第1章 周末练2 范围：§1.2（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦逻辑用语专项，以量词识别、命题否定、充分必要条件判断为核心，通过定义辨析与集合思想构建系统性解题方法，强化逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |量词与命题|4题（含命题否定解答题）|量词识别（如“至少”表存在）、命题否定规则（全称变存在）|从量词概念生成命题形式，通过否定规则深化对逻辑关系的理解| |充分必要条件|8题（含集合关系应用题）|定义法、集合包含关系判断条件|结合集合思想实现条件关系的转化，形成“概念-判断-应用”的逻辑链条|

周末练2　范围：§1.2 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A.自然数都是正数 B.每个四边形的内角和都是360° C.至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D.所有实数的平方大于0 答案　C 解析　对于A，B，D，均为全称量词命题，对于C，“至少有一个”是存在量词，故C是存在量词命题. 2.已知p：x为有理数，q：x为实数，则p是q的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若x为有理数，则它必为实数，即p⇒q，但x为实数不一定能推出x为有理数，如x＝π，即qp，故p是q的充分而不必要条件. 3.已知命题p：“高一某班男生都爱踢足球”，则命题¬p为(　　) A.高一某班至多有一个男生爱踢足球 B.高一某班至少有一个男生不爱踢足球 C.高一某班所有的男生都不爱踢足球 D.高一某班所有的女生都爱踢足球 答案　B 解析　命题p：“高一某班男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题¬p为“高一某班至少有一个男生不爱踢足球”. 4.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A.x<0，y<0 B.x<0，y>0 C.x>0，y>0 D.x>0，y<0 答案　B 解析　因为第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0. 5.已知下列所给的各组p，q中，p是q的必要而不充分条件的为(　　) A.p：a<0，q：|a|>0 B.p：两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C.p：a＝b，q：a2＝b2 D.p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等 答案　D 解析　|a|>0，解得a>0或a<0，所以a<0⇒|a|>0，但|a|>0a<0，故p为q的充分而不必要条件，故A错误； 根据全等三角形的性质及判定可知，p⇔q，故p是q的充要条件，故B错误； 由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，p⇒q，qp，则p为q的充分而不必要条件，故C错误； 两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形的斜边相等，两直角三角形不一定全等，例如Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝斜边AC＝2Rt△DEF中，∠E＝90°，DE＝EF＝2，斜边DF＝2故p为q的必要而不充分条件，故D正确. 6.已知p：x<－3或x>1，q：x>a，则a取下面哪些范围，可以使q是p的充分而不必要条件(　　) A.a≥3 B.a≤1 C.a≤－3 D.a<1 答案　A 解析　设集合A＝{x|x<－3或x>1}，集合B＝{x|x>a}， 因为q是p的充分而不必要条件， 所以BA，则a≥1， 所以A符合要求，B，C，D不符合要求. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列命题是存在量词命题的是(　　) A.能被5整除的整数都是偶数 B.有的偶数是质数 C.梯形的对角线相等 D.某些平行四边形不是菱形 答案　BD 解析　A，C是全称量词命题，B，D是存在量词命题. 8.下列命题中，是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B.∃x∈Z，5x＋1＝0 C.∃x∈[0，＋∞)，使x2≤0 D.∀x∈[0，＋∞)，x2≥0 答案　ACD 解析　对于A，因为Δ＝9－32＝－23<0，所以该命题是真命题； 对于B，由5x＋1＝0，解得x＝－∉Z，所以该命题是假命题； 对于C，当x＝0时，x2＝0≤0成立，所以该命题是真命题； 对于D，该命题是真命题. 9.下列各结论中正确的是(　　) A.“xy>0”是“>0”的充要条件 B.设a，b，c∈R，则“b2－4ac<0”是“函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方”的充分而不必要条件 C.设a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要而不充分条件 D.“函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件 答案　AD 解析　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0，故>0，反之，由>0得x>0，y>0或x<0，y<0，故xy>0，所以“xy>0”是“>0”的充要条件，故A正确； 当b2－4ac<0且a>0时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方；当函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方时，则必有b2－4ac<0，故“b2－4ac<0”是“函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方”的必要而不充分条件，故B错误； 当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0成立，反之，当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，即a＝2不一定成立，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分而不必要条件，故C错误； 若函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，则a＋b＋c＝0，反之也成立.故“函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.写出“a＋b<0”的一个充分而不必要条件　　　　　　　　.  答案　a＋b<－1(答案不唯一) 解析　设“a＋b<0”的一个充分而不必要条件为a＋b<m， 由题意可得m<0， 所以“a＋b<0”的一个充分而不必要条件为a＋b<－1.(答案不唯一) 11.若命题“∃x∈R，x2－6x＋2m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　m> 解析　由题意可得“∀x∈R，x2－6x＋2m≠0”为真命题， 即方程x2－6x＋2m＝0无实数根， 所以Δ＝36－8m<0，解得m> 即实数m的取值范围是m>. 12.方程3x2＋10x＋k＝0有两个不相等的负实数根的充要条件是　　　　　　　　.  答案　0<k< 解析　因为方程3x2＋10x＋k＝0有两个不相等的负实数根，设为x1，x2， 且x1＋x2＝－<0， 所以即 解得0<k< 所以方程3x2＋10x＋k＝0有两个不相等的负实数根的充要条件是0<k<. 四、解答题(共27分) 13.(13分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3；(3分) (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3分) (3)∀x∈R，x2－3x≤0；(3分) (4)存在一个无理数，它的平方是有理数.(4分) 解　(1)否定：∀x，y∈Zx＋y≠3. 当x＝0，y＝3时x＋y＝3，故该命题为假命题. (2)否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除. 因为所有末位数字是0或5的整数都能被5整除，故该命题为假命题. (3)否定：∃x∈R，x2－3x>0. 当x＝－1时，x2－3x＝4>0，故该命题为真命题. (4)否定：任意一个无理数，它的平方不是有理数. 因为是无理数，()2＝2，2是有理数，故该命题为假命题. 14.(14分)已知“∃x∈{x|－2<x<2}，使x2－2x－m＝0”是真命题. (1)求实数m的取值范围M；(6分) (2)设集合N＝{x|a<x<a＋1}，若“x∈N”是“x∈M”的充分条件，求a的取值范围.(8分) 解　(1)若“∃x∈{x|－2<x<2}，使x2－2x－m＝0”是真命题， 则m＝x2－2x＝(x－1)2－1， 由－2<x<2，则－1≤m<8， 所以M＝{m|－1≤m<8}. (2)若“x∈N”是“x∈M”的充分条件，则N是M的子集， 所以解得－1≤a≤7，经检验a＝－1，a＝7符合题意， 所以a的取值范围是{a|－1≤a≤7}. 学科网（北京）股份有限公司 $