第3章 3.1.2 表示函数的方法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“表示函数的方法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示方法及各自优缺点，衔接初中知识通过问题引导回顾，结合例题与跟踪训练巩固函数图象绘制及解析式求解，形成完整学习支架。 以“买月饼”“列车时刻表”等生活情境引入，用数学眼光观察现实世界建立联系，通过换元法、配凑法等培养数学思维，图象绘制强化几何直观，课中例题辅助教师教学，课后练习助学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

3.1.2　表示函数的方法 学习目标　1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域.3.会求函数的解析式. 导语 如果一个人极有才华,我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能,我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才,我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越,天下绝无仅有,我们会用“斗南一人”来形容,那么对于不同呈现出来的函数,是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧. 一、表示函数的方法 问题1　什么是表示函数的方法呢？ 提示　把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法. 问题2　结合初中所学知识,你能总结出函数的几种表示方法？ 提示　解析法、列表法和图象法. 知识梳理　函数的表示方法 注意点： 函数三种表示方法的几点说明 (1)解析法：变量间的函数关系明确,且要注意函数的定义域. (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系.比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线,也可能是一些点、一些线段、一段曲线等,但不是任何一个图形都是函数图象. 例1　中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？ 解　函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},用解析法可将函数表示为 f(x)＝6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 反思感悟　理解函数表示方法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)列表法更具体易用,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1,x∈{1,2,3,4}, 试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x). 解　用图象法表示函数y＝f(x),如图所示. 用列表法表示函数y＝f(x),如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 二、函数的图象 用图象法表示函数，便于直观地研究函数的性质.在实际作图时，经常采用下述方法作出函数图象.具体步骤如下： (1)列表：先找出一些有代表性的自变量值x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来. (2)描点：从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点. (3)连线：用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 需注意的是，要使作出的图象更精确，常常需要描出大量的点. 例2　作出下列函数的图象,并求出函数的值域： (1)y＝2x＋1,x∈[0,2]； (2)y＝x∈[2,＋∞)； (3)y＝x2＋2x,x∈[－2,2]； (4)y＝(x－2)2. 解　(1)当x∈[0,2]时,图象是一次函数y＝2x＋1图象的一部分,如图①所示,函数的值域为[1,5]. (2)当x∈[2,＋∞)时,图象是反比例函数y＝图象的一部分,如图②所示,函数的值域为(0,1]. (3)当x∈[－2,2]时,图象是抛物线y＝x2＋2x图象的一部分,如图③所示,函数的值域为[－1,8]. (4)方法一　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图④所示,函数的值域为[0,＋∞). ④　　　 　　　　　　⑤ 方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y＝(x－2)2的图象,如图⑤所示,函数的值域为[0,＋∞). 反思感悟　作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一,则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象. 跟踪训练2　作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝x2－4x＋3,x∈[1,3]. 解　(1)因为x∈Z,所以图象为直线y＝1－x上的孤立点,其图象如图①所示. (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1, 当x＝1或x＝3时,y＝0； 当x＝2时,y＝－1,其图象如图②所示. 三、求函数的解析式 例3　(1)已知f(＋1)＝x＋2求f(x)； (2)已知f(x)为二次函数,且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x,求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f＋f(x)＝x(x≠0),求f(x). 解　(1)方法一　(换元法)：令t＝＋1, 则x＝(t－1)2,t≥1, 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1), 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2 ＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0), 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x, 所以所以 所以f(x)＝x2－2x－1. (3)f(x)＋2f＝x, 令x＝得f＋2f(x)＝ 于是得关于f(x)与f的方程组 解得f(x)＝(x≠0). 反思感悟　求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可. (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个方程组成方程组,通过解方程组求出f(x). 提醒：应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性. 跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2,求f(x)； (2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))＝4x＋8,求f(x). 解　(1)方法一　(配凑法)： ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2 ＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6, ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)：令t＝x＋1,则x＝t－1, ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6, 即f(x)＝x2－5x＋6. (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0), 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8, ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8, 即 解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 1.知识清单： (1)函数的表示方法. (2)函数的图象. (3)求函数的解析式. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法. 3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　) A.y＝2x B.y＝2x(x∈R) C.y＝2x(x∈{1,2,3,…}) D.y＝2x(x∈{1,2,3,4}) 答案　D 2.函数y＝－的图象的大致形状是(　　) 答案　C 3.已知函数f(x)如表所示： x －2 －1 0 1 2 f(x) 2 1 0 －1 －2 则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　) A.{1,2,0} B.{－1,－2,0} C.{1,2} D.{－1,－2} 答案　A 解析　由f(f(x))≥0,得f(x)＝0或f(x)＝－1或f(x)＝－2,当f(x)＝0时,x＝0, 当f(x)＝－1时,x＝1, 当f(x)＝－2时,x＝2, 综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}. 4.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)－4x)＝5恒成立,则f(2)等于(　　) A.1 B.3 C.7 D.9 答案　D 解析　因为函数f(x)是一次函数,且f(f(x)－4x)＝5恒成立, 令f(x)－4x＝t,则f(x)＝4x＋t, 所以f(t)＝4t＋t＝5,解得t＝1, 所以f(x)＝4x＋1,f(2)＝4×2＋1＝9. 5.李明在放学回家的路上,开始时和同学边走边讨论问题,走得比较慢,后来他们索性停下来将问题彻底解决,再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　) 答案　D 解析　由题意可知,李明离家的距离随时间的变化先是变小,且变化得比较慢,后来保持不变,再后来继续变小,且变化得比较快,直至为0,只有D选项符合题意. 6.(多选)已知f(2x－1)＝4x2,则下列结论中正确的是(　　) A.f(3)＝9 B.f(－3)＝4 C.f(x)＝x2 D.f(x)＝(x＋1)2 答案　BD 解析　f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1,故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2,故选项C错误,选项D正确；f(3)＝16,f(－3)＝4,故选项A错误,选项B正确. 7.(5分)函数y＝f(x)的图象如图所示,那么其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是　　　　.  答案　[1,2)∪(4,5] 解析　由题中图形可得, 只有唯一的x值与之对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]. 8.(5分)设b>0,二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一,则a的值为　　　　.  答案　－1 解析　若a>0,即图象开口向上,故排除第1个和第3个图象,∵b>0,∴对称轴x＝－<0,故排除第2个和第4个图象；若a<0,即图象开口向下,∵b>0,∴对称轴x＝－>0,故函数图象为第3个图.由图象知函数过点(0,0),∴a2－1＝0, ∴a＝－1(舍去a＝1). 9.(10分)画出下列函数的图象,并求出函数的定义域和值域： (1)y＝；(3分) (2)y＝－4x＋5；(3分) (3)y＝x2－6x＋7.(4分) 解　(1)反比例函数y＝的图象如图1所示,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),值域为(－∞,0)∪(0,＋∞). 图1 (2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示,定义域为R,值域为R. 图2　　　　　　　　　图3 (3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示,定义域为R,值域为[－2,＋∞). 10.(10分)(1)已知f＝x2＋求f(x)；(5分) (2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x,求f(x).(5分) 解　(1)f＝x2＋＋2, 令t＝x－则f(t)＝t2＋2,∴f(x)＝x2＋2. (2)在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中, 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x, 联立得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 11.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的为(　　) 答案　A 解析　对于A,水面的高度h的增加是均匀的,为一条直线,因此不正确,其他均正确. 12.(多选)设f(x)＝则下列结论正确的有(　　) A.f(－x)＝－f(x) B.f＝－f(x) C.f＝f(x) D.f(－x)＝f(x) 答案　BD 解析　因为f(x)＝所以f(－x)＝＝f(x),故A错误,D正确； f＝－f(x),f＝－f(x),故B正确,C错误. 13.(多选)已知f(x)＝－x2＋2x＋3,则下列说法正确的是(　　) A.f(0)<f(1) B.当x1<x2<1时,f(x1)<f(x2) C.f(x)的值域为[4,＋∞) D.将f(x)关于原点作中心对称变换后得到y＝x2－2x－3 答案　AB 解析　画出f(x)的图象如图所示, 由图可知,A,B正确,C错误； 将f(x)关于原点作中心对称变换, 得y＝－[－(－x)2＋2(－x)＋3]＝x2＋2x－3,故D错误. 14.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC.已知AB＋BC＋CD为定值l,腰CD与直线BC的夹角为60°,设等腰梯形的面积为S,高为h,则S关于h的函数解析式为　　　　　　.  答案　S＝h(l－h) 解析　如图,过点C作AD的垂线,交AD于点E,则∠EDC＝60°, 在△CDE中,ED＝CD,CE＝h＝CD,则CD＝AB＝h, 而AB＋BC＋CD＝l,于是BC＝l－h,AD＝BC＋2ED＝l－h, 则得0<h<l, 所以S＝＝h(l－h). 15.(5分)已知函数f(x)满足f(0)＝1,对任意实数x,y有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1),则函数f(x)的解析式为　　　　　　.  答案　f(x)＝x2＋x＋1 解析　令x＝y得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1), 则f(x)＝x2＋x＋1. 16.(12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3,且f(x)≥x恒成立,求f(x)的解析式. 解　由f(3)＝3,得b＝－3a－9. 由f(x)≥x恒成立可知,x2＋ax＋b≥0恒成立, 所以a2－4b≤0, 所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0, 所以a＝－6,b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9. $