3.2.2 第2课时 函数基本性质的综合应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

3.2.2　函数的奇偶性 第2课时　函数基本性质的综合应用 　 第3章　3.2　函数的基本性质 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式，培养数学抽象及数学运算核心素养. 内容索引 合作探究 1 课时分层评价 3 随堂评价 2 合作探究 返回 探究点一　根据函数奇偶性求函数的解析式 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式； 解：当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3. 典例 1 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， 所以f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 1.用奇偶性求解析式的步骤 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解题思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； (2)利用已知区间的解析式进行代入； (3)利用奇偶性写出f(x)与f(－x)的关系，从而解出f(x). 规律方法 2.已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解. 注意　若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 规律方法 对点练1．(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x－x4，则当x＞0时，f(x)＝__________. －x－x4 设x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，又函数f(x)是R上的偶函数，所以当x＞0时，f(x)＝f(－x)＝－x－x4. (2)已知函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝_______________. 因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(0)＝g(0)＝0.设x＜0， 则－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1，所以f(x)＝g(x)＝－f(－x)＝－x2－1.综上可得，g(x)＝ 探究点二　利用函数的奇偶性和单调性比较大小 (1)已知f(x)是奇函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，则f(1)，f，f(2)的大小关系是 A.f＜f(1)＜f(2) B.f(2)＜f＜f(1) C.f(2)＜f(1)＜f D.f(1)＜f＜f(2) √ 典例 2 由f(x)为奇函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，得f(x)在区间[0，＋∞)上也单调递减，又1＜＜2，所以f(2)＜f＜f(1).故选B. (2)已知函数f(x)为偶函数，当0＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－3)，b＝f(1)，c＝f(π)，则a，b，c的大小关系为 A.b＞a＞c B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b 因为函数f(x)为偶函数，所以a＝f(－3)＝f(3)，由于0＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又1＜3＜π，所以f(1)＞f(3)＞f(π)，所以b＞a＞c.故选A. √ 1.函数的奇偶性与单调性的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性. (2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性. 2.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值大小的方法 (1)自变量在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 规律方法 对点练2．已知定义在[－5，5]上的函数f(x)是偶函数，其在[0，5]上具有单调性，且f(－4)＜f(－2)，则下列不等式一定成立的是 A.f(－1)＜f(3) B.f(2)＜f(3) C.f(－3)＜f(5) D.f(0)＞f(1) 因为函数f(x)是偶函数，且f(－4)＜f(－2)，所以f(4)＜f(2).又f(x)在[0，5]上具有单调性，所以f(x)在[0，5]上单调递减，从而f(－1)＝f(1)＞f(3)，f(2)＞f(3)，f(－3)＝f(3)＞f(5)，f(0)＞f(1).故选D. √ 探究点三　利用函数的奇偶性和单调性解不等式 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式f(x)＞0的解集是____________________. 典例 3 (－∞，－5)∪(0，5) 依题意，可以画出f(x)的大致图象： 由图可知，f(x)＞0的解集是(－∞，－5)∪(0，5). (2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x 的取值范围是________. 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，0] 上单调递减，不等式f(2x－1)＜f等价于｜2x－1｜＜，即－＜2x－1＜，解得＜x＜，故满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的方法 1.利用图象解不等式. 2.转化为简单不等式求解： (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)的形式. (2)根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为关于x的不等式(组)求解. 规律方法 对点练3．已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上单调递增，若f(a－2)＋f(3－2a)＜0，试求实数a的取值范围. 解：因为f(a－2)＋f(3－2a)＜0， 所以f(a－2)＜－f(3－2a)， 又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)＜f(2a－3). 又因为f(x)在区间[0，1)上单调递增， 所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增， 所以解得1＜a＜2. 所以实数a的取值范围为(1，2). 返回 随堂评价 返回 1.已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的表达式为 A.f(x)＝－x＋1 B.f(x)＝－x－1 C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝x－1 √ 设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x＋1.因为f(x)是奇函数，所以x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.故选B. 2.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上 A.单调递增且有最大值－5 B.单调递增且有最小值－5 C.单调递减且有最大值－5 D.单调递减且有最小值－5 √ 因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A. 3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减.若x1＜0且x1＋x2＞0，则 A.f(－x1)＞f(－x2) B.f(－x1)＝f(－x2) C.f(－x1)＜f(－x2) D.f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 √ 由x1＜0，且x1＋x2＞0，得x2＞－x1＞0.因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x2)＜f(－x1).又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，所以f(－x1)＞f(－x2).故选A. 4.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f(a)≥f，则实数a的取值范围是 A.　　　 B. C. D.∪ √ 因为y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减.因为f(a)≥f，所以｜a｜≤，解得－≤a≤.故选C. 返回 课时分层评价 返回 1.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)＜f(1)的x的取值范围是 A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(0，1) D.[－1，1) √ 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)＜f(1)等价于x＜1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是 A.b＜a＜c B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b √ 由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f().又＜＜，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f()＜f＜f，即a＜c＜b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为 A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(－3，0)∪(0，3) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0，3) √ 因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，所以f(－3)＝0，＝f(x).因为f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增.当x＞0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(3)，所以x＞3；当x＜0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(－3)，所以－3＜x＜0.所以原不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)一个偶函数的定义域为[－7，7]，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是 A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 √ 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数 在[－7，0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三 个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域 内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选AC. √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则 A.a＝2 B.f(2)＝2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(－3)＝－12 √ f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0，得a＝2，故A正确；f(2)＝4＋2＝6，故B错误；当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确；f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D正确.故选ACD. √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)＝f(x)－2，则g(2 025)＋g(－2 025)＝____. 根据题意，函数f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，则g(x)＋g(－x)＝f(x)－2＋f(－x)－2＝0－4＝－4，则g(2 025)＋g(－2 025)＝－4. －4 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.若奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)＝_____. 由f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13. －13 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则＜0的解集为_________________________. 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.所以f(3)＝f(－3)＝0.当x＞0时，由f(x)＜0，即f(x)＜f(3)，解得x＞3；当x＜0时，由f(x)＞0，即f(x)＞f(－3)，解得－3＜x＜0.故所求解集为{x｜－3＜x＜0，或x＞3}. {x｜－3＜x＜0，或x＞3} 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x). (1)求函数g(x)的定义域； 解：由题意可知 所以＜x＜， 所以函数g(x)的定义域为. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集. 解：由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3). 而f(x)在(－2，2)上是减函数， 所以＜x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x－3. (1)求函数f(x)的解析式并画出函数图象，根据图象写出函数f(x)的单调递增区间； 解：当x＞0时，f(x)＝x2－2x－3， 令x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，f(－x)＝－f(x)＝x2＋2x－3， 即f(x)＝－x2－2x＋3. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 又f(0)＝0，所以f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如下： 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)若方程f(x)－m＝0有3个相异的实数根，求实数m的取值集合； 解：若方程f(x)－m＝0有3个相异的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有3个交点， 由图可知，m＝0或－4＜m＜－3或3＜m＜4， 所以实数m的取值集合是{m｜m＝0，或－4＜m＜－3，或3＜m＜4}. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (3)求不等式f(x)＞2的解集. 解：当x＜0时，由－x2－2x＋3＞2，即x2＋2x－1＜0，解得－1－＜x＜0； 当x＝0时，0＞2，显然不成立； 当x＞0时，由x2－2x－3＞2，即x2－2x－5＞0， 解得x＞1＋. 综上，不等式f(x)＞2的解集为{x｜－1－＜x＜0，或x＞1＋}. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x－y)＝f(x)－f(y)＋1，且f(1)＝0，当x＞0时，f(x)＜1，则下列选项中正确的有 A.f(0)＝1 B.f(2)＝－2 C.y＝f(x)－1为奇函数 D.f(x)为R上的减函数 √ √ √ 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，f(0)＝f(0)－f(0)＋1，故f(0)＝1，故A正确；对于B，f(－1)＝f(0)－f(1)＋1＝2，f(2)＝f(1)－f(－1)＋1＝－1，故B错误；对于C，f(0－x)＝f(0)－f(x)＋1＝2－f(x)，故f(－x)－1＝－[f(x)－1]，y＝f(x)－1为奇函数，故C正确；对于D，任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)－1，因为x1＞x2，所以x1－x2＞0，又当x＞0时，f(x)＜1，所以f(x1－x2)－1＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是R上的减函数，故D正确.故选ACD. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)(新定义)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的说法中正确的有 A.函数y＝f(x)的定义域是R，值域是 B.函数y＝f(x)是偶函数 C.函数y＝f(x)是奇函数 D.函数y＝f(x)在上单调递增 √ √ 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 化简函数解析式可得， f(x)＝x－{x}＝ 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是，故A正确；由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在上单调递增，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B、C错误，D正确.故选AD. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 3.2　函数的基本性质 返回 $