第2章 2.3.1 第1课时 一元二次不等式及其解法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦一元二次不等式及其解法，从初中一次函数、方程与不等式的联系切入，通过问题情境抽象定义，借助二次函数图象分Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况讲解解法，再延伸至含参数不等式的分类讨论，构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动学习，如问题1引导抽象定义培养数学眼光，例3及延伸探究通过参数讨论发展数学思维，配套课时对点练强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

2.3.1　一元二次不等式及其解法 第1课时　一元二次不等式及其解法 学习目标　1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.2.借助二次函数图象求解一元二次不等式. 导语 初中的时候,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,那么这种联系能否推广到二次函数、一元二次方程和一元二次不等式呢？下面,我们先看看一元二次不等式的形式. 一、一元二次不等式的定义 问题1　给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)－x2＋2x≥0；(4)2x2＋x＋5<0. 以上四个不等式中,每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示　含有一个未知数,未知数的最高次数是2. 知识梳理 一般地，形如ax2+bx+c≤0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“≥”“>”“<”等. 例1　下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A.ax2＋2x＋1>0 B.x2－y>0 C.－x2－3x<0 D.>0 答案　C 解析　由一元二次不等式定义可知,C正确. 反思感悟　一元二次不等式是只含一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式,但需要注意,二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母,且已经指定了未知数,可将其余字母看成相应的系数,若该未知数的最高次数是2,且二次项的系数不为0,这样的不等式也是一元二次不等式. 跟踪训练1　若把ab≠0,a2b＋2ab2＋9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　　.  答案　b 解析　由ab≠0知,b≠0且a≠0, a2b＋2ab2＋9>0可化为ba2＋2b2a＋9>0, 故a的二次项系数为b. 二、一元二次不等式的解法 问题2　作出二次函数y＝x2－12x＋20的图象(图略),其图象与x轴有两个交点,你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？ 提示　从图象上看,位于x轴上方的图象使得函数值大于零,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集. 例2　(1)(课本例1) 解不等式2x2-x-3≥0. 解　由于方程2x2-x-3=0有两个不相等的实数根x1=-1，x2=， 则函数y=2x2-x-3的图象与x轴有两个交点(-1，0)，，如图所示. 由图象得不等式2x2-x-3≥0的解集为. (2)(课本例2)解不等式4x2－4x＋1>0. 解　解不等式4x2-4x+1>0. 解　由于方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=， 则函数y=4x2-4x+1的图象与x轴仅有一个交点，如图所示. 由图象得不等式4x2-4x+1>0的解集为. (3)(课本例3) 解不等式-x2+4x-5>0. 解　方法一　在不等式两端同时乘以-1，可得x2-4x+5<0. 对于方程x2-4x+5=0，因为Δ=(-4)2-4×1×5<0，所以方程没有实数根， 于是函数y=x2-4x+5的图象与x轴没有交点，如图所示. 由图象得不等式x2-4x+5<0的解集为∅， 即不等式-x2+4x-5>0的解集为∅. 方法二　对于方程-x2+4x-5=0，因为Δ=42-4×(-1)×(-5)<0，所以方程没有实数根， 于是函数y=-x2+4x-5的图象与x轴没有交点，如图所示. 由图象得不等式-x2+4x-5>0的解集为∅. 例2　解下列不等式： (1)x2－2x－3>0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)－2x2＋x－6<0. 解　(1)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0),如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0,即(x－3)2≤0,函数y＝(x－3)2的图象如图所示, 根据图象可得,原不等式的解集为{x|x＝3}. (3)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0,所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).观察图象可得,原不等式的解集为R. (1)题图　　 　(2)题图　　　　(3)题图 反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正； (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式； (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根； (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 跟踪训练2　解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0. 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两个根为x1＝－1,x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两个根为x1＝2,x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}. 三、含参数的一元二次不等式的解法 例3　求[x－(a－1)][x－(a＋3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x－(a－1)][x－(a＋3)]＝0的两根为x1＝a－1,x2＝a＋3,且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a－1或x>a＋3}. 延伸探究1　若将例3中的不等式改成[x＋(a－1)][x－(a＋3)]>0(a∈R), 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程[x＋(a－1)][x－(a＋3)]＝0的两根为x1＝1－a,x2＝a＋3, (1)当1－a>a＋3,即a<－1时, 不等式的解集为{x|x>1－a或x<a＋3}. (2)当1－a＝a＋3,即a＝－1时, 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1－a<a＋3,即a>－1时, 不等式的解集为{x|x>a＋3或x<1－a}. 显然,由于x1与 x2的大小关系不确定,我们需要比较两个根的大小来确定解集,过程变复杂了. 延伸探究2　若将延伸探究1中的不等式改成(ax－2)(x＋1)>0(a>0), 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝x2＝－1, 因为a>0,所以>－1, 故不等式的解集为. 由于x1与x2的大小关系能确定,过程变简单了. 延伸探究3　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”, 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝x2＝－1, 当a<0时,x1＝x2＝－1的大小关系不确定,需要讨论比较其大小,分3种情况： (1)当－1<<0,即a<－2时, 解得－1<x<； (2)当＝－1,即a＝－2时,无解； (3)当<－1,即－2<a<0时,解得<x<－1. 综上所述,当－2<a<0时,不等式的解集为； 当a＝－2时,不等式的解集为∅； 当a<－2时,不等式的解集为. 显然,由于x1与 x2的大小关系不确定,我们需要比较两个根的大小来确定解集,过程变复杂了. 延伸探究4　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”,该如何求解呢？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝x2＝－1, 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0,则>－1, 故不等式的解集为. (2)若a<0, ①当－1<<0,即a<－2时,解得－1<x<； ②当＝－1,即a＝－2时,无解； ③当<－1,即－2<a<0时,解得<x<－1. 综上所述, 当a>0时,不等式的解集为； 当－2<a<0时,不等式的解集为； 当a＝－2时,不等式的解集为∅； 当a<－2时,不等式的解集为. 延伸探究5　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”,与延伸探究4相比,有什么变化？ 解　不等式中,二次项系数为a,因为a∈R,所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a＝0的情况. 当a＝0时,原不等式化为－2(x＋1)>0,则不等式的解集为{x|x<－1}. 反思感悟　在解含参数的一元二次型的不等式时,常从如下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<0,a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ＝0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2,x1＝x2,x1<x2. 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参数的一元二次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　) A.x2>0 B.－x2－x≤5 C.mx2－5y<0 D.ax2＋bx＋c>0 答案　AB 解析　根据一元二次不等式的定义,只有AB满足. 2.已知p：x2＋2x－3<0,q：x2＋x－2<0,则p是q的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由p：x2＋2x－3<0,得－3<x<1, 由q：x2＋x－2<0,得－2<x<1, 则p是q的必要而不充分条件. 3.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C.∅ D. 答案　D 解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0, 令3x＋1＝0,解得x＝－. 故不等式的解集为. 4.不等式>0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 5.设m＋n>0,则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－n<x<m} C.{x|x<－m或x>n} D.{x|－m<x<n} 答案　B 解析　方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m,－n, 因为m＋n>0,所以m>－n, 结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略), 得不等式的解集是{x|－n<x<m}. 6.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2},则必有a>0 B.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R的充要条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下,则关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 答案　ACD 解析　由一元二次不等式的求解过程可知,A,D正确； 对于B,当方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根时,若a>0,则ax2＋bx＋c>0的解集为R,若a<0,则ax2＋bx＋c>0的解集为∅,B错误； 对于C,要使ax2＋bx＋c≤0(a≠0)的解集为R,则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下,与x轴至多有一个交点,即反之亦然,C正确. 7.(5分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是　　　　　　　　.  答案　{x|x<－2或x>3} 解析　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图,如图. 由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}. 8.(5分)若a<0,则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为　　　　　　　　.  答案　 解析　因为a<0,所以原不等式等价于(x＋1)·>0,方程(x＋1)＝0的两根为－1,－显然－>0>－1,所以原不等式的解集为. 9.(10分)解不等式： (1)x2＋x－6≤0；(3分) (2)6－2x2－x<0；(3分) (3)3x2－4x＋2<0.(4分) 解　(1)原不等式等价于(x＋3)(x－2)≤0, 解得－3≤x≤2, 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于2x2＋x－6>0, 即(2x－3)(x＋2)>0, 解得x<－2或x> 所以原不等式的解集为. (3)对于方程3x2－4x＋2＝0, 因为Δ＝(－4)2－4×3×2＝－8<0, 所以原不等式的解集为∅. 10.(10分)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0. (1)当a＝2时,解上述不等式；(4分) (2)当a∈R时,解上述关于x的不等式.(6分) 解　(1)当a＝2时,x2－(a＋1)x＋a<0⇔x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0,解得1<x<2. 则不等式的解集为{x|1<x<2}. (2)注意到x2－(a＋1)x＋a<0 ⇔(x－a)(x－1)<0, ①当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a}； ②当a＝1时,不等式的解集为∅； ③当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1}. 11.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|－2<x<1} C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1<x<2} 答案　B 解析　根据给出的定义得, x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2) ＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1), 又x⊙(x－2)<0,即(x＋2)(x－1)<0, 故实数x的取值范围为{x|－2<x<1}. 12.已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2－3x－4≤0成立的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≤－4或m≥4} B.{m|m<－4或m>4} C.{m|－4<m<4} D.{m|－4≤m≤4} 答案　B 解析　对于p,不等式(x－m)2>3(x－m)即(x－m)[x－(m＋3)]>0, 则不等式的解集为P＝{x|x<m或x>m＋3}； 又q：x2－3x－4≤0, 则不等式的解集为Q＝{x|－1≤x≤4}, 又已知p是q成立的必要而不充分条件, 则Q是P的真子集, 所以m>4或m＋3<－1,即m>4或m<－4, 故实数m的取值范围为{m|m<－4或m>4}. 13.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0,其中a<0,则该不等式的解集可能是(　　) A.∅ B. C. D. 答案　ABD 解析　不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0, 又a<0,所以(x－2)<0, 当a＝－时,不等式的解集为∅； 当a<－时,解得－<x<2,不等式的解集为； 当－<a<0时,解得2<x<－不等式的解集为 因此该不等式的解集可能为ABD. 14.(5分)若关于x的不等式x2－mx<0恰有一个整数解1,则m的取值范围为　　　　.  答案　1<m≤2 解析　由x2－mx<0可知x(x－m)<0, ∵x2－mx<0恰有一个整数解1, ∴0<x<m中只有一个整数解1, ∴1<m≤2. 15.(5分)已知关于x的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解,则k的取值范围为　　　　　　.  答案　{k|－6≤k<2或3<k≤4} 解析　由x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)>0,得x<－1或x>5, 所以2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(2x＋5)(x＋k)<0的解集与{x|x<－1或x>5}的交集中存在整数解,且只有一个整数解. 当k<时,2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为此时－2<－k≤6,即－6≤k<2,满足要求； 当k＝时,2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅,此时不满足题设； 当k>时,2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为此时－4≤－k<－3,即3<k≤4,满足要求. 综上,k的取值范围为{k|－6≤k<2或3<k≤4}. 16.(12分)解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 解　因为Δ＝4a2－8,所以当Δ<0,即－<a<时,原不等式对应的方程无实根,又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上, 所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0,即a＝±时,原不等式对应的方程有两个相等实根, 当a＝时,原不等式的解集为{x|x＝}, 当a＝－时,原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ>0,即a>或a<－时,原不等式对应的方程有两个不等实根,分别为x1＝a－x2＝a＋且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}. 综上所述,当－<a<时,原不等式的解集为∅； 当a＝时,原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时,原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a>或a<－时,原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}. 学科网（北京）股份有限公司 $