专题02 一元二次不等式12种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02一元二次不等式 目录 类型一、一元二次不等式（最高项系数不含参） 类型二、一元二次不等式（最高项系数含参） 类型三、实根分布（方程两根都小于常数） 类型四、实根分布问题（方程两根都大于常数） 类型五、实根分布问题（，其中为常数） 类型六、实根分布问题（，其中,为常数） 类型七、实根分布问题（，其中,为常数） 类型八、实根分布问题（，其中,,,,为常数） 类型九、一元二次不等式的恒成立与能成立问题 压轴专练 类型一、一元二次不等式（最高项系数不含参） 形如：因式分解后得到，讨论时从两根相等开始讨论 ① ② ③ 例1．解下列关于x的不等式． ． 变式1-1．解关于的不等式． 变式1-2．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 变式1-3．解关于的不等式. 类型二、一元二次不等式（最高项系数含参） 形如：因式分解后得到，讨论时从是否为零开始讨论： ① ②转化为类型一 例2、解关于的不等式：． 变式2-1．解关于x的不等式. 变式2-2．解关于x的不等式： 变式2-3．解关于x的不等式． 类型三、实根分布问题（方程两根都小于常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根，等价于： 例3．一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 变式3-1．若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为 . 变式3-2．若关于的方程只有负实根，求实数的取值范围. 类型四、实根分布问题（方程两根都大于常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根，等价于： 例4．已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 变式4-1．如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 类型五、实根分布问题（，其中为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根等价于 例5．已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ． 变式5-1．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围 ． 变式5-2．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 变式5-3．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 类型六、实根分布问题（，其中,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根等价于 例6．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．若方程的两实根均在区间内，求的取值范围 ． 变式6-2已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 类型七、实根分布问题（，其中,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：，方程两根等价于 例7．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 ． 变式7-1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 变式7-2．已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 类型八、实根分布问题（，其中,,,,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：，方程两根，等价于 例8．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)一个根在内，另一个根在内； 变式8-1．关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； 变式8-2．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)一个根在内，另一个根在内； 类型九、一元二次不等式的恒成立与能成立问题 ①判别法 ②实根分布法 ③变量分离法 例9．已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 变式9-1．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 变式9-3．若对，使得成立，则实数的取值范围为 ． 轴专练 1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 4．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 7．已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 8．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 9．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 10．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 11．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 12．求下列关于的不等式（组）的解集. (1) 13．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 14．（1）已知，证明不等式 （2）解关于的不等式. 15．已知不等式的解集为 (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 16．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 17．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 18．已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次不等式 目录 类型一、一元二次不等式（最高项系数不含参） 类型二、一元二次不等式（最高项系数含参） 类型三、实根分布（方程两根都小于常数） 类型四、实根分布问题（方程两根都大于常数） 类型五、实根分布问题（，其中为常数） 类型六、实根分布问题（，其中,为常数） 类型七、实根分布问题（，其中,为常数） 类型八、实根分布问题（，其中,,,,为常数） 类型九、一元二次不等式的恒成立与能成立问题 压轴专练 类型一、一元二次不等式（最高项系数不含参） 形如：因式分解后得到，讨论时从两根相等开始讨论 ① ② ③ 例1．解下列关于x的不等式． ． 【详解】， 等价于， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 变式1-1．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 变式1-2．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 变式1-3．解关于的不等式. 【详解】由题意，， ， 的根为， 故：①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 类型二、一元二次不等式（最高项系数含参） 形如：因式分解后得到，讨论时从是否为零开始讨论： ① ②转化为类型一 例2、解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 变式2-1．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 变式2-2．解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 变式2-3．解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 类型三、实根分布问题（方程两根都小于常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根，等价于： 例3．一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个负根可相等或不相等，可得；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】设的两个负根为 则，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求解参数范围问题，关键是能够根据根的分布得到判别式、两根之和与两根之积的不等式，属于常考题型. 变式3-1．若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理与判别式求解即可． 【详解】首先，设方程的两根为，则， 所以，，又，解得或． 故答案为：或． 变式3-2．若关于的方程只有负实根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由关于的方程只有负实根，用分类讨论的思想分别研究和两种情况，即可得出结果. 【详解】因为关于的方程只有负实根， 当时，显然满足题意； 当时，只需，解得， 综上，， 即实数的取值范围为. 类型四、实根分布问题（方程两根都大于常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根，等价于： 例4．已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案. 【详解】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式4-1．如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 变式4-2．方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 类型五、实根分布问题（，其中为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根等价于 例5．已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次方程根的分布知识进行求解即可得到的取值范围，写出符合题意的一个即可． 【详解】令 易知有，或， 即：，或， 解得，或， 的取值范围为， 故答案为：（答案不唯一）. 变式5-1．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质及结合的零点一个零点大于1，另一个零点小于1，可得 【详解】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 变式5-2．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5-3．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件合理构造出，再利用韦达定理得到，求解参数范围即可. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 类型六、实根分布问题（，其中,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：， 方程两根等价于 例6．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 变式6-1．若方程的两实根均在区间内，求的取值范围 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为方程的有两个根，则满足判别式大于等于零，得到，f(x)= ,则f(1)=2,f(-1)=-2k>0, ,解得实数k的范围是．故答案为． 考点：本题主要考查了函数与方程的思想的运用． 点评：解决该试题的关键是理解二次方程中根的分布 的运用，结合图像来得到端点值的函数值的符号，以及判别式和对称轴结合得到结论． 变式6-2已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的根的分布求解. 【详解】设， 由题意知：，即， 解得． ∴实数m的取值范围为． 类型七、实根分布问题（，其中,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：，方程两根等价于 例7．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（，＋∞） 【分析】由一元二次方程根的分布知识求解． 【详解】设， 由题意，解得， 故答案为：． 变式7-1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 变式7-2．已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 类型八、实根分布问题（，其中,,,,为常数） 设（），对应的一元二次方程的两个根分别为：，方程两根，等价于 例8．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1) 【详解】（1）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 变式8-1．关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； 【答案】(1) 【详解】（1）若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. 变式8-2．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1). 【详解】令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 类型九、一元二次不等式的恒成立与能成立问题 ①判别法 ②实根分布法 ③变量分离法 例9．已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 变式9-1．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 变式9-2．若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】当时，借助函数的性质分析即可；当时，由于，故必定是方程的一个正根，代入即可求. 【详解】因为，故原式可等价于恒成立， 由题意当时，因为，则， 由于的图象开口向上，则不恒成立， 当时，由可解得， 由于， 故方程有两个不相等的实数根且异号， 所以必定是方程的一个正根， 则， ，则可解得， 故答案为：. 变式9-3．若对，使得成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值． 【详解】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 故答案为：. 轴专练 1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 2．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 3．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 4．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 6．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 7．已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为： 9．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 10．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 11．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 12．求下列关于的不等式（组）的解集. (1) 【详解】由，分解因式可得（*） ① 当时，由（*），可得，故其解集为； ② 当时，由（*），可得，故其解集为； ③ 当时，由（*），可得 若，即时，不等式解集为； 若即时，不等式解集为； 若即时，不等式解集为. 综上 ，当 时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 13．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 14．（1）已知，证明不等式 （2）解关于的不等式. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）要证，只要证，结合基本不等式求解； （2）先分讨论，时又分考虑，结合图形和两个根的大小关系进行讨论. 【详解】（1）证明：因为，要证，只要证 因为， 所以等号一定成立，， （2）解：当时，不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．已知不等式的解集为 (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知可得方程的2个根为2，3，由韦达定理解得，从而得不等式，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案； （2）分、、、、、讨论解不等式可得答案. 【详解】（1），原不等式等价于恒成立， 且的解集为，故方程的2个根为2，3， 故由韦达定理， 恒成立， 可得恒成立，所以， 解得， ， 故， 不等式有且仅有10个整数解，故， 所以的取值范围为； （2）1､当时，由（1）得时， ， 即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为. 2､当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：恒成立， 解得， ， 该不等式解集为或， 3､当时， ，则无解. 4､当时， ，则. 综上：当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛：本题体现了转化思想及分类讨论思想的应用，考查了含参数二次不等式的应用. 16．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【答案】 【分析】利用判别式大于零且两根之积小于零列不等式组求解即可. 【详解】因为关于x的方程，有一正根一负根， 所以，即，解得． 故所求实数的取值范围为． 17．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 18．已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$