第1章 周末练3 章末检测试卷(一) 集合与逻辑（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语单元，以基础概念辨析、集合运算、充要条件判断为主线，通过分层题型构建从概念到综合应用的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题2、6、9、12|命题否定与量词判断|从命题定义到否定规则，培养逻辑推理意识| |集合运算|题1、3、5、15|交并补及子集关系|基于集合概念，训练元素分析与集合间关系判断的抽象能力| |逻辑关系|题4、7、10、13、18|充要条件判断与证明|结合具体问题，构建条件与结论的逻辑链条，发展数学思维| |综合应用|题8、11、14、16-19|新定义/容斥原理/方程结合|整合集合与逻辑知识，提升用数学语言表达和解决问题的应用意识|

周末练3　章末检测试卷(一) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知全集U＝{0，1，2，4}，集合M＝{0，4}，∁UN＝{0，2}，则M∪N等于(　　) A.{1，2，4} B.{0，1，2，4} C.{0，2，4} D.{0，1，4} 答案　D 解析　∵U＝{0，1，2，4}， ∁UN＝{0，2}，∴N＝{1，4}， 又M＝{0，4}， ∴M∪N＝{0，1，4}. 2.命题“∃x∈R，2x≠x”的否定是(　　) A.∃x∈R，2x＝x B.∀x∈R，2x≠x C.∃x∉R，2x＝x D.∀x∈R，2x＝x 答案　D 解析　命题“∃x∈R，2x≠x”的否定是“∀x∈R，2x＝x”. 3.设集合A＝(1，2)，B＝(－∞，a＋1)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) 答案　C 解析　∵A⊆B，∴a＋1≥2，即a≥1. 4.若集合A＝{1，m2}，B＝{3，9}，则“m＝3”是“A∩B＝{9}”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若m＝3，则A＝{1，9}，B＝{3，9}， A∩B＝{9}， ∴“m＝3”是“A∩B＝{9}”的充分条件. 若A∩B＝{9}，则m2＝9，m＝±3， 故A∩B＝{9}m＝3， ∴“m＝3”是“A∩B＝{9}”的充分而不必要条件. 5.如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(∁US) D.(M∩P)∪(∁US) 答案　C 解析　题图中的阴影部分是 M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁US的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US). 6.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是(　　) A.所有能被6整除的正数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为 C.∃m∈N，x2＋mx＋2＝0无解 D.∀x∈N，x3>x2 答案　D 解析　A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，故A不符合题意； B，C项为存在量词命题，故B，C不符合题意； D项，当x＝0时，x3>x2不成立，故D符合题意. 7.设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A.a，b都为1 B.a，b都不为1 C.a，b中至少有一个为1 D.a，b都不为0 答案　C 解析　由ab＋1＝a＋b，得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1， 故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 8.已知集合S＝{2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘(－1)k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)8×8＝7，对于S的所有非空子集，则这些和的总和为(　　) A.920 B.924 C.308 D.320 答案　D 解析　S的子集个数为27，其中每个元素均出现26次， 故元素2，3，4，5，6，7，8在集合S的所有非空子集中分别出现了26次， 所以对S的所有非空子集中的元素k都乘(－1)k再求和， 可得所求总和为26×[(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)4×4＋(－1)5×5＋(－1)6×6＋(－1)7×7＋(－1)8×8]＝64×(2－3＋4－5＋6－7＋8)＝320. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1” B.命题“∃x∈R，x2≤2”的否定是“∀x∈R，x2>2” C.存在x∈Q，使得2x2＋x＋1＝0是真命题 D.若命题“∃x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则实数n的取值范围是n> 答案　ABD 解析　原命题的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A正确；原命题的否定是“∀x∈R，x2>2”，故B正确；因为Δ＝1－8＝－7<0，即方程2x2＋x＋1＝0无实数解，也无有理数解，故为假命题，故C错误；若命题“∃x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则命题“∀x∈R，4x2＋2x＋n≠0”为真命题，即4x2＋2x＋n＝0无实数解，则Δ＝4－16n<0，解得n>故D正确. 10.若“x<k或x>k＋2”是“－4<x<1”的必要而不充分条件，则实数k的值可以是(　　) A.－8 B.－5 C.－3 D.1 答案　AD 解析　若“x<k或x>k＋2”是“－4<x<1”的必要而不充分条件， 则k≥1或k＋2≤－4，解得k≤－6或k≥1， 所以A，D选项符合，B，C选项不符合. 11.定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{}，B＝{1}，则(　　) A.当x＝y＝时，z＝1 B.x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子 C.A⊗B中有4个元素 D.A⊗B的真子集有7个 答案　BD 解析　当x＝y＝时， z＝()×()＝0，故A错误； x可取y可取1则z对应(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0，(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四个式子，选项B正确； A⊗B＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误； A⊗B的真子集有23－1＝7(个)，选项D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.命题“对∀x∈R，都有x3≥0”的否定为　　　　　　　　　　　　.  答案　∃x∈R，使得x3<0 解析　改变量词，否定结论.所以命题“对∀x∈R，都有x3≥0”的否定为“∃x∈R，使得x3<0”. 13.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　{m|m>1} 解析　由x∈A是x∈B成立的一个充分而不必要条件， 得AB，即即m>1. 14.某校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.则只参加趣味益智类比赛的人数为　　　；同时参加田径和球类比赛的人数为　　　.  答案　9　3 解析　因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人， 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人， 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类比赛的人数为15－3－3＝9. 设同时参加田径和球类比赛的人数为x，则只参加田径比赛的人数为5－x，只参加球类比赛的人数为11－x，由题意得15＋(5－x)＋(11－x)＋x＝28， 解得x＝3. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}.求： (1)A∪(B∩C)；(7分) (2)(∁UB)∪(∁UC).(6分) 解　(1)依题意知A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，C＝{3，4，5，6，7，8}， ∴B∩C＝{3，4，5}，故有A∪(B∩C)＝{1，2}∪{3，4，5}＝{1，2，3，4，5}. (2)由∁UB＝{6，7，8}，∁UC＝{1，2}， 故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6，7，8}∪{1，2}＝{1，2，6，7，8}. 16.(15分)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2a＋a2＝0. (1)若命题¬p为真命题，求实数a的取值范围；(7分) (2)若命题p和¬q均为真命题，求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)对于∀x∈[1，2]，x2－a≥0⇔a≤x2在[1，2]上恒成立，又＝1，则a≤1， 又命题¬p为真命题，则命题p为假命题，则a>1， 所以实数a的取值范围是(1，＋∞). (2)由∃x∈R，x2＋2ax＋2a＋a2＝0，得Δ＝4a2－4(2a＋a2)＝－8a≥0，解得a≤0， 又命题¬q为真命题，所以命题q为假命题，则a>0，由(1)知，a≤1， 所以实数a的取值范围是0<a≤1. 17.(15分)在①A∩B＝{1}，②A＝B，③BA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数a的值；若问题中的集合不存在，说明理由. 问题：是否存在集合A，B，满足集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|6x2＋6ax＋a2－a＝0}且B≠∅，使得　　　　成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)  解　由条件可得A＝{1，2}， 选条件①， 要使得A∩B＝{1}，则1∈B，2∉B， 所以6＋6a＋a2－a＝0，且6×4＋6a×2＋a2－a≠0， 解得a＝－2. 所以存在集合A，B使得A∩B＝{1}成立. 选条件②， A＝B＝{1，2}，即6x2＋6ax＋a2－a＝0的两根为1，2， 由根与系数的关系可得解得a＝－3. 所以存在集合A，B使得A＝B成立. 选条件③， 由BA，得B＝{1}或B＝{2}. 当B＝{1}时⇒a＝－2， 当B＝{2}时⇒⇒无解， 综上可得，a＝－2. 所以存在集合A，B使得BA成立. 18.(17分)求证：关于x的方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0. 证明　(1)充分性：方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m， 因为－<m<0， 所以－4<12m<0，0<－m<所以Δ>0，且－3m>0， 由根与系数的关系可知方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性：若关于x的方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根x1，x2， 则解得－<m<0. 综合(1)(2)知，关于x的方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0. 19.(17分)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m<x<1}. (1)若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围；(8分) (2)若B∩(∁RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围.(9分) 解　(1)∵B≠∅，∴2m<1，解得m< 又“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件， ∴BA， 则需满足2m≥－1，即m≥－ 综上所述，m的取值范围是－≤m<. (2)∵A＝{x|－1≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<－1或x>2}. ①当B≠∅时，此时m< 若B∩(∁RA)中只有一个整数，则－3≤2m<－2， 解得－≤m<－1； ②当B＝∅时，此时m≥不符合题意. 综上所述，m的取值范围是－≤m<－1. 学科网（北京）股份有限公司 $