第3章 3.2.2 函数的奇偶性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦函数奇偶性这一核心知识点，系统讲解奇偶性的定义、判断方法、图象特征及求值求解析式的应用。通过观察对称图象、分析函数值关系抽象概念，承接函数基本性质，为后续综合应用搭建学习支架。 资料以生活对称美引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题链引导学生用数学思维抽象定义，结合图象分析与例题变式，提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2.2　函数的奇偶性 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.应用函数的奇偶性解决简单的求值、求解析式问题. 导语 古语有云：“夫美也者,上下,内外,小大,远近皆无害焉,故曰美.”大家知道,我国的建筑,无论宫殿、庙宇、亭台、园林,无不有着对称之美,还能给人以稳重、博大、端庄的感觉,你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现得淋漓尽致,今天我们来探究数学中的对称美. 一、函数的奇偶性的概念及判断 问题1　观察下列函数图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值,观察下表相应函数值的情况. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 提示　可以发现当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等. 问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 提示　可以发现,两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 知识梳理 1.偶函数的概念 如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝F(x),则称F(x)为偶函数. 2.奇函数的概念 如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝－F(x),则称F(x)为奇函数. 3.奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象是以原点为中心的中心对称图形；反之,如果一个函数的图象是以原点为中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数. 注意点：设F(x)的定义域为I, (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称,对∀x∈I,都有－x∈I；定义域关于原点对称,还需判断F(－x)与F(x)的关系,若F(－x)＝F(x),则函数是偶函数,若F(－x)＝－F(x),则函数是奇函数,若F(－x)≠±F(x),则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数图象关于y轴对称,奇函数图象关于原点对称. (4)若奇函数在原点处有意义,则必有F(0)＝0. (5)若F(－x)＝－F(x),且F(－x)＝F(x),则F(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即F(x)＝0,x∈D,D是关于原点对称的实数集. 例1　(课本例4)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋|x|；(2)g(x)＝x＋； (3)h(x)＝x3(x∈[－2,5]). 解　(1)函数f(x)的定义域为R.因为对∀x∈R,均有－x∈R,且f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x),所以f(x)为偶函数. (2)函数g(x)的定义域为{x|x≠0}.因为对∀x∈{x|x≠0},均有－x∈{x|x≠0},且g(－x)＝－x＋＝－＝－g(x),所以g(x)为奇函数. (3)因为h(x)的定义域关于原点不对称,所以h(x)既不是奇函数也不是偶函数. 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝x－； (5)f(x)＝ 解　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1,1},关于原点对称,且f(x)＝0,又f(－x)＝－f(x),f(－x)＝f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}, ∵∀x∈{x|x≠0},都有－x∈{x|x≠0}, 且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x), ∴f(x)是奇函数. (5)当x>0时,f(x)＝1－x2,此时－x<0, 所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1, 所以f(－x)＝－f(x)； 当x<0时,f(x)＝x2－1,此时－x>0, f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2, 所以f(－x)＝－f(x)； 当x＝0时,f(0)＝0. 综上,对∀x∈R,总有f(－x)＝－f(x), 所以函数f(x)为R上的奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下： ①判断函数F(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数F(x)既不是奇函数也不是偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.F(－x)＝－F(x)或F(－x)＝F(x). ③下结论.若F(－x)＝－F(x),则F(x)为奇函数； 若F(－x)＝F(x),则F(x)为偶函数； 若F(－x)≠±F(x),则F(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)图象法：F(x)是奇(偶)函数的等价条件是F(x)的图象关于原点(y轴)对称. 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　(1)由题意作出函数图象如图. (2)由图可知,单调递增区间为(－1,0),(1,＋∞). (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<2,且x≠0}. 延伸探究1　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知,单调递增区间为(－1,1). (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或x>2}. 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 三、函数奇偶性的应用 角度1　利用函数的奇偶性求值 例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数,定义域为[a－1,2a],则a＝　　　　,b＝　　　.  答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以a－1＝－2a,解得a＝. 又偶函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b＝0. (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2,若f(－3)＝－3,则f(3)＝　　　　.  答案　7 解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx,则g(x)是奇函数,∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2, 又f(－3)＝－3,∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2,∴f(3)＝5＋2＝7. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数,则根据F(－x)＝－F(x)或F(－x)＝F(x)列式,比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用F(－x)＝－F(x)或F(－x)＝F(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 角度2　利用函数的奇偶性求解析式 例4　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x＋3,求f(x)的解析式. 解　当x<0时,－x>0, f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3, 由于f(x)是奇函数,故f(x)＝－f(－x), 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时,f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 延伸探究 2　在本例(1)中,把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”,其余不变,求当x<0时,f(x)的解析式. 解　当x<0时,－x>0, f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3, 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(－x), 所以f(x)＝x2＋2x＋3. 即当x<0时,f(x)＝x2＋2x＋3. (2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝求函数f(x),g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(－x)＝f(x),g(－x)＝－g(x), 由f(x)＋g(x)＝. ① 用－x代替上式中的x, 得f(－x)＋g(－x)＝ ∴f(x)－g(x)＝ ② (①＋②)÷2,得f(x)＝； (①－②)÷2,得g(x)＝. 延伸探究 3　在本例(2)中,把条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式. 解　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x), 又f(x)＋g(x)＝ ① 用－x代替上式中的x, 得f(－x)＋g(－x)＝ 即f(x)－g(x)＝. ② 联立①②得f(x)＝g(x)＝. 反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式,求对称区间上的函数的解析式,应设这个区间上的变量为x,然后把x转化为－x,此时－x成了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x),g(x)组合运算与奇偶性,则把x换为－x,构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)＝0,但若为偶函数,未必有f(0)＝0. 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)函数奇偶性的应用(求值或求解析式). 2.方法归纳：特值法、数形结合法、方程(组)思想. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共25分；多选题每小题6分,共24分 1.下列函数中为偶函数的是(　　) A.f(x)＝x3 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 答案　D 2.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数,则a的值为(　　) A.0 B.－1 C.1 D.2 答案　C 解析　∵f(x)为R上的奇函数, ∴f(0)＝0,得a＝1. 3.已知f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)＝3x－则f 等于(　　) A.－7 B.－5 C.7 D.5 答案　B 解析　f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)＝3x－ 则f ＝f ＝3×＝1－6＝－5. 4.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)＝x2－2x,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　) A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2) C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2) 答案　A 解析　设x<0,则－x>0, 则f(－x)＝x2＋2x＝－f(x), 所以f(x)＝－x(x＋2). 5.(多选)下图的四个函数图象中为奇函数图象的是(　　) 答案　BD 解析　从图中可看出BD两个图象关于原点成中心对称,故为奇函数图象. 6.(多选)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且f(－2)＝1,则下列说法正确的有(　　) A.f(0)＝0 B.f(2)＝－1 C.f(x)的图象关于y轴对称 D.f(x)·f(－x)为偶函数 答案　ABD 解析　由已知易得A,B正确,C错误； 设G(x)＝f(x)·f(－x),∵x∈R,∴－x∈R. 又G(－x)＝f(－x)·f[－(－x)] ＝f(－x)·f(x)＝f(x)·f(－x)＝G(x). 故f(x)·f(－x)为偶函数,D正确. 7.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(－∞,0)时,f(x)＝－x2＋x－2,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝　　　　　.  答案　－x2－x－2 解析　当x∈(0,＋∞)时,－x∈(－∞,0),且函数f(x)为偶函数, 故f(x)＝f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－2＝－x2－x－2. 8.(5分)已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是　　　　.  答案　[－3,－1)∪(1,3] 解析　因为当0<x≤3时,函数单调递增,由图象可知1<f(x)≤3,由于函数f(x)是奇函数,所以当－3≤x<0时,－3≤f(x)<－1. 9.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝；(3分) (2)f(x)＝；(3分) (3)f(x)＝(4分) 解　(1)函数f(x)的定义域为[0,＋∞),不关于原点对称,所以f(x)＝是非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1],关于原点对称,f(－x)＝＝－f(x), 所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称,当x>0时,－x<0, 则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时,－x>0, 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x), 所以f(x)是偶函数. 10.(10分)已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)＝x2－2x＋3. (1)求f(x)在R上的解析式；(5分) (2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.(5分) 解　(1)因为函数y＝f(x)的图象关于原点对称, 所以f(x)为奇函数,又x∈R,则f(0)＝0. 当x<0时,－x>0, 因为当x>0时,f(x)＝x2－2x＋3. 所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3) ＝－x2－2x－3. 于是f(x)＝ (2)先画出函数在y轴右侧的图象,再根据对称性画出y轴左侧的图象,如图. 由图象可知函数y＝f(x)的单调区间是(－∞,－1],[1,＋∞),[－1,0),(0,1],其中前两个区间是f(x)的单调递增区间,后两个区间是f(x)的单调递减区间. 11.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　　) A.(a,－f(a)) B.(－a,f(a)) C.(－a,－f(a)) D.(a,f(－a)) 答案　C 解析　因为y＝f(x)为奇函数,f(－a)＝－f(a), 故点(－a,－f(a))在y＝f(x)的图象上. 12.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3,则(　　) A.[f(x)]2－3g(x)是偶函数 B.f(x)＝－x C.g(x)＝2x2＋1 D.g(2)＝4 答案　ABC 解析　令F(x)＝[f(x)]2－3g(x), 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以F(－x)＝[f(－x)]2－3g(－x)＝[－f(x)]2－3g(x)＝[f(x)]2－3g(x)＝F(x), 所以F(x)＝[f(x)]2－3g(x)是偶函数,故A正确； 因为2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3, ① 所以2f(－x)＋3g(－x)＝－2f(x)＋3g(x)＝6x2＋2x＋3, ② 由①②,得f(x)＝－x,g(x)＝2x2＋1,故B,C正确； 易得g(2)＝8＋1＝9,故D错误. 13.(多选)已知函数f(x)＝x|x－a|,其中a∈R,下列结论正确的是(　　) A.存在实数a,使得函数f(x)为奇函数 B.存在实数a,使得函数f(x)为偶函数 C.当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,＋∞) D.当a<0时,f(x)的单调递减区间为 答案　AC 解析　由f(－x)＝－x|－x－a|＝－x|x＋a|,显然当a＝0时,f(－x)＝－f(x),但不存在实数a使f(－x)＝f(x)成立,所以A正确,B错误； f(x)＝当a>0时,易知f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,＋∞)上单调递增,所以C正确； 同理可得,当a<0时,f(x)在(－∞,a)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以D错误. 14.(5分)设函数f(x)＝为奇函数,则a＝　　　　.  答案　－1 解析　因为f(x)为奇函数, 所以f(－x)＝－f(x), 即＝－ 显然x≠0,整理得 x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a, 故a＋1＝0,得a＝－1. 15.(5分)已知函数f(x)＝若f(a)＝则f(－a)＝　　　　.  答案　 解析　根据题意,f(x)＝＝1＋ 而h(x)＝是奇函数, 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)] ＝2－f(a)＝2－. 16.(11分)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x)是奇函数；(5分) (2)若f(－3)＝a,试用a表示f(12).(6分) (1)证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y), 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x), 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0),所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x), 故f(x)是奇函数. (2)解　由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(－3)＝－f(3)＝a,所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3), 所以f(12)＝－4a. 学科网（北京）股份有限公司 $