专题3.2.2 函数的奇偶性（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题3.2.2 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数奇偶性的概念，能准确判断简单函数的奇偶性. 2.掌握奇函数、偶函数图象的特征，能利用函数图象的对称性解决相关问题. 3.经历从函数图象的对称性到函数奇偶性定义的抽象过程，提升观察、分析、抽象概括的能力. 4.通过对函数奇偶性的探究，体会数形结合、特殊到一般的数学思想方法. 教学重难点 1、重点：函数奇偶性的概念及其判断方法． 2、难点：（1）对函数奇偶性定义中 “一切” 一词的理解，以及如何从图象的对称性过渡到代数定义. （2）复杂函数（如含有绝对值、分段函数等）奇偶性的判断． 知识点01 奇函数、偶函数的概念 1、偶函数的概念 如果对于一切使f(x)由定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝f(x)成立，则称f(x)为偶函数. 2、奇函数的概念 如果对于一切使f(x)由定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝－f(x)成立，则称f(x)为奇函数. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 知识点02 奇函数、偶函数图象的对称性 1.偶函数的图象关于y轴对称 2.奇函数的图象关于原点对称 【即学即练】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可. 【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B 题型01 应用定义判断函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 【变式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 题型02 利用奇偶性求函数值 【典例2】（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 【变式2-1】（22-23高一上·广东广州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义与性质运算求解. 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，则，且， ∴. 故选：D. 【变式2-2】（21-22高一上·广东深圳·期中）已知,且,那么等于(    ) A．16 B．－16 C．－24 D．－32 【答案】D 【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解 【详解】设,则 所以 因为 所以 所以,即 故选：D 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 题型03 利用奇偶性求函数解析式 【典例3】（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 题型04 利用奇偶性辨识函数图象 【典例4】（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 【变式4-1】（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 【变式4-2】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 【变式4-3】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 题型05 根据根据函数奇偶性求参数 【典例5】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 【变式5-1】（19-20高一·湖北荆门·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则实数值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即可求得实数值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，即， 化简得. 故选：. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 【变式5-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知函数为偶函数，求的值． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的性质可得，进行求解即可． 【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则有， 即，即，即，所以，解得； 题型06 抽象函数的奇偶性 【典例6】（多选）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过赋值法结合偶函数定义判断各选项即可. 【详解】对于A，令，由得： ，故或者故A错误； 对于B，令则由得： 又时， 令，则可得，则，故B正确； 对于C，当时，令，则， 则，故，所以函数是偶函数， 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 综上可知，函数是偶函数，故C正确； 对于D，若，令，得， 令，则， ，则， ，则， ，则， ，则，      ，则， ，则， 故，故D正确. 故选：BCD. 【变式6-1】（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 【变式6-2】（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式6-3】（2023·江西南昌·模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数， 的图象关于点成中心对称，， 图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数， 的图象关于直线成轴对称， 由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为， 对称中心关于直线成轴对称的点为，即. 故选：A. 题型07 结合单调性比较大小 【典例7】（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 【变式7-1】（15-16高一上·广东·期中）设偶函数的定义域为，当时函数是减函数，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据偶函数，所以，因为，所以，即，故选B． 【变式7-2】（19-20高一上·河北唐山·阶段练习）若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴f（4）＜f（3）＜f（2）， 即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2）， 故选：C． 【变式7-3】（19-20高三上·湖南郴州·阶段练习）定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数为偶函数且在单调递减，将所求函数值转化成的函数值进行比较即可. 【详解】由题：对任意， 任取，因为，则， 即，所以函数在单调递减 函数是定义域为的偶函数，所以， ，所以 故选：A 题型08 结合单调性解不等式 【典例8】（22-23高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 【变式8-2】（（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 【变式8-3】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 题型09 函数图象对称性的应用 【典例9】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 【变式9-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数是定义在上的奇函数，且点在函数的图象上，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数图象关于原点中心对称求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点中心对称， 因为点在函数的图象上， 故必在函数的图象上． 故选：D 【变式9-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义可知区间应关于原点对称，从而可求出a的值，再根据函数图象即可得到其增区间． 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 【变式9-3】（13-14高一上·浙江温州·期中）定义域为的函数满足以下条件: ①； ② ； ③. 则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由条件①可得函数f(x)为(0,+∞)上的增函数， 由②可得函数为奇函数， 再由③可得函数的图象过点(−3,0)、(3,0)， 故由不等式x⋅f(x)<0可得： 当x>0时,f(x)<0； 当x<0时,f(x)>0. 结合函数f(x)的简图可得不等式的解集为， 故选D. 题型10 奇偶性、单调性综合问题 【典例10】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】利用函数的定义域、对勾函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数， 即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号， 故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误. 故选：C 【变式10-2】（多选）（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数的图象经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 【变式10-3】（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】现求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【详解】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 5．（2025高一上·安徽·专题练习）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，设，则是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，上递增 D．在上单调递增，上递减 【答案】B 【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性. 【详解】的定义域为，   因为，则， 所以为奇函数. 又，则也是奇函数. 由，可得图象如图所示：    所以函数在上单调递增. 故选：B 7．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系. 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由偶函数及在上是减函数，即可判断各项的正误. 【详解】为偶函数，且在上是减函数， 有，即，选项A正确； 有，即，选项B错误； 有，选项C错误； 有，选项D正确； 故选：AD 10．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 【答案】BD 【分析】对于选项A：将点代入函数中解出即可；对于选项B：利用函数的奇偶性验证即可; 对于选项C：结合对勾函数的单调性即可判断；对于选项D：借助基本不等式求解即可. 【详解】对于选项A：将点代入，可得，解得，故选项A错误； 对于选项B：由选项A得，其定义域为， 则关于原点对称，且，故是奇函数，故选项B正确； 对于选项C：由对勾函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，故选项C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最大值为，故选项D正确． 故选：BD. 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用函数单调性和奇偶性的定义判断CD即可. 【详解】令，得，解得正确； 令，得1，即，解得，B错误； 令，且，则， 因为当时，，所以，即，所以在单调递增，C正确； 令，则，由B项知1，则，故是偶函数，D正确； 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的函数性质，结合二次函数的相关性质写出一个符合要求的函数解析式即可. 【详解】考虑为偶函数的二次函数，设，， 因为在上单调递增，则，故，解得， 所以时满足题意，取，则. 故答案为：（答案不唯一） 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【答案】/-6.5 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的替换为，得到另一个方程，联立解出和，再代入计算的值. 【详解】因为①，所以②， ①+②得，，所以，则，所以， 所以． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【详解】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 17．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.2 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数奇偶性的概念，能准确判断简单函数的奇偶性. 2.掌握奇函数、偶函数图象的特征，能利用函数图象的对称性解决相关问题. 3.经历从函数图象的对称性到函数奇偶性定义的抽象过程，提升观察、分析、抽象概括的能力. 4.通过对函数奇偶性的探究，体会数形结合、特殊到一般的数学思想方法. 教学重难点 1、重点：函数奇偶性的概念及其判断方法． 2、难点：（1）对函数奇偶性定义中 “一切” 一词的理解，以及如何从图象的对称性过渡到代数定义. （2）复杂函数（如含有绝对值、分段函数等）奇偶性的判断． 知识点01 奇函数、偶函数的概念 1、偶函数的概念 如果对于一切使f(x)由定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝f(x)成立，则称f(x)为偶函数. 2、奇函数的概念 如果对于一切使f(x)由定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝－f(x)成立，则称f(x)为奇函数. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 知识点02 奇函数、偶函数图象的对称性 1.偶函数的图象关于y轴对称 2.奇函数的图象关于原点对称 【即学即练】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型01 应用定义判断函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【变式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 题型02 利用奇偶性求函数值 【典例2】（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【变式2-1】（22-23高一上·广东广州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22高一上·广东深圳·期中）已知,且,那么等于(    ) A．16 B．－16 C．－24 D．－32 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 题型03 利用奇偶性求函数解析式 【典例3】（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 题型04 利用奇偶性辨识函数图象 【典例4】（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-2】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 题型05 根据根据函数奇偶性求参数 【典例5】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【变式5-1】（19-20高一·湖北荆门·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则实数值为 A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【变式5-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知函数为偶函数，求的值． 题型06 抽象函数的奇偶性 【典例6】（多选）（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【变式6-1】（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式6-3】（2023·江西南昌·模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 题型07 结合单调性比较大小 【典例7】（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（15-16高一上·广东·期中）设偶函数的定义域为，当时函数是减函数，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 【变式7-2】（19-20高一上·河北唐山·阶段练习）若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（19-20高三上·湖南郴州·阶段练习）定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 题型08 结合单调性解不等式 【典例8】（22-23高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型09 函数图象对称性的应用 【典例9】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【变式9-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数是定义在上的奇函数，且点在函数的图象上，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【变式9-3】（13-14高一上·浙江温州·期中）定义域为的函数满足以下条件: ①； ② ； ③. 则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 题型10 奇偶性、单调性综合问题 【典例10】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数，下面有关结论错误的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【变式10-2】（多选）（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数的图象经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 【变式10-3】（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一上·安徽·专题练习）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，设，则是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减，上递增 D．在上单调递增，上递减 7．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 三、填空题 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 13．（2025高三·全国·专题练习）写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 17．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $