第2章 2.1.2 基本不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，以实数平方关系（a² + b² ≥ 2ab）为基础，通过变量替换引出算术平均数与几何平均数关系（≥），结合作差法、几何法完成证明，进而延伸至不等式证明与最值求解，构建完整知识支架。 资料以金店天平问题创设情境，引导学生用数学眼光发现现实问题中的数量关系。通过问题链设计（如从会标结论到几何法证明）培养逻辑推理的数学思维，例题变式（如x>0改为x<2等）强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2.1.2　基本不等式 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 提示　正方形的边长AB＝故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2当且仅当a＝b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 问题3　问题2中得到的结论是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ＝≥0， 即≥当且仅当a＝b时，等号成立. 方法二　(几何法) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 定理：对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. 推论：对任意正数a，b≥当且仅当a＝b时等号成立. 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数称为a，b的几何平均数.把不等式≥(a>0，b>0)称为基本不等式. 注意点：不等式a2＋b2≥2ab与≥的适用范围和等号成立的条件. 例1　“0<a<b”是“<”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由不等式≥知， a>0，b>0且a＝b时等号成立， ∴当b>a>0时>成立， 当>时，有a≠b，a与b大小不确定，故不能推出0<a<b. 反思感悟　对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时≤的等号成立，即a＝b⇒；仅当a＝b时≥的等号成立，即⇒a＝b. 跟踪训练1　(多选)下列不等式恒成立的是(　　) A.a2＋9≥6a B.若a≠0，则a＋≥2 C.若ab>0，则≥2 D.若a，b>0，则ab≤ 答案　ACD 解析　a2＋9＝a2＋32≥2·a·3＝6a，故A正确； 当a<0时，a＋<0，故B不正确； 当ab>0时>0， ∴≥2＝2， 当且仅当即a＝b时等号成立，故C正确； 当a，b>0时≥ 平方即得ab≤故D正确. 二、利用基本不等式证明不等式 例2　(课本例6)对任意三个正实数a，b，c，求证： a＋b＋c≥ 当且仅当a＝b＝c时等号成立. 证明　因为a，b，c>0，由基本不等式，得 a＋b≥2b＋c≥2c＋a≥2 把上述三个式子的两边分别相加，得 2(a＋b＋c)≥2()， 即a＋b＋c≥ 当且仅当a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c时等号成立. 例2　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝≥ 同理－1≥－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 延伸探究1　本例的条件不变，求证：≥9. 证明　＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 反思感悟　利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 跟踪训练2　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明　由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， 则(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 三、利用基本不等式求最值 例3　(1)若x>0，则x＋的最小值为　　　　　　；  (2)若0<a<2，则的最大值为　　　　　　.  答案　(1)4　(2)1 解析　(1)因为x>0， 所以x＋≥2＝4， 当且仅当x＝即x＝2时，等号成立，因此所求的最小值为4. (2)当0<a<2时，2－a>0， 则≤＝1， 当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. (2)(课本例7)已知0<x<1，求的最大值. 解　因为0<x<1，所以x>0，1－x>0， 所以， 当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立. 因此，当x＝. 延伸探究2　将例3(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x＋的最大值为　　　　.  答案　－4 解析　x＋＝－ 因为x<0，则－x>0， 故有－x＋≥2＝4， 所以－≤－4，当且仅当－x＝－即x＝－2时，等号成立. 故原式的最大值为－4. 延伸探究3　将例3(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x＋的最小值为　　　　.  答案　6 解析　因为x>2，所以x－2>0， 则x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立， 所以x＋的最小值为6. 延伸探究4　将例3(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x＋的最大值为　　　　.  答案　－2 解析　因为x<2，所以2－x>0， 则x＋＝x－2＋＋2 ＝－＋2≤－2＋2 ＝－2， 当且仅当2－x＝即x＝0时，等号成立， 所以x＋的最大值为－2. 延伸探究5　将例3(1)的条件“x>0”改成“x>1”，则2－x－的最大值为　　　　.  答案　－1 解析　2－x－＝1＋1－x－ ＝1－ 由x>1，得x－1>0， 可得(x－1)＋≥2＝2， 当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立， 故2－x－≤1－2＝－1，即2－x－的最大值为－1. 延伸探究6　将例3(2)改为“若0<a<则的最大值为　　　　.”  答案　 解析　当0<a<时，1－2a>0， 原式＝ ＝·≤· 当且仅当1－2a＝2a，即a＝时，等号成立，故原式的最大值为. 反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点，一是各项均为正；二是恰当变形，合理拆分项或配凑因式；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可. 1.知识清单： (1)基本不等式的推导与证明. (2)用基本不等式证明不等式. (3)用基本不等式求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：忽略等号成立的条件. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知a>1，b>1，记M＝N＝则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M＝N C.M<N D.不确定 答案　A 解析　因为a>1，b>1， 所以M＝≥>＝N，当且仅当a＝b时取等号，故M>N. 2.下列不等式中正确的是(　　) A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 答案　D 解析　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错； 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； 若a＝4，b＝16，则<故C错； 由基本不等式可知D项正确. 3.已知x>1，则2x＋的最小值是(　　) A.3 B.4 C.6 D.7 答案　C 解析　因为x>1，所以x－1>0， 所以2x＋＝2(x－1)＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当2(x－1)＝即x＝2时取等号. 4.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A.3 B.3－2 C.－1 D.3－2 答案　D 解析　∵x>0， ∴3x＋≥2＝2 当且仅当x＝时，等号成立， ∴－≤－2 则3－3x－≤3－2. 5.(多选)若x>0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是(　　) A.a≤9 B.a<8 C.a>8 D.0<a<8 答案　BD 解析　因为x>0，由基本不等式，得 x＋≥2＝8， 当且仅当x＝即x＝4时，取等号， 要使x＋≥a恒成立，则a≤8， 所以x＋≥a恒成立的一个充分条件是BD. 6.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　) A.4a2＋b2≥4ab B.≥ C.ab≤ D.≤ 答案　AC 解析　对于A，因为ab>0，4a2＋b2≥4ab，当且仅当2a＝b时，等号成立，故A正确； 对于B，因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式≥不成立，故B不正确； 对于C，因为ab>0，所以ab≤恒成立，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确； 对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以(a＋b)2≥4ab，当a<0，b<0时满足ab>0，但a＋b<0，此时≤故D不正确. 7.(5分)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为　　　　.  答案　36 解析　4x＋≥2＝4 当且仅当4x＝即x＝＝3时，等号成立， ∴a＝36. 8.(5分)已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为　　　，此时x＝　　　　.  答案　　 解析　因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 9.(10分)已知a>0，b>0，c>0.证明：≥a＋b＋c. 证明　∵a，b，c均大于0， ∴＋b≥2＝2a， 当且仅当＝b，即b＝a时，等号成立， 同理＋c≥2b，当且仅当b＝c时，等号成立， ＋a≥2c，当且仅当a＝c时，等号成立， 相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 即≥a＋b＋c. 10.(10分)(1)已知x<求y＝4x－2＋的最大值；(5分) (2)已知0<x<求y＝x(1－2x)的最大值.(5分) 解　(1)∵x<∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵0<x<∴1－2x>0， ∴y＝×2x(1－2x)≤× ＝× 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立， 故当x＝时，ymax＝. 11.当x>0时，y＝有(　　) A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2 答案　B 解析　因为x>0， 所以y＝≤＝1， 当且仅当x＝即x＝1时，等号成立. 即y＝有最大值1. 12.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交半圆周于点D，连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(　　) A.≥(a>0，b>0) B.≥(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) 答案　A 解析　由三角形相似， 知CD2＝DE·OD＝AC·BC， 即DE＝ 由CD≥DE，得≥. 13.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　) A.∀x>0，x＋≥2 B.∃x<0，x＋>－2 C.∀x>0≥ D.∃x<0≤－ 答案　AD 解析　利用基本不等式可得∀x>0，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝1时，等号成立，故A正确； ∀x<0，x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当x＝－1时，等号成立；即命题∃x<0，x＋>－2不成立，故B错误； 易知∀x>0≤ 当且仅当x＝1时，等号成立，故C错误； 易知当x＝－1时＝－即∃x<0≤－故D正确. 14.(5分)若x>1，则的最小值为　　　　.  答案　9 解析　由x>1，得x－1>0，于是＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝9， 当且仅当x－1＝即x＝5时取等号， 所以的最小值为9. 15.(5分)已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝　　　　　　　　时取得最小值　　　　　　　　.  答案　　6 解析　依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤ 当且仅当x＝时取等号， 所以≥2＋2－2≥()2－2＝6， 当且仅当x＝时取等号. 16.(12分)已知实数a>b>0， (1)比较b(a－b)与的大小；(5分) (2)求a2＋的最小值及取最小值时a，b的值.(7分) 解　(1)∵a>b>0，∴a－b>0， ∴b(a－b)≤ 当且仅当b＝a－b，即2b＝a时，等号成立. ∴b(a－b)≤. (2)由(1)知0<b(a－b)≤当且仅当2b＝a时等号成立， ∴≥ ∴≥ ∴a2＋≥a2＋≥2＝20， 当且仅当a2＝且2b＝a， 即时取等号. 综上可知，当a＝b＝时，a2＋取得最小值20. 学科网（北京）股份有限公司 $