第3章 3.2.1 第2课时 函数的单调性与最值的综合应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦函数单调性与最值的综合应用核心知识点，系统梳理从单调区间上最值的基础关系，到含参二次函数分类讨论对称轴与区间位置求最值，再到实际问题中建立函数模型求最值的递进式学习支架。 该资料通过问题引导与典型例题培养数学思维，如含参二次函数最值的分类讨论体现逻辑推理，实际利润问题建模培养应用意识。课中教师可借助互动问题引导探究，课后学生通过跟踪训练与课时对点练巩固知识，有效查漏补缺。

第2课时　函数的单调性与最值的综合应用 学习目标　1.能借助函数的单调性求最值.2.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 一、函数的单调性与最值 问题1　若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别是多少？ 提示　最大值为f(b),最小值为f(a). 问题2　若f(x)＝－x2的定义域为[－1,2],则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？ 提示　不一定,需要考虑函数的单调性. 例1　(课本例2)证明函数f(x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，并指出函数在区间(0，＋∞)上的最值点和最值. 解　①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1<x2，则 k＝ ＝1－. 由0<x1<x2≤1，得0<x1x2<1，>1， 于是k＝1－<0. 因此，函数f(x)在区间(0，1]上单调递减. ②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2. 由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1， 于是k＝1－>0. 因此，函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增. 综合①②可知，在区间(0，＋∞)上，函数f(x)在x＝1处取到最小值，最小值f(1)＝2，最小值点为1. 例1　已知函数f(x)＝. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1,5]上的最值. (1)证明　设x1,x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1> f(x1)－f(x2)＝ ＝.由于x2>x1> 所以x2－x1>0,且(2x1－1)(2x2－1)>0, 所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)＝在区间上单调递减. (2)解　由(1)知,函数f(x)在[1,5]上单调递减, 因此,函数f(x)＝在区间[1,5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值, 即最大值为f(1)＝3,最小值为f(5)＝. 延伸探究　本例条件不变,求函数f(x)在[1,＋∞)的最值. 解　由(1)知函数f(x)在[1,＋∞)上单调递减, 当x＝1时,f(x)有最大值f(1)＝3,无最小值. 反思感悟　(1)利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 ①判断函数的单调性； ②利用函数的单调性求出最大(小)值. (2)函数的最大(小)值与单调性的关系 ①若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). ②若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则函数f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 解　(1)函数f(x)在[3,5]上为增函数. 证明如下： 任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,则 f(x1)－f(x2)＝ ＝ ＝ ＝ 因为x1,x2∈[3,5],且x1<x2, 所以x1－x2<0,x1＋2>0,x2＋2>0, 即f(x1)－f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)＝在[3,5]上为增函数. (2)由(1)知,当x＝3时,函数f(x)取得最小值, 最小值为f(3)＝； 当x＝5时,函数f(x)取得最大值, 最大值为f(5)＝. 二、含参的二次函数的最值 例2　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2,x∈[－1,1],求函数f(x)的最小值. 解　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2,x∈[－1,1]. 当a≥1时,函数f(x)的图象如图1中实线所示,函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减,最小值为f(1)＝3－2a； 当－1<a<1时,函数f(x)的图象如图2中实线所示,函数f(x)在区间[－1,a)上单调递减,在区间[a,1]上单调递增,最小值为f(a)＝2－a2； 当a≤－1时,函数f(x)的图象如图3中实线所示,函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增,最小值为f(－1)＝3＋2a. 综上所述,f(x)min＝ 反思感悟　二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图象判断函数的单调性,对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况,特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上的最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得. (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内. (3)对某些函数,可通过换元,转化为二次函数,如函数f(x)＝x－2－3,令t＝≥0,则g(t)＝t2－2t－3. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2－2x－3. (1)若x∈[0,2],求函数f(x)的最值； (2)若x∈[t,t＋2],求函数f(x)的最值. 解　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上,对称轴为直线x＝1, ∴f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增,且f(0)＝f(2). ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3, f(x)min＝f(1)＝－4. (2)由(1)知对称轴为直线x＝1, ①当1≥t＋2,即t≤－1时, f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3, f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. ②当≤1<t＋2,即－1<t≤0时, f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3, f(x)min＝f(1)＝－4. ③当t≤1<即0<t≤1时, f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3, f(x)min＝f(1)＝－4. ④当1<t,即t>1时, f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3, f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数f(x)的最大值为g(t),最小值为φ(t), 则有g(t)＝ φ(t)＝ 三、实际生活中的最值问题 例3　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解　(1)设月产量为x台, 则总成本为20 000＋100x, 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时, f(x)＝－(x－300)2＋25 000. ∴当x＝300时,f(x)max＝25 000； 当x>400时,f(x)＝60 000－100x单调递减, f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时,f(x)max＝25 000. 即月产量为300时公司所获利润最大,最大利润为25 000元. 反思感悟　解应用题的步骤：①审清题意；②建立数学模型,将实际问题转化为数学问题；③总结结论,回归题意. 跟踪训练3　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润为多少？ 解　设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x－50)元,销量减少10(x－50)个, 销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个, 则y＝(x－40)(1 000－10x) ＝－10(x－70)2＋9 000.故当x＝70时,ymax＝9 000. 即售价为70元时,利润最大,最大利润为9 000元. 1.知识清单： (1)单调性与最值. (2)二次函数的最值. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共12分 1.函数f(x)＝在[1,＋∞)上(　　) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值 答案　A 解析　函数f(x)＝在[1,＋∞)上单调递减,在x＝1处取最大值f(1)＝1>0,无最小值. 2.下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　) A.y＝＋2 B.y＝3x－2 C.y＝x2 D.y＝1－x 答案　A 解析　选项B,C在[1,4]上均单调递增,选项A,D在[1,4]上均单调递减,代入端点值,可知A正确. 3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 答案　C 解析　设公司在甲地销售x辆, 则在乙地销售(15－x)辆,公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30 ＝－＋30＋ ∴当x＝9或x＝10时,L的最大值为120万元. 4.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为(　　) A.42,12 B.42,－ C.12,－ D.无最大值,最小值为－ 答案　D 解析　因为f(x)＝x∈(－5,5), 所以当x＝－时,f(x)有最小值－无最大值. 5.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(　　) A.[1,＋∞) B.[0,2] C.(－∞,2] D.[1,2] 答案　D 解析　f(x)＝(x－1)2＋2, ∵f(x)min＝2,f(x)max＝3, 且f(1)＝2,f(0)＝f(2)＝3,∴1≤m≤2. 6.(多选)已知函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减.下列命题中正确的有(　　) A.f(0)<f(2) B.f(0)＝f(3) C.f(x)在区间[－1,5]上的最大值是f(2) D.f(x)在区间[－1,5]上的最小值是f(5) 答案　AC 解析　因为函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,且－1<0<2,所以f(0)<f(2),故A正确； 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以B不正确；C显然正确； f(x)在[－1,5]上的最小值是f(－1)或者是f(5),所以D不正确. 7.(5分)函数f(x)＝x∈[1,2],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  答案　－　－1 解析　∵f(x)＝在[1,2]上单调递减, ∴f(2)≤f(x)≤f(1),即－1≤f(x)≤－. 即f(x)的最大值为－最小值为－1. 8.(5分)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞,2] 解析　当x≤0时,f(x)的最小值为f(0)＝a； 当x>0时,x＋≥2,f(x)的最小值为f(1)＝2. ∵f(0)是f(x)的最小值, ∴f(0)＝a≤2. 9.(10分)已知函数f(x)＝(x>0). (1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增；(5分) (2)求函数f(x)的最大值和最小值.(5分) (1)证明　设x1,x2是区间(0,1]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝ ＝. 由0<x1<x2≤1,得x2－x1>0,x1x2－1<0, ∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1]上单调递增. (2)解　当1≤x1<x2时,x2－x1>0,x1x2－1>0, ∴f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[1,＋∞)上单调递减. ∴结合(1)可知,f(x)max＝f(1)＝无最小值. 10.(11分)某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；(5分) (2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润？(6分) 解　(1)因为f(x)是一次函数, 所以设f(x)＝ax＋b(a≠0), 由表格得方程组解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162. 又y≥0,所以30≤x≤54, 故所求函数关系式为y＝－3x＋162,x∈[30,54]. (2)由题意得, P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432,x∈[30,54]. 当x＝42时,日销售利润最大,最大值为432, 即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润. 11.已知函数f(x)＝2x2－ax＋1,x∈[－1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞,－4] B.(－∞,－1]∪[2,＋∞) C.[2,＋∞) D.[－4,＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝当－1<a≤0时,易得函数在[－1,a]上单调递减,则函数f(x)的最大值为f(－1),不满足条件.当a>0时,要使f(x)的最大值为f(a),则f(a)≥f(－1),即2a2－a2＋1≥2＋a＋1, 解得a≤－1(舍)或a≥2. 12.已知函数f(x)＝2x－3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是(　　) A.R B.(－∞,－1] C.[－1,＋∞) D.∅ 答案　B 解析　因为f(x)＝2x－3在x∈[1,＋∞)上单调递增, 所以f(x)min＝－1,故满足f(x)≥－1. 又因为当x≥1时,f(x)≥m恒成立, 所以m≤－1. 13.(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2－2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　) A.F(－2)＝F(2) B.方程F(x)＝0有两个解 C.函数F(x)在(－∞,－)上单调递减 D.函数F(x)有最大值0,无最小值 答案　ABD 解析　由题意知F(x)＝ 所以F(2)＝F(－2)＝－2,故A正确； 当x≤－或x≥时,根据F(x)＝0解得x＝±此时方程有两个解；当－<x<时,由F(x)＝0,解得x＝±不符合题意,所以方程F(x)＝0有两个解,故B正确； 根据二次函数的性质,函数F(x)在(－∞,－)上单调递增,故C错误； 因为函数F(x)的单调递增区间为(－∞,－)和(0),单调递减区间为(－0)和(＋∞),所以函数F(x)无最小值,最大值为F()＝F(－)＝0,故D正确. 14.(5分)已知函数f(x)＝在区间[0,1]上的最大值为则实数m的值为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)＝ 即f(x)＝2＋x∈[0,1], 当m＝2时,f(x)＝2,不符合题意； 当m－2>0,即m>2时,f(x)在[0,1]上单调递减,可得f(0)为最大值, 即f(0)＝解得m＝符合题意； 当m－2<0,即m<2时,f(x)在[0,1]上单调递增,可得f(1)为最大值, 即f(1)＝解得m＝3,不符合题意； 综上可得m＝. 15.(5分)已知函数f(x)＝x2－2x,g(x)＝ax＋2(a>0),若对任意的x1∈[－1,2],都存在x0∈[－1,2],使得g(x1)＝f(x0),则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上,其对称轴方程为x＝1, ∴当x∈[－1,2]时,f(x)的最小值为f(1)＝－1,最大值为f(－1)＝3, 则此时f(x)的取值范围为[－1,3]. ∵g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上单调递增, ∴当x∈[－1,2]时,g(x)的最小值为g(－1)＝－a＋2,最大值为g(2)＝2a＋2, 此时g(x)的取值范围为[－a＋2,2a＋2]. ∵对任意的x1∈[－1,2],都存在x0∈[－1,2],使得g(x1)＝f(x0), ∴解得0<a≤. 16.(12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1). (1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值；(4分) (2)若f(x)在区间(－∞,2]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[1,a＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)∵f(x)＝x2－2ax＋5图象的对称轴为直线x＝a,开口向上, ∴f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞,a]上单调递减, ∴f(x)＝x2－2ax＋5在[1,a]上单调递减, ∴f(x)max＝f(1)＝a且f(x)min＝f(a)＝1, ∴解得a＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞,2]上单调递减,∴a≥2, ∴f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a＋1]上单调递增,a－1≥(a＋1)－a, ∴f(x)min＝f(a)＝5－a2, f(x)max＝f(1)＝6－2a, ∵对任意的x1,x2∈总有|f(x1)－f(x2)|≤4, ∴f(x)max－f(x)min≤4,即6－2a－(5－a2)≤4, 解得－1≤a≤3,又∵a≥2,∴2≤a≤3,即实数a的取值范围为[2,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $