第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性与最值（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学函数的单调性与最值核心知识点，从科考队气温曲线的现实情境切入，通过图象直观感知函数变化规律，过渡到增函数、减函数定义及单调区间的抽象概括，再结合定义证明与单调性应用（如求参数范围），构建从具体到抽象、从理解到应用的学习支架。 该资料以情境化设计与数形结合为特色，用气温曲线等实例引导学生用数学眼光观察现实世界的变化规律。通过问题链（如“如何理解函数图象最高点”）和定义证明四步法（取值、作差变形、定号、结论），培养学生逻辑推理的数学思维。课中借助图象分析辅助直观理解，课后通过分层练习（例题、跟踪训练、课时对点练）帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

3.2.1　函数的单调性与最值 第1课时　函数的单调性与最值 学习目标　1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.4.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 导语 科考队对沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线： 请你根据曲线图说说气温的变化情况？ 一、函数的最大(小)值 问题1　如图所示是函数y＝－x2－2x,y＝－2x＋1(x∈[－1,＋∞)),y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A,函数y＝－2x＋1,x∈[－1,＋∞)的图象有最高点B,函数y＝f(x)的图象有最高点C,也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题2　你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. 知识梳理　函数的最大(小)值 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空子集. (1)如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点. (2)如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b)，称m为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：函数图象最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y＝x,x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)＝M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值. 例1　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值. 解　作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图象可知,当x＝±1时,f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时,f(x)取最小值为f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. 反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练1　已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值. 解　作出函数f(x)的图象如图所示. 由图象可知,当x＝2时,f(x)取最大值为2； 当x＝时,f(x)取最小值为－.所以f(x)的最大值为2,最小值为－. 二、直观感知函数的单调性 问题3　观察下面三个函数图象,他们的图象有什么变化规律？ 提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象从左向右看在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象从左向右看在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的. 问题4　如何理解函数图象是上升的？ 提示　按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大. 知识梳理 1.函数的单调性 2.单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y＝f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D,也可以是定义域的真子集,即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性,即x1,x2∈I. (3)任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性,即要规定x1,x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1,x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. 例2　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3,x∈R.根据图象写出它的单调区间. 解　f(x)＝x2－4|x|＋3 ＝ 函数图象如图所示. 由图象可知,函数的单调递增区间为[－2,0),[2,＋∞),单调递减区间为(－∞,－2),[0,2). 反思感悟　(1)求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 跟踪训练2　画出函数y＝|x|(x－2)的图象,并指出函数的单调区间. 解　y＝|x|(x－2)＝ 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知,函数的单调递增区间为(－∞,0]和[1,＋∞),单调递减区间为(0,1). 三、利用定义证明函数的单调性 例3　(课本例1)已知函数f(x)＝3x＋b(x∈R)，判断该函数的单调性. 解　设x1和x2是定义域R上任意两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝(3x2＋b)－(3x1＋b) ＝3(x2－x1)>0. 于是f(x2)>f(x1). 由函数单调性的定义可知，函数f(x)是R上的增函数. 例3　证明函数f(x)＝在区间(2,＋∞)上单调递减. 证明　∀x1,x2∈(2,＋∞),且x1<x2, f(x1)－f(x2)＝ ＝. 因为2<x1<x2, 所以x2－x1>0,x1＋x2>0>4>4, 所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)＝在(2,＋∞)上单调递减. 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号,当符号不确定时,进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 跟踪训练3　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞,0)上单调递增. 证明　∀x1,x2∈(－∞,0),且x1<x2, 因为f(x1)－f(x2)＝－－1－ ＝ 由题设可得,x1－x2<0,x1x2>0, 所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)＝－－1在区间(－∞,0)上单调递增. 四、函数单调性的简单应用 例4　(1)(课本例3)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,4)上单调递减,求实数a的取值范围. 解　因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a,且开口向上,所以函数f(x)在区间(－∞,1－a]上单调递减. 又已知该函数在区间(－∞,4)上单调递减,则1－a≥4,即a≤－3. 故实数a的取值范围为(－∞,－3]. 例4　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞,－4] 解析　函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间为(－∞,－a－1], 由f(x)在(－∞,3]上单调递增知3≤－a－1, 解得a≤－4,即实数a的取值范围为(－∞,－4]. (2)已知函数y＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x－3)>f(5x－6),则实数x的取值范围为　　　　.  答案　(－∞,1) 解析　∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数, 且f(2x－3)>f(5x－6), ∴2x－3>5x－6,即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞,1). (3)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　A 解析　因为f(x)是定义在R上的减函数, 所以 解得≤a<. 延伸探究 1　在本例(1)中,若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞,3],则实数a的值为　　　　.  答案　－4 解析　函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞,－a－1], 由题意得－a－1＝3,a＝－4. 延伸探究 2　若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x的取值范围. 解　由题意可知解得x> ∴x的取值范围为. 延伸探究 3　若本例(3)改为函数f(x)＝(t>0)是增函数,则实数t的取值范围是(　　) A.{1} B.(0,＋∞) C.(1,＋∞) D.[1,＋∞) 答案　D 解析　因为f(x)＝(t>0)是增函数, 所以所以t≥1. 反思感悟　由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件； 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性； 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合,探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时,若要解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时要注意函数的定义域. 1.知识清单： (1)函数的最值. (2)增函数、减函数的定义. (3)函数的单调区间. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用并集. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共6分 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则函数f(x)的最小值、最大值分别是(　　) A.f(－2),0 B.0,2 C.f(－2),2 D.f(2),2 答案　C 解析　由图象可知,函数f(x)的最小值是f(－2),最大值是2. 2.已知函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,则对实数a>0,b>0,“a>b”是“f(a)>f(b)”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　因为函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且a>0,b>0, 由增函数的定义可知,当a>b时,有f(a)>f(b), 充分性成立；当f(a)>f(b)时,若a＝b,由函数定义可知矛盾, 若a<b,由函数单调性的定义可知矛盾,则a>b,必要性成立. 即对实数a>0,b>0,“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 3.函数f(x)＝|x|,g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是(　　) A.(－∞,0],(－∞,1] B.(－∞,0],(1,＋∞) C.[0,＋∞),(－∞,1] D.[0,＋∞),[1,＋∞) 答案　C 解析　分别作出f(x)与g(x)的图象(图略),得f(x)在[0,＋∞)上单调递增,g(x)在(－∞,1]上单调递增. 4.已知定义域为R的函数f(x)在(4,＋∞)上单调递减,且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4,则(　　) A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6) 答案　D 解析　∵f(x)关于x＝4对称且在(4,＋∞)上单调递减, ∴f(x)在(－∞,4)上单调递增,且f(5)＝f(3),f(6)＝f(2),∴f(3)>f(2)＝f(6). 5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞,5]上具有单调性,则实数k的取值范围是(　　) A.(－24,40) B.[－24,40] C.(－∞,－24] D.[40,＋∞) 答案　D 解析　∵函数f(x)＝4x2－kx－8的图象的对称轴方程为x＝且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞,5]上具有单调性, ∴根据二次函数的性质可知≥5,解得k≥40,则k的取值范围为[40,＋∞). 6.(多选)下列函数中,满足“∀x1,x2∈(－∞,0),都有>0”的有(　　) A.f(x)＝－ B.f(x)＝x C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x 答案　ABC 解析　由题意知,所求函数需满足在(－∞,0)上单调递增,由函数的图象知f(x)＝－f(x)＝x,f(x)＝－x2 在(－∞,0)上单调递增,故ABC满足题意. 7.(5分)函数y＝|x2－2x－3|在x∈[－1,3]上的最大值为　　　　.  答案　4 解析　y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|, 作出该函数的图象,如图所示. 由图象可知, 当x＝1时,ymax＝|－4|＝4. 8.(5分)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数,且f(1－a)<f(2a－1),则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由题意知解得0<a<即所求a的取值范围是. 9.(10分)画出下列函数的图象,并写出它的单调区间. (1)f(x)＝|x＋2|；(5分) (2)f(x)＝|x2－3x＋2|.(5分) 解　(1)函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为[－2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,－2). (2)函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为和[2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,1)和. 10.(12分)已知函数f(x)＝证明：函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递减. 证明　任取x1,x2∈(－1,＋∞),且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝ ＝. ∵x2>x1>－1, ∴x2－x1>0,(x1＋1)(x2＋1)>0, 因此f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递减. 11.已知函数f(x)＝在(－∞,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞,－2] B.[－2,0) C.[－3,0) D.[－3,－2] 答案　D 解析　由于函数f(x)＝在(－∞,＋∞)上是增函数, 因此函数h(x)＝－x2－ax－5在区间(－∞,1]上单调递增, g(x)＝在区间(1,＋∞)上单调递增, 且g(1)≥h(1),即 解得－3≤a≤－2,即实数a的取值范围是[－3,－2]. 12.函数y＝1－的单调递增区间是(　　) A. B.(－∞,3] C. D.[3,＋∞) 答案　C 解析　由－x2＋6x≥0,解得0≤x≤6, 所以函数y＝1－的定义域为 令t＝－x2＋6x,其图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为x＝－＝3, 该函数在上单调递减, 则函数y＝1－的单调递增区间是. 13.(5分)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1,＋∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　[－3,0] 解析　①当a＝0时,f(x)＝－3x＋1在R上单调递减,满足条件； ②当a≠0时,f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1, 对称轴为x＝－ ∴ 解得－3≤a<0. 由①②得－3≤a≤0,故a的取值范围是[－3,0]. 14.(5分)已知f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,且f ＝f(x)－f(y),f(2)＝1,如果x满足f(x)－f ≤2,则x的取值范围为　　　　　.  答案　(3,4] 解析　在f ＝f(x)－f(y)中, 令x＝4,y＝2,则f(2)＝f(4)－f(2),则f(4)＝2, 由f(x)－f ≤2可得,f(x(x－3))≤f(4), 因为f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数, 所以解得3<x≤4. 则x的取值范围为(3,4]. 15.(5分)已知函数y＝f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.若f(x2－2)＋f(x)<0,则x的取值范围为　　　　　　.  答案　(－∞,－2)∪(1,＋∞) 解析　设x1<x2,则x2－x1>0, 当x>0时,f(x)<0恒成立,则f(x2－x1)<0, ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴函数y＝f(x)是R上的减函数. 易知f(0)＝2f(0),则f(0)＝0. f(x2－2)＋f(x)<0⇔f(x2－2＋x)<f(0), ∴x2＋x－2>0,解得x>1或x<－2, 故x的取值范围是(－∞,－2)∪(1,＋∞). 16.(12分)已知f(x)满足f ＝x. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)解不等式f(1－x2)<f(－1－|x|).(7分) 解　(1)令t＝＝2＋≠2,则x＝ 则f(t)＝所以f(x)＝x≠2. (2)因为1－x2≤1,－1－|x|≤－1, f(x)＝＝2＋在(－∞,2)上单调递减, 若f(1－x2)<f(－1－|x|),则1－x2>－1－|x|,即x2－|x|－2<0, 则或解得0≤x<2或－2<x<0, 所以不等式f(1－x2)<f(－1－|x|)的解集为(－2,2). 学科网（北京）股份有限公司 $