第2章 周末练5 范围：§2.2～§2.3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式，从基础解法到综合应用，题型覆盖选择填空解答，注重逻辑推理与实际应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|2(1,2题)|直接求解与参数判定|从平方不等式、分式不等式切入，强化因式分解与解集转化| |概念辨析|2(3,7题)|充分条件与系数关系|结合集合与二次函数图象，构建条件判断与系数特征的关联| |综合应用|2(4,12题)|解集反推与恒成立|通过解集确定函数图象，延伸含参数二次函数恒成立的分类讨论| |实际应用|2(6,14题)|税收与工资调整模型|将不等式融入实际问题，培养数学建模与数据分析能力|

周末练5　范围：§2.2~§2.3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.不等式16x2－8x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C.∅ D. 答案　D 解析　原不等式可化为(4x－1)2≤0, 故不等式的解集为. 2.已知A＝若2∈A,则m的取值范围是(　　) A.－≤m< B.－≤m≤ C.m≤－或m> D.m≤－或m≥ 答案　A 解析　因为2∈A,所以≤0,等价于 解得－≤m<. 3.设a∈R,则“2<a<3”是“(a＋1)(a－6)<0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由(a＋1)(a－6)<0,得－1<a<6, 因为{a|2<a<3}是{a|－1<a<6}的真子集, 所以“2<a<3”是“(a＋1)(a－6)<0”的充分而不必要条件. 4.不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1},则函数y＝ax2－bx＋c的图象大致为(　　) 答案　A 解析　因为ax2－bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}, 所以方程ax2－bx＋c＝0的两根分别为－2和1,且a<0, 则 变形可得 故函数y＝ax2－bx＋c＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)的图象开口向下, 且与x轴的交点坐标为(1,0)和(－2,0),故A选项的图象符合. 5.已知集合A＝B＝{x|x2－3x<0},则A∪B等于(　　) A.{x|x≤2或x≥3} B.{x|－2<x<3} C.{x|0<x≤2} D.{x|x≤－2或x≥3} 答案　B 解析　≤0,则(x－2)(x＋2)≤0,且x＋2≠0,解得－2<x≤2, 则集合A＝{x|－2<x≤2},B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}, 则A∪B＝{x|－2<x<3}. 6.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2 400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是(　　) A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6} 答案　B 解析　设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元, 则y＝2 400×t%＝60(8t－t2), 令y≥900,即60(8t－t2)≥900,解得3≤t≤5. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.设a,b,c为实数,不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.ab<0 C.ac>0 D.a∶b∶c＝1∶(－4)∶3 答案　BCD 解析　设a,b,c为实数,不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}, ∴a>0,1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根, ∴ ∴b＝－4a<0,c＝3a>0, ∴ab<0,ac>0,a∶b∶c＝1∶(－4)∶3. 8.若“>0”是“k<x<k＋2”的必要而不充分条件,则实数k可以是(　　) A.－8 B.－4 C.0 D.4 答案　AD 解析　由不等式>0,可得x<－4或x>1, 因为>0是k<x<k＋2的必要而不充分条件,可得k＋2≤－4或k≥1, 解得k≤－6或k≥1,即实数k的取值范围为{k|k≤－6或k≥1}, 结合选项,可得A,D符合题意. 9.下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立,则a的取值范围是∅ D.若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是{x|q<x<1},则p＋q的值为－ 答案　CD 解析　对于A,4x2－5x＋1>0⇔(x－1)(4x－1)>0⇔x<或x>1,故A错误； 对于B,2x2－x－6≤0⇔(x－2)(2x＋3)≤0⇔－≤x≤2,故B错误； 若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立, 当a＝0时,21<0是不可能成立的, 所以只能而该不等式组无解,故C正确； 对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两个根, 从而解得 而当p＝1,q＝－时,一元二次不等式 2x2＋x－3<0⇔(x－1)(2x＋3)<0⇔－<x<1,满足题意, 所以p＋q的值为－故D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.若关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集为{x|x≠1},则ab的值为　　　　.  答案　1 解析　由一元二次不等式的解集知, 方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0有相等的实数根1, 所以解得ab＝1. 11.已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－3},则关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为　　　　.  答案　{x|－3<x<0} 解析　由ax＋b>0的解集为{x|x>－3}, 可得a>0,且方程ax＋b＝0的解为－3, 所以－3a＋b＝0,则b＝3a, 所以ax2＋bx＝a(x2＋3x)<0⇒x2＋3x<0 ⇒－3<x<0, 即关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为{x|－3<x<0}. 12.★★已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　1≤m<19 解析　由题意得∀x∈R,(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3>0恒成立. 令m2＋4m－5＝0,解得m1＝1,m2＝－5. 当m＝1时,3>0对∀x∈R恒成立,符合题意； 当m＝－5时,24x＋3>0,其解集不是R,不符合题意； 当m≠1且m≠－5时,则有 解得1<m<19. 综上所述,实数m的取值范围是1≤m<19. 四、解答题(共27分) 13.★★(13分)已知关于x的不等式ax2＋5x－2a＋1<0的解集是M. (1)若－3∈M,求实数a的取值范围；(5分) (2)若M＝求实数a,m的值.(8分) 解　(1)－3∈M等价于原不等式对x＝－3成立, 即9a－15－2a＋1<0. 解得a<2,所以a的取值范围是{a|a<2}. (2)M＝意味着a>0,且ax2＋5x－2a＋1＝a(x－m). 展开并比较系数可知 故a＝a＝1. 而a>0,故m2＋m＋2＝－m－>0, 从而解得m＝－3,进而得到a＝＝2. 经验证,当a＝2,m＝－3时满足条件, 所以a＝2,m＝－3. 14.(14分)某无人机企业原有200名科技人员,年人均工资a万元(a>0),现加大对无人机研发的投入,该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员x名(x∈N且50≤x≤100),调整后研发人员的年人均工资增加(2x)%,技术人员的年人均工资调整为a万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,求调整后的研发人员的人数最少为多少人；(6分) (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性,企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,始终满足以上两个条件,若存在,求出m的值或范围；若不存在,说明理由.(8分) 解　(1)依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1＋(2x)%]a万元, 则(200－x)[1＋(2x)%]a≥200a(a>0), 整理得0.02x2－3x≤0,解得0≤x≤150, 因为x∈N且50≤x≤100, 所以50≤x≤100,故100≤200－x≤150, 所以要使这(200－x)名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为100人. (2)由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资, 得(200－x)[1＋(2x)%]a≥xa, 整理得m≤＋3, 由条件②技术人员的年人均工资始终不减少,得a≥a,解得m≥＋1, 假设存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,始终满足以上两个条件, 即＋1≤m≤＋3(50≤x≤100)恒成立, 因为＋3≥2＋3＝11, 当且仅当即x＝50时等号成立,所以m≤11, 又因为50≤x≤100,当x＝100时＋1取得最大值11,所以m≥11, 所以11≤m≤11,即m＝11, 即存在这样的m满足条件,m＝11. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $