第2章 2.3.1 第2课时 一元二次不等式的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦一元二次不等式的综合问题，系统梳理分式不等式的等价转化解法，二次函数、一元二次方程与不等式的关系及应用，以及一元二次不等式的简单应用（如恒成立、集合关系），构建从基础解法到综合应用的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过“分式不等式与整式不等式是否等价”等问题培养数学眼光，引导发现等价转化关键。例题设计注重数学思维的推理能力，如例2利用根与系数关系转化参数，延伸探究提升逻辑推理。跟踪训练和课时对点练覆盖不同题型，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，体现数学语言的规范表达与应用意识。

第2课时　一元二次不等式的综合问题 学习目标　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系. 一、解简单的分式不等式 问题　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价,前者的解集中没有－2,后者的解集中有－2. 例1　(课本例4)解不等式>0. 解　原不等式等价于(－2x＋5)(x－2)>0, 即(2x－5)(x－2)<0, 所以2<x<. 故原不等式的解集为. 例1　解下列不等式： (1)<0；　(2)≥0；　(3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0, ∴－1<x< 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0, ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0, ∴>0>0,则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}. 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0；　(2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤－1或x>3.即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}. (2)不等式<3可改写为－3<0, 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0, 解得－1<x<1. 所以,原不等式的解集为{x|－1<x<1}. 二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0,且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根, 由根与系数的关系可知＝－5＝6. 故＝－ 又由a<0知c<0,故不等式cx2＋bx＋a<0, 即x2＋x＋>0,即x2－x＋>0, 解得x<或x> 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 延伸探究1　若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集. 解　由根与系数的关系知＝－5＝6且a<0. ∴c<0＝－故不等式cx2－bx＋a>0, 即x2－x＋<0,即x2＋x＋<0. 解得－<x<－ 故原不等式的解集为. 延伸探究2　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解　方法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0. 又×2＝<0,则c>0. 又－2为方程ax2＋bx＋c＝0的两根, ∴－∴＝－. 又＝－∴b＝－a,c＝－a, ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0, 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0,∴2x2＋5x－3<0, 故所求不等式的解集为. 方法二　由已知得a<0 且＋2＝－×2＝知c>0, 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1,x2, 则x1＋x2＝－x1·x2＝ 其中＝－ －＝－ ∴x1＝－3,x2＝. ∴不等式的解集为. 反思感悟　已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 跟踪训练2　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}, ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得得 代入所求不等式,得2x2－3x＋1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 三、一元二次不等式的简单应用 例3　(1)已知A＝{x|(x－a＋1)(x－a)>0},B＝若B是A的真子集,则a的取值范围为(　　) A.a≤－2 B.a≤－2或a≥2 C.a≥2 D.－2≤a≤1 答案　B 解析　A＝(－∞,a－1)∪(a,＋∞), B＝＝(－2,1), 因为B是A的真子集,故1≤a－1或a≤－2, 即a≤－2或a≥2. (2)若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　[－2,2] 解析　因为关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R, 所以只需Δ＝m2－4≤0,解得－2≤m≤2, 即实数m的取值范围是[－2,2]. 例3　(2)(课本例5)若对任意的实数x,一元二次不等式x2＋2(1＋k)x＋3＋k>0恒成立,求实数k的取值范围. 解　由题意知,一元二次不等式x2＋2(1＋k)x＋3＋k>0的解集为R,于是对应二次函数y＝x2＋2(1＋k)x＋3＋k的图象开口向上,且恒在x轴上方,所以Δ＝4(1＋k)2－4(3＋k)<0, 即4(k2＋k－2)<0, 求解该一元二次不等式得－2<k<1. 反思感悟　一元二次不等式在R上恒成立问题的解法 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 跟踪训练3　(1)不等式组有解,则实数a的取值范围是(　　) A.－1<a<3 B.a<－1或a>3 C.－3<a<1 D.a<－3或a>1 答案　A 解析　依题意⇔ 而不等式组有解, 则不等式a2＋1<x<2a＋4有解, 因此a2＋1<2a＋4,即a2－2a－3<0, 解得－1<a<3, 所以实数a的取值范围是－1<a<3. (2)若不等式x2－ax＋a＋3<0的解集为∅,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[－2,6] 解析　依题意有Δ＝a2－4(a＋3)≤0, 即a2－4a－12≤0, 解得－2≤a≤6. 1.知识清单： (1)解简单的分式不等式. (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. (3)一元二次不等式的简单应用. 2.方法归纳：转化、恒等变形. 3.常见误区： (1)解分式不等式要等价变形. (2)二次项含参数时,应注意讨论等于0、大于0、小于0等. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共24分 1.(多选)已知不等式ax2＋4x＋c>0的解集为{x|－1<x<2},则下列选项正确的是(　　) A.a＝－4 B.c＝－8 C.c＝8 D.a＝4 答案　AC 解析　由题意知,x＝－1和x＝2是方程ax2＋4x＋c＝0的两个实数根,且a<0, 故－1＋2＝－且－1×2＝解得a＝－4,c＝8. 2.不等式≤0的解集是(　　) A.{x|x<－1或－1<x≤2} B.{x|－1≤x≤2} C.{x|x<－1或x≥2} D.{x|－1<x≤2} 答案　D 解析　此不等式等价于 ∴－1<x≤2. 3.“x2－x－2>0”是“<2”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 答案　A 解析　由x2－x－2>0,解得x>2或x<－1, 由<2,解得x>或x<0, 由于{x|x>2或x<－1}是的真子集, 故“x2－x－2>0”是“<2”的充分而不必要条件. 4.若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x>1或x<－2} B.{x|1<x<2} C.{x|x>2或x<－1} D.{x|－1<x<2} 答案　C 解析　由题意得,x＝1为ax－b＝0的根, ∴a－b＝0,即a＝b, ∵ax－b>0的解集为{x|x>1},∴a>0, 故>0,等价为(x＋1)(x－2)>0. ∴x>2或x<－1. 5.已知“∀x∈R,不等式x2－4x－a－1≥0恒成立”,则a的取值范围为(　　) A.(－∞,－5] B.(－∞,－2] C.(－5,＋∞) D.[－5,＋∞) 答案　A 解析　∀x∈R,不等式x2－4x－a－1≥0恒成立,等价于a≤(x2－4x－1)min, 又(x2－4x－1)min＝－5,所以a≤－5. 6.(多选)不等式ax2－bx＋c>0的解集是对于系数a,b,c,下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a<0 C.b<0 D.a－b＋c>0 答案　BCD 解析　由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0, 又＝－＋2＝>0,∴b<0. 又1∈ ∴a－b＋c>0,故BCD正确. 7.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4},则实数a＝　　　　.  答案　4 解析　由题意知,不等式的解集为{x|x<－1或x>4}, 故(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0,故a＝4. 8.(5分)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是则ax2－bx＋c>0的解集为　　　　　　　　.  答案　 解析　由题意知,－2,－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,且a<0, 故解得 所以不等式ax2－bx＋c>0,即为2x2－5x＋2<0, 解得<x<2,即不等式ax2－bx＋c>0的解集为. 9.(10分)已知全集U＝R,集合A＝{x|x2－2x－8<0},B＝C＝{x|1－a≤x<1＋a}. (1)求集合(∁UB)∩A；(5分) (2)若B∪C＝B,求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)由x2－2x－8<0,得－2<x<4, 所以集合A＝{x|－2<x<4}. 由<1得<0,解得0<x<3, 所以B＝{x|0<x<3}, 所以∁UB＝{x|x≤0或x≥3}. 所以(∁UB)∩A＝{x|－2<x≤0或3≤x<4}. (2)因为B∪C＝B,所以C⊆B. 当1－a≥1＋a,即a≤0时,C＝∅,满足题意,则a≤0. 当C≠∅时,满足解得0<a<1. 综上,实数a的取值范围为{a|a<1}. 10.(10分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a,c的值；(5分) (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.(5分) 解　(1)由题意知,不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和 由根与系数的关系,得 解得 (2)由a＝－6,c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0, 即3x2－4x＋1≤0,解得≤x≤1, 所以不等式的解集为. 11.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是(　　) A.m<0 B.m>0 C.m≠0 D.不确定 答案　B 12.若a>0,b>0,则不等式－b<<a的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　原不等式可化为即 可得 故不等式的解集为. 13.(多选)若存在实数m,n(m<n－1),使得0≤x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m≤x≤m＋1或x＝n},则下列结论正确的是(　　) A.x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1或x≥n} B.x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m＋1≤x≤n} C.c＝－n D.a2＋2a>4b－4c 答案　AD 解析　因为m<n－1,故m＋1<n, 由题意得x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m≤x≤n}, x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1或x≥n},故A正确,B错误； x2＋(a＋1)x＋b－c＝0的两个根为m,n,x2＋ax＋b＝0的两个根为m＋1,n, 故m＋n＝－a－1,mn＝b－c,m＋1＋n＝－a,(m＋1)n＝b, 由于mn＝b－c,(m＋1)n＝b,故b－c＋n＝b,所以n＝c,故C错误； 因为n－m>1,所以n－m＝>1,两边平方得a2＋2a>4b－4c,故D正确. 14.(5分)若关于x的不等式x2－2x＋c<0的解集为(m,m＋6),则c的值为　　　　.  答案　－8 解析　依题意,m,m＋6为方程x2－2x＋c＝0的两个根,令x1＝m,x2＝m＋6, 则x1＋x2＝2,x1·x2＝c,且|x1－x2|＝6, ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36, ∴4－4c＝36,解得c＝－8. 15.(多选)已知关于x的不等式a(x－2)(x＋1)＋1>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是(　　) A.x1＋x2＝1 B.x1x2＋2<0 C.x1<－1<x2<2 D.|x1－x2|>3 答案　ABD 解析　由题意可得a<0,且a(x－x1)(x－x2)＝a(x－2)(x＋1)＋1＝ax2－ax－2a＋1, 则x1＋x2＝－＝1,x1x2＝－2,即x1x2＋2＝<0,故A,B正确； 由x1＋x2＝1,x1x2＋2<0,故x1(1－x1)＋2<0,x2(1－x2)＋2<0, 即－x1－2＝(x1－2)(x1＋1)>0－x2－2＝(x2－2)(x2＋1)>0, 又x1<x2,x1＋x2＝1,故x1<－1,x2>2,故C错误； |x1－x2|＝>3,故D正确. 16.(11分)(1)已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集是{x|1<x<2},解不等式≥0；(5分) (2)已知a∈R,解不等式>a＋1.(6分) 解　(1)由不等式ax2＋bx＋2<0的解集是{x|1<x<2},得1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根,且a>0, 于是解得 所以不等式≥0即≥0, 即或 由得－3<x≤1或x≥2, 无解, 所以原不等式的解集是{x|－3<x≤1或x≥2}. (2)原不等式可化为>0, ①当a＝0时,原不等式为>0,解得x>1； ②当a≠0时,原不等式可化为<0, 即a(x－1)<0, 当a>0时,原不等式等价于(x－1)<0, 显然>1,解得1<x<； 当a<0时,原不等式等价于(x－1)>0,而＝1＋<1, 解得x<或x>1. 综上,当a＝0时,原不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时,原不等式的解集为； 当a<0时,原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $