4.1 实数指数幂和幂函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

4．1　实数指数幂和幂函数 4．1．1　有理数指数幂 4．1．2　无理数指数幂 [素养目标]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算．　2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算． 一、n次方根的概念问题 n次方根：一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号表示． (2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a>0)．负数没有偶次方根． (3)0的任何次方根都是0，记作＝0． 二、根式的概念 1．根式的定义 式子叫作根式(n∈N*，n>1)，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．根式的性质 (1)()n＝a(n>1，且n∈N*)； (2)当n为奇数时，＝a； (3)当n为偶数时，＝|a|＝ 理解1　根式的化简 ►【例1】　(1)(多选题)已知m10＝2．则m＝(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．－ 【解析】　选AB　因为m10＝2，所以m是2的10次方根．又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数． 所以m＝±． (2)求下列各式的值： ① (n>1，且n∈N*)； ② ； ③ ＋； ④若－1<x<2，化简－． 【解】　①当n为奇数时，＝3－π； 当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3． ②＝|x－y|． 当x≥y时，＝x－y； 当x<y时，＝y－x． ③原式＝＋ ＝＋＝＋1＋－1＝2． ④原式＝－＝|x－2|－|x＋1|． ∵－1<x<2，∴x＋1>0，x－2<0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x． 1．化简及()n，首先明确n是奇数还是偶数，再注意a的符号，根据根式的性质化简． 2．对于双重二次根式，设法找到两个正数x，y(x>y)，使x＋y＝A，xy＝B，则＝．即能通过配方法去掉双重根号，而分母有理化中，常常用到的是平方差公式． 1．有下列说法： ①＝3； ②16的4次方根是±2； ③＝±3； ④ ＝|x＋y|． 其中正确的有 (填序号)． 解析：负数的3次方根是一个负数，＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故④正确． 答案：②④ 三、根式与分数指数幂的互化 1．正分数指数幂的意义 (1)前提：a>0，m，n∈N*，且n>1； (2)结论：a＝． 2．负分数指数幂的意义 (1)前提：a>0，m，n∈N*，且n>1； (2)结论：a－＝＝． 3．0的分数指数幂的意义 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质(也适合实数指数幂) 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)； 4．ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； 5．＝(a>0，b>0，r∈Q)． 五、有理指数幂的基本不等式 1．对任意的正数a>1和两个有理数r>s, 有＝ar－s>1，即ar>as． 2．对任意的正数a<1和两个有理数r>s, 有＝ar－s<1，即ar<as． 六、幂运算基本不等式 1．对任意的正数u和正数a，若a>1，则au>1，若a<1，则au<1． 2．对任意的负数u和正数a，若a>1，则au<1，若a<1，则au>1． 理解2　指数幂的计算 角度1　无条件指数幂的运算 ►【例2】　计算下列各式： (1)＋0．002－－10(－2)－1＋(－)0； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)． 【解】　(1)原式＝(－1) －×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－． (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－． 角度2　有条件的指数幂的运算 ►【例3】　已知a＋a－＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2． 【解】　(1)将a＋a－＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3． (2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7． (3)令y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a－2＝±3． 【探究】　本题条件不变，求a3＋a－3的值． 解：a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝