8：对称轴问题（拓展） 15 题型九、利函数的性质综合运用9：对称中心问题（拓展） 16 题型十、利函数的性质综合运用10：对称性与周期性综合问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的性质综合运用1：比较大小（常考点） 1.（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 4．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型二、函数的性质综合运用2：解不等式 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 6.（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·四川遂宁·阶段练习）已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式；(2)判断并证明在上的单调性；(3)解不等式． 题型三、函数的性质综合运用3：求最值（范围）（常考点） 10．（多选题）（24-25高一上·广东·专题练习）已知函数的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且，则函数在区间上（   ） A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5 11．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江苏·期中）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 13．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 . 题型四、函数的性质综合运用4：恒成立问题（难点） 14．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 15．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)证明：当时，是奇函数；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 17．（25-26高一上·山东·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值；(2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 18．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）新定义：对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“奇偶函数”；对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“偶奇函数”。(1)若奇偶函数在上严格递增，求证：奇偶函数在上为严格增函数；(2)求证：一个函数是奇偶函数的充要条件是该函数是偶奇函数；(3)若，其中为奇偶函数，为偶奇函数，若在上严格递增，将向右平移一个单位得到，若恒成立，求：的取值范围 题型五、利函数的性质综合运用5：有解问题（难点） 19．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值；(2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围 21．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 22．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式.(2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记.①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围；②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 题型六、利函数的性质综合运用6：周期函数（拓展） 函数的周期性常用结论 （a是不为0的常数） (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)。 23．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．112 D．113 24．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 25．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则 26．（2025高一·江苏·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型七、利函数的性质综合运用7：伪周期函数 28．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数（）满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 29．（24-25高一上·四川雅安·期中）已知函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．（24-25高一上·河南商丘·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的最小值是 ． 31．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、利函数的性质综合运用8：对称轴问题（拓展） 轴对称的常用结论：若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称； 32．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则 . 33．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．2 34．（24-25高一上·广西·期末）已知的定义域为，满足，且当时，为单调递增函数，则满足的的取值范围为 ． 35．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九、利函数的性质综合运用9：对称中心问题（拓展） 中心对称的常用结论： （1）若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称； （2）若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称。 36．（24-25高一上·重庆渝中·期末）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 37．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 38．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）高一课外兴趣小组通过对课本的习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．图象的对称中心为点 B．的图象关于直线对称 C．图象的对称中心为点 D．的图象关于点对称 39．（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 40．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.(1)求曲线的对称中心；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 题型十、利函数的性质综合运用10：对称性与周期性综合问题 函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 41．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 42．（多选题）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 43．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数满足，且，则 ； ． 44．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数对于任意满足条件，且时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东·期末）函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 7．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（24-25高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 12．（多选题）（24-25高一上·陕西西安·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（    ） A．4 B． C． D．6 13．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 14．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 16．（2025高一上·重庆·专题练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数．(1)求函数图象的对称中心;(2)已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 十类函数的性质综合运用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的性质综合运用1：比较大小（常考点） 1 题型二、函数的性质综合运用2：解不等式 2 题型三、函数的性质综合运用3：求最值（范围）（常考点） 4 题型四、函数的性质综合运用4：恒成立问题（难点） 5 题型五、利函数的性质综合运用5：有解问题（难点） 9 题型六、利函数的性质综合运用6：周期函数（拓展） 12 题型七、利函数的性质综合运用7：伪周期函数 13 题型八、利函数的性质综合运用8：对称轴问题（拓展） 15 题型九、利函数的性质综合运用9：对称中心问题（拓展） 16 题型十、利函数的性质综合运用10：对称性与周期性综合问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的性质综合运用1：比较大小（常考点） 1.（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得，所以.故选：D. 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以.故选：B 3．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为R，且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则.故选：B. 4．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错.故选：AC 题型二、函数的性质综合运用2：解不等式 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 【答案】 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以，所以， 解得或，所以x的取值范围是.故答案为：. 6.（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得在上单调递增， 又为偶函数，则不等式等价于， 所以，解得，即满足题意的x取值范围为：故选：C 7．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，对任意的，有， 所以函数在上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减，由，得，则， 因为是定义在上的偶函数，所以， 当时，需满足，此时函数单调递减，且，解得； 当时，需满足，此时函数单调递增，且，解得； 综上所述，解集为，故选：D. 8．（25-26高一上·四川遂宁·阶段练习）已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减，所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为.故选：C. 9．（25-26高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式；(2)判断并证明在上的单调性；(3)解不等式． 【答案】(1)，(2)定义域内单调递减，证明见详解(3) 【详解】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即.故函数的解析式为， （2）对，且，. 其中，，.因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内.而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为.又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，.所以不等式的解集为. 题型三、函数的性质综合运用3：求最值（范围）（常考点） 10．（多选题）（24-25高一上·广东·专题练习）已知函数的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且，则函数在区间上（   ） A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5 【答案】BD 【详解】函数的图象关于原点对称,所以是奇函数，它在对称区间上的单调性相同.由在区间上是减函数，则在区间上是减函数，故A错误，B正确； 因为在区间上是减函数，所以,,所以C错误，D正确.故选：BD. 11．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的偶函数，，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 12．（25-26高一上·江苏·期中）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【详解】因为，令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故.故答案为： 13．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【详解】由 所以可知当，即时，函数取到最小值，故答案为：①；②. 题型四、函数的性质综合运用4：恒成立问题（难点） 14．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】令， 因为，对均有成立，所以， 因为，所以函数在上单调递增， 所以当时，， 当时，在上单调递增，所以， 所以，所以； 当时，在上恒成立，所以，所以，符合题意； 当时，在上单调递减，所以，所以，所以. 综上，满足题意的实数m的取值范围为.故答案为：. 15．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，.故答案为：. 16．（24-25高一上·北京西城·期中）已知函数，. (1)证明：当时，是奇函数；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）当时，则，可知的定义域为， 可得，因此是上的奇函数. （2）由题意可得：，且连续不断， 若函数在上单调递增，则，解得，所以a的取值范围是. （3）因为在内恒成立，即，， 整理得，内恒成立， 又因为在上单调递增，且，即在上最大值为， 且，当且仅当，即时，等号成立， 即在上最小值为，可得，所以a的取值范围是. 17．（25-26高一上·山东·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值；(2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由是偶函数得，即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立，即． 当时，， 因为，所以，则，则， 因此，即，故函数在区间上单调递增， 则，则原不等式等价于，解得，故的取值范围是． 18．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）新定义：对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“奇偶函数”；对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“偶奇函数”。(1)若奇偶函数在上严格递增，求证：奇偶函数在上为严格增函数；(2)求证：一个函数是奇偶函数的充要条件是该函数是偶奇函数；(3)若，其中为奇偶函数，为偶奇函数，若在上严格递增，将向右平移一个单位得到，若恒成立，求：的取值范围 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）设为奇函数，为偶函数，则为奇偶函数， 因为在上严格递增，对于任意的，且， 则，且，则， 则，即，即， 所以在上也严格递增，所以在上为严格增函数. （2）充分性：设为奇偶函数，其中为奇函数，为偶函数， 则，令，则， 所以也是偶奇函数； 必要性：设为奇偶函数，其中为奇函数，为偶函数， 则，令，则， 所以也是奇偶函数，即证. （3）由题意，奇偶函数，偶奇函数均为奇函数，则为偶函数， 由函数在上严格递增可得函数在上严格递减， 又将向右平移一个单位得到，则在上严格递增，在上严格递减，且关于直线对称，由可得，即， 所以，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 题型五、利函数的性质综合运用5：有解问题（难点） 19．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可；解得或； 即实数的取值范围是.故选：C 20．（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值；(2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析；(3). 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数，所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下：任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，，则，解得，因此； 当时，在上单调递减，，则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 21．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得，故的取值范围为； （2）设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得，综上，的取值范围是. 22．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式.(2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记.①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围；②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1)(2)(3)① ② 【详解】（1）因为二次函数满足，所以可设， 又，所以，解得，故. （2）由(1)知等价于， 因为存在，使得成立，所以.令，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故.故实数m的取值范围是. （3）①，显然在上单调递增， 依题意可得，即是方程的两个互异的正根， 故，即，故实数c的取值范围是. ②若，则. 当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以. 综上， 题型六、利函数的性质综合运用6：周期函数（拓展） 函数的周期性常用结论 （a是不为0的常数） (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)。 23．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．112 D．113 【答案】B 【解答过程】因为，所以的周期为4， 因为时，，所以，因为是R上的奇函数，所以， 又，所以，所以， ，， 所以， 所以，故选：B. 24．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为，可得，可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则，则，即， 令，可得；令，可得，即， 则，所以.故选：C. 25．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则 【答案】2 【详解】函数对任意，都有，所以， 所以，所以是心6为周期的周期函数， 又的图象关于原点对称，所以是奇函数，即， 所以.故答案为：. 26．（2025高一·江苏·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义在上的偶函数在上为增函数， 所以在上单调递减，又因为，，即函数周期， 所以，，又，所以，故选：B． 27．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 即，所以的周期为，， ，因为，，所以，， 由基本不等式有：， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 题型七、利函数的性质综合运用7：伪周期函数 28．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数（）满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【详解】令，则，得令，则． ∵∴，解得．故选：C． 29．（24-25高一上·四川雅安·期中）已知函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为函数满足，且当时，， 所以．故选：B 30．（24-25高一上·河南商丘·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】当时，， 又，故当时，，令，则，同理，当时，， 令，则，整理得， 函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值， 要使对任意，都有， 只需，令，解得（舍去）或，故的最小值是.故答案为：    31．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为当时，， 所以时，，； 所以时，，； 所以时，，； 当时，由解得：或. 若对于任意的，都有，则.故选D 题型八、利函数的性质综合运用8：对称轴问题（拓展） 轴对称的常用结论：若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称； 32．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则 . 【答案】 【详解】因，函数的对称轴为直线， 而由可知其对称轴为直线，故，解得. 故答案为：. 33．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为函数满足，所以，即①. 又因为为奇函数，所以，即②. 由①②知，所以，即， 所以函数的一个周期为，所以， 因为时，，所以，所以.故选：A. 34．（24-25高一上·广西·期末）已知的定义域为，满足，且当时，为单调递增函数，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据确定函数的对称轴为， 又当时，为单调递增函数，所以当时，为单调递减函数． 对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大， 所以，解得．故答案为：． 35．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以，又因为，所以.故选：B. 题型九、利函数的性质综合运用9：对称中心问题（拓展） 中心对称的常用结论： （1）若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称； （2）若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称。 36．（24-25高一上·重庆渝中·期末）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，已知，则有，即函数的图象关于点对称，故A正确；对于B，由于是定义在上的奇函数，则有， 因，则有，用替换可得：，故B正确； 对于D，再用替换可得：，故D正确；只有C项，无法推得.故选：C 37．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题意可得，，则， 当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9. 故选：D. 38．（多选题）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）高一课外兴趣小组通过对课本的习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．图象的对称中心为点 B．的图象关于直线对称 C．图象的对称中心为点 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】对于A， ， 由于为奇函数，故图象的对称中心为点，A正确， 对于B， ， 由于不是偶函数， 故的图象不关于直线对称，故B错误， 对于C, 由于，则为奇函数， 故图象的对称中心为点，C正确， 对于D，，故， 故为奇函数，因此的图象关于点对称，D正确，故选：ACD 39．（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 【答案】B 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 则的对称中心为，所以，设， ， 故选B 40．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.(1)求曲线的对称中心；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析 【详解】（1）设， 则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以函数的对称中心为. （2）函数在上单调递减. 证明：，且， 则 ， 因为，所以， 又，所以，所以，即，所以函数在上单调递减. 题型十、利函数的性质综合运用10：对称性与周期性综合问题 函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 41．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 【答案】A 【详解】函数的图象关于点对称，则， 即，则当时， 又，则对任意恒成立①， 又是定义在上的奇函数，则②，则，即， 则，得，即是的一个周期， 由②可得，；由①可得，； 因，则，则， 则， 则. 故选：A 42．（多选题）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 【答案】BC 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 43．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数满足，且，则 ； ． 【答案】 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则，且，即，则， 可得， 所以. 故答案为：；. 44．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称， 又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到， 所以的图象关于直线对称，故为偶函数， 因为4，所以 ， 所以是以8为一个周期的偶函数，所以， 由 ，得，则.故选：C. 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以， 当时，，解得，当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为，故选：C 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数对于任意满足条件，且时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 函数是周期为8的周期函数， ，故选：C. 3．（25-26高三上·重庆·月考）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数，所以， 而当时，，则，故A正确.故选：A. 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以，所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为.故选：D. 5．（24-25高一上·广东·期末）函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【答案】D 【详解】对于A，因为与的图象关于轴对称，对于函数， 那么，所以A选项错误， 对于B，，定义域为R， ，所以是奇函数，B选项错误， 对于C，因为，即， 令，则，所以， 展开整理，则， ，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，C选项错误， 对于D，因为，可以看作向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到， 逆向推得，向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到， 且前面分析知道是奇函数，图象关于原点对称， 则的图象关于点对称，D选项正确. 故选：D. 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误.故选：D. 7．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 则在上递增，在上递减，且， 由知：时，， 时，，且在上递增，在上递减， 因为，当时， ， 因为，所以， 令，解得，所以满足，的t的最大值是，故选：C 8．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，可得在上单调递减，在上单调递增，所以在上的值域为，在上的值域为，所以在上的值域为， 因为，所以，所以在上的值域为， 当时，为增函数，则在上的值域为，所以，解得， 当时， 为减函数，则在上的值域为，所以，解得， 当，为常函数，值域为，不符合题意，综上，的取值范围为或，故选：D 9．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为.故选：D 10．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A， 因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B，因为，在上单调递增，所以，故B错； 对于C，因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错； 故选：C. 11．（多选题）（24-25高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数， 所以在上是单调递增函数，所以.故选：AD. 12．（多选题）（24-25高一上·陕西西安·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】AB 【解答过程】因为函数的定义域为，满足，且当时，， 所以当时，， 当时，，函数部分图象如图所示， 由，得，解得或，因为对任意，都有， 所以由图可知，对比选项可知满足题意的实数的取值可以是4或.故选：AB. 13．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 【答案】ABC 【详解】A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为，所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确，故选：ABC 14．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增，，，解得； ②当时，在上单调递减，，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或.故答案为：或. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数， 故只需要，解得，所以实数的取值范围是. （2）任意，恒成立，则，可得， 令，则，所以，，可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是. （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）；综上所述：. 16．（2025高一上·重庆·专题练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数．(1)求函数图象的对称中心;(2)已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的对称中心为，由题意，得函数为奇函数， 则，即， 即，整理得， 所以，解得，所以函数的对称中心为； （2）因为对任意的，总存在，使得， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 因为函数在上是增函数， 所以函数在上是增函数，所以的值域为， 设函数的值域为集合，则原问题转化为， 因为函数关于对称，又因为，所以函数恒过点， 当，即时，在上单调递增，则函数在上也是增函数， 所以函数在上单调递增，又， 所以的值域为，即， 又，所以，解得， 当即时，在上单调递减，则函数在上也是减函数， 所以函数在上单调递减，则， 又，所以，解得， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 又因函数过对称中心，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故此时，， 要使，只需要，解得， 综上所述实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $