第2章 2.1.1 第2课时 不等式的基本性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“不等式的基本性质”核心知识点，通过回顾等式性质引入，系统梳理对称性、传递性、可加性、可乘性等性质，结合问题驱动、例题解析构建从理解到应用的学习支架，涵盖性质判断、证明及取值范围求解。 资料以对比等式性质为切入点培养抽象能力（数学眼光），通过作差法、特值法等推理训练发展逻辑思维（数学思维），设置跟踪训练与课时对点练强化应用意识（数学语言），课中辅助教师引导教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　不等式的基本性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 导语 通过上节课的学习，我们学会了用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系.现在就让我们一起探究等式性质和不等式性质，为我们下一步解不等式做好准备！ 一、等式与不等式的性质 问题　判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么. 提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质. 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 a>b⇔b<a 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c； 推论1：a＋b>c⇔a>c－b； 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 推论4：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 推论5：a>b>0⇒> 5 取倒数 a>b，ab>0⇒<； a>b，ab<0⇒> 注意点： (1)注意不等式的单向性和双向性，性质1和3是双向的，其余在一般情况下是不可逆的. (2)应用不等式时，要注意它们成立的前提条件. 例1　(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A.a＋d>b＋c B.a＋c>b＋d C.ad>bc D.ac>bd 答案　ACD 解析　不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误； ad＝－2<bc＝0，故C错误； 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误； 因为a>b，c>d，根据不等式的性质 同向可加性得a＋c>b＋d，故B正确. 反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 跟踪训练1　(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　) A.若a>b，c>d，则a－d>b－c B.若a>b，则< C.若a<|b|，则a2>b2 D.若a>b，c>d，则ac>bd 答案　BCD 解析　对于A，若c>d，则－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故A为真命题； 对于B，若a>b，且a>0，b<0，则>0<0，此时>故B为假命题； 对于C，若a＝－1，b＝2，则a2＝1<b2＝4，故C为假命题； 对于D，若a＝5，b＝1，而c＝－1，d＝－4，则ac＝－5<bd＝－4，故D为假命题. 二、利用不等式的性质证明不等式 例2　(1)(课本例3)已知a>b，c<d，求证：a－c>b－d. 证明　因为c<d，所以－c>－d. 由a>b和推论2知，a－c>b－d. (2)(课本例4)求证：如果a>b>0，且d>c>0，那么>. 证明　由d>c>0和性质5，得>>0. 又由a>b>0和推论3，得>. 例2　已知c>a>b>0，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 所以(c－a)(c－b)>0， 所以0<·(c－a)<·(c－b)， 即0<<即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　因为a>b>0，所以< 因为c>0，所以< 所以－1<－1，即< 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 方法三　 ＝ 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>. 延伸探究1　在本例条件不变的情况下，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b， 所以0<(c－a)2<(c－b)2， 所以(c－a)2(c－b)2>0， 所以·(c－a)2<·(c－b)2， 即0<< 所以>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　 ＝ ＝ ＝ 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c2>ab，c－a>0，c－b>0， 所以(a－b)(c2－ab)>0， 所以>0， 所以>0， 因此>. 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 跟踪训练2　已知a>b>0，c<0，证明：>. 证明　方法一　 ∵a>b>0，c<0， ∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0， ∴>0，∴>. 方法二　∵a>b>0， ∴>>0， ∵c<0，∴<即>. 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3　已知－6<a<8，2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围. 解　因为－6<a<8，2<b<3， 所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2， 所以－9<a－b<6. 又<< ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，0<－a<6， 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. 延伸探究2　若将条件改为“1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2”，则3a＋2b的取值范围是　　　　　　　　.  答案　2≤3a＋2b≤11 解析　设3a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 则解得 所以3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b)， 因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2， 所以≤(a＋b)≤10，－≤(a－b)≤1， 因此，2≤3a＋2b≤11. 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 跟踪训练3　已知－3≤x≤6，－1≤y≤2，则z＝x－2y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵－1≤y≤2，∴－4≤－2y≤2， 又－3≤x≤6，∴－7≤x－2y≤8， 即z＝x－2y的取值范围是. 1.知识清单： (1)不等式的基本性质. (2)不等式性质的应用. 2.方法归纳：作差比较法、特值法、不等式性质法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A.< B.< C.a2<b2 D.|a|>|b| 答案　A 解析　∵a<0，b>0， ∴<0>0，∴<. 2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b 答案　C 解析　∵a＋b>0，b<0， ∴a>－b>0，0>b>－a， ∴a>－b>b>－a. 3.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A.若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B.若a>－b，则c－a<c＋b C.若a>b，c<d，则> D.若a3>b3，则－a>－b 答案　B 解析　选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b<c＋d，A不成立； 选项B，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，则B成立； 选项C，当a>b>0，c<0<d时，C不成立； 选项D，当a＝1，b＝0时，D不成立. 4.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 答案　B 解析　方法一　∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax. 又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2. 方法二　∵x<a<0， ∴x·x>a·x>0，a·x>a·a>0， ∴x2>ax>a2. 5.若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　∵>0，∴> ∴()2>()2，∴a>b≥0，∴a2－b2>0， ∴“>0”是“a2－b2>0”的充分条件， 又∵a2－b2>0，不妨取a＝－2，b＝1， 无法推出>0，故A正确. 6.(多选)若m≥1，则下列选项中正确的是(　　) A.1－m≤0 B.m3≥1 C.m2≤m D.>0 答案　AB 解析　因为m≥1，所以－m≤－1，1－m≤0，故A正确； 由不等式的性质可得m3≥1，故B正确； 当m＝2时，m2>m，故C错误； 当m＝1时＝0，故D错误. 7.(5分)若－2<m<n<2，则m＋n的范围是　　　　；m－n的范围是　　　　.  答案　－4<m＋n<4　－4<m－n<0 解析　∵－2<m<n<2， ∴－2<m<2，－2<n<2， ∴－4<m＋n<4， ∵－2<m<n<2， ∴－2<m<2，－2<－n<2，m－n<0， ∴－4<m－n<0. 8.(5分)给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc 解析　若选择①③作为条件，②作为结论：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc；若选择①②作为条件，③作为结论：若a>b>c，ab>bc，则(a－c)b>0，故b>0，但c也可能大于0，不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若ab>bc，b>0且c<0，则(a－c)b>0，故a>c，但a与b大小关系不确定，不正确. 9.(10分)(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc；(3分) (2)已知a>b>0，c<d<0，求证：<；(3分) (3)已知bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.(4分) 证明　(1)因为a>b，c>0，可得ac>bc，所以－ac<－bc， 又因为f<e，可得f－ac<e－bc. (2)因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，可得>>0， 因为a>b>0，根据不等式的性质，可得>即<. (3)因为bd>0，要证≤只需证明d(a＋b)≤b(c＋d)， 展开得ad＋bd≤bc＋bd，即ad≤bc，即bc－ad≥0， 又因为bc－ad≥0，所以≤. 10.(10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4， 求当x＝－2时，y的取值范围. 解　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点， ∴c＝0，∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2. ① 当x＝1时，3≤a＋b≤4， ② ∴当x＝－2时，y＝4a－2b. 设存在实数m，n， 使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， ∴ 解得 ∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b). 由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6， ∴3＋3≤4a－2b≤4＋6. 即6≤4a－2b≤10， 故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 11.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 答案　C 解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0， 所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0， 所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz. 12.有外表相同、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 答案　A 解析　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c， ∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c. ∴b<d.又a＋c<b，∴a<b. 综上可得，d>b>a>c. 13.(多选)设a>1>b>－1，则下列不等式中不一定成立的是(　　) A.< B.> C.a>b2 D.a2>2b 答案　ABD 解析　当a＝2，b＝－时，满足a>1>b>－1，但>故A不一定成立； 当a＝2，b＝时，满足a>1>b>－1，但<故B不一定成立； 因为－1<b<1，所以0≤b2<1.因为a>1，所以a>b2，故C一定成立； 当a＝b＝时，满足a>1>b>－1，但a2<2b，故D不一定成立. 14.(多选)已知－5≤a－b≤4，2≤2a＋b≤8，则(　　) A.－1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.－28≤2a－5b≤14 D.ab的最大值为24 答案　AC 解析　由题意可得－3≤3a≤12，即－1≤a≤4，故A正确； 由－5≤a－b≤4，可得－8≤2b－2a≤10，又2≤2a＋b≤8，则－6≤3b≤18，即－2≤b≤6，故B错误； 设2a－5b＝x(a－b)＋y(2a＋b)，则解得 因为－20≤4(a－b)≤16，－8≤－(2a＋b)≤－2，所以－28≤2a－5b≤14，故C正确； 由－1≤a≤4，以及－2≤b≤6，若ab的最大值为24，则a＝4，b＝6，此时2a＋b＝14>8，故D错误. 15.(5分)已知a<b<c且a＋2b＋3c＝0，则的取值范围是　　　　　　　.  答案　－<<1 解析　因为a<b<c，a＋2b＋3c＝0， 则c＝－且6a<a＋2b＋3c<6c， 即6a<0<6c，所以a<0，c>0， 由b<c得b<－ 则5b<－a，即>－1，即>－ 又a<b，则<1， 因此的取值范围是－<<1. 16.(12分)设x>0，y>0，z>0，证明：1<<2. 证明　由题意知x>0，y>0，z>0， 则有x＋y＋z>x＋y>0，x＋y＋z>x＋z>0，x＋y＋z>y＋z>0， 故>>> 所以>＝1. 因为<0，所以<同理可得<< 所以<＝2. 综上所述，1<<2. 学科网（北京）股份有限公司 $