第2章 2.1.3 基本不等式的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦基本不等式的应用这一核心知识点，梳理从基本不等式变形到“积定和最小、和定积最大”模型的构建过程，结合生活实例（如水立方设计、宣传牌定制）解决最大（小）值问题，形成从理论到实践的学习支架。 资料以生活情境（水立方、宣传牌）为导入，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链引导和实例推理（如小屋造价计算），发展数学思维，课中助力教师理论联系实际教学，课后课时对点练帮助学生巩固应用，查漏补缺。

2.1.3　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式的应用模型并会简单应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 导语 同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，如图为水立方的平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD之间上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 一、基本不等式的应用模型 问题　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 提示　当a>0，b>0时，有①≤；②ab≤；③a＋b≥2.由此我们发现，若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个正数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值. 知识梳理　已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值. 简记为：积定和最小，和定积最大. 例1　(1)若m>0，n>0，mn＝9，则m＋n的最小值为(　　) A.4 B.4 C.6 D.18 答案　C 解析　因为m>0，n>0，mn＝9，所以m＋n≥2＝6，当且仅当m＝n＝3时等号成立，故m＋n的最小值为6. (2)已知x>0，y>0，且x＋＝4，则xy的最大值为　　　　.  答案　8 解析　xy＝2·x·≤2＝8， 当且仅当x＝即x＝2，y＝4时，等号成立， ∴xy的最大值为8. 反思感悟　应用基本不等式时的注意点 一正：两项必须都是正数；二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值；三相等：等号成立的条件必须存在. 跟踪训练1　(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A.80 B.77 C.81 D.82 答案　C 解析　因为x>0，y>0， 所以xy≤＝81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立， 所以xy的最大值为81. (2)已知a>0，b>0，且ab＝2，则的最小值为　　　　.  答案　2 解析　≥2＝2＝2 当且仅当即a＝b＝2时，等号成立， ∴的最小值为2. 二、基本不等式在生活中的最小(少)问题 例2　(课本例8)某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12 m2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1 200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5 200元.如果墙高为3 m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 解　设房屋正面的长为x m，侧面的长为y m，房屋的总造价为z元.根据题意，有xy=12，且 z=3x×1 200+2×3y×800+5 200 =5 200+1 200(3x+4y). 所以5 200+1 200(3x+4y)≥5 200+1 200×2 =5 200+1 200×2=34 000， 当且仅当3x=4y时等号成立，此时x=4，y=3. 因此，将房屋设计成正面长为4 m，侧面长为3 m时总造价最低，最低总造价是34 000元. 例2　某高中即将举办一年一度的秋季运动会，高一某班级计划为班级入场式方队定制一张矩形宣传牌，该宣传牌含有大小相等的左、右两个矩形板块(如图中阴影部分)，这两个板块上分别印制“奋”、“斗”两字，这两个板块的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两个板块之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定宣传牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形宣传牌面积最小？ 解　设矩形板块的高为a cm，宽为b cm， 则ab＝9 000， 宣传牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm， 其中a>0，b>0， 宣传牌的面积 S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500 ≥18 500＋2 ＝18 500＋2＝24 500， 当且仅当25a＝40b， 即a＝120，b＝75时，等号成立， 综上所述，当宣传牌高为140 cm，宽为175 cm时，可使宣传牌的面积最小. 反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)得出结论. 跟踪训练2　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解　(1)设所用时间为t＝(h)， 则由题意知y＝×6×＋24× x∈[50，100]. 所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝x∈[50，100]. (2)y＝≥2＝260， 当且仅当即x＝60时，等号成立. 故当x＝60时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为260元. 三、基本不等式在生活中的最大(多)问题 例3　(课本例9)某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 解　设平行线段长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形区域的面积为S m2. 由题意可知S＝xd，且2x＋πd＝400， 所以S＝xd＝·πd·2x≤ 当且仅当πd＝2x＝200，即d＝x＝100时，等号成立. 因此，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为 m2. 例3　某厂家在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).那么该厂家2024年的年促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？ 解　由题意，当m＝0时，x＝3－＝1， 所以k＝2，即x＝3－ 设利润为y， 则y＝x×1.5－16x－8－m＝8x＋4－m＝8＋4－m， 所以y＝29－ ≤29－2＝21， 当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立. 所以年促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 反思感悟　利用基本不等式求最值，若不满足求最值的一正、二定、三相等的条件，要配凑符号为正、和为定值或积为定值.注意有负号或分式时不等式符号的变化. 跟踪训练3　某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2. (1)用a，b表示S； (2)a，b各为多少时，蔬菜的种植面积S最大？最大种植面积是多少？ 解　(1)由题意可知，ab＝800(a>4，b>2)， S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8 ＝808－2(a＋2b). (2)由ab＝800，得b＝(4<a<400)， 代入S＝808－2(a＋2b)，得 S＝808－2≤808－4＝648， 当且仅当a＝即a＝40时等号成立，S取得最大值，此时b＝＝20. 所以当a＝40 m，b＝20 m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是648 m2. 1.知识清单： (1)基本不等式的应用模型. (2)基本不等式在生活中的应用. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.设x，y>0且x＋2y＝40，则2xy的最大值是(　　) A.400 B.100 C.40 D.20 答案　A 解析　2xy＝x·2y≤＝400， 当且仅当x＝2y，即x＝20，y＝10时等号成立. 2.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C(单位：万元)与仓储中心到机场的距离s(单位：km)之间满足的关系为C＝＋2s＋2 000，则当C最小时，s的值为(　　) A.30 B.40 C.20 D.20 答案　D 解析　因为C＝＋2s＋2 000≥2＋2 000＝2 080， 当且仅当＝2s，即s＝20时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 3.已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋n＝a＋则m＋n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　∵a>0，b>0，ab＝1， 且m＝b＋n＝a＋ 则m＋n＝a＋＋b＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝即a＝1，b＝1时取等号. 4.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 答案　C 解析　设矩形模型的长和宽分别为x，y， 则x>0，y>0， 由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4， 所以矩形模型的面积S＝xy≤＝4， 当且仅当x＝y＝2时取等号， 所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 5.如图所示，矩形ABCD是一块空地，它的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 答案　B 解析　设BC＝a，CD＝b， 因为矩形的面积为4，所以ab＝4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a＋b＝2a＋≥2＝4 当且仅当2a＝即a＝时，等号成立. 故围成矩形ABCD所需要篱笆的最小长度为4. 6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与营运年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　) A.车辆营运年数越多，收入越高 B.车辆在第6年时，总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 答案　BC 解析　由题意，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 7.(5分)矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为　　　　.  答案　32 解析　由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64， 所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋ ≥2＝32， 当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 8.(5分)某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m.如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为　　　　m.  答案　160 解析　设水池底面一边的长为x m， 则另一边的长为 m，由题意可得水池总造价 y＝150×＋120× ＝240 000＋720(x>0)， 则y＝720＋240 000 ≥720×2＋240 000 ＝720×2×40＋240 000＝297 600， 当且仅当x＝ 即x＝40时，y有最小值297 600， 此时另一边的长为＝40(m)， 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m. 9.(10分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y表示为x的函数；(4分) (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.(6分) 解　(1)由题意得，y＝45x＋180 ＝225x＋－360(x>2). (2)由(1)知，y＝225x＋－360 ≥2－360＝10 440. 当且仅当225x＝即x＝24时，等号成立， 因此，当x＝24 m时，总费用最少，最少费用为10 440元. 10.(10分)经观测，某公路在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？ 解　y＝ ∵v＋≥2＝20 ∴y＝≤ 当且仅当v＝即v＝10时等号成立. ∴当汽车的平均速度v＝10千米/小时时，车流量y最大. 11.已知x>0，y>0，且xy＝10，则下列说法正确的是(　　) A.当x＝y＝时取得最小值 B.当x＝y＝时取得最大值 C.当x＝2，y＝5时取得最小值 D.当x＝2，y＝5时取得最大值 答案　C 解析　∵x>0，y>0，且xy＝10， ∴>0>0＝1， ∴≥2＝2＝2， 当且仅当即x＝2，y＝5时，等号成立， ∴当x＝2，y＝5时取得最小值，最小值为2. 12.(多选)如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的值可以为(　　) A.52 B.54 C.56 D.58 答案　CD 解析　设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm， 四周空白部分的面积是y dm2， 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)， 当且仅当x＝即x＝12时等号成立，此时满足x>结合选项可知，CD正确. 13.(多选)已知正数x，y满足x＋y＝2，则下列选项正确的是(　　) A.的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2＋y2的最小值是4 D.x(y＋1)的最大值是2 答案　AB 解析　因为正数x，y满足x＋y＝2， 所以(x＋y) ＝×≥×＝2， 当且仅当即x＝y＝1时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 因为正数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤＝1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以xy的最大值是1，故B正确； 由≤得x2＋y2≥2， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以x2＋y2的最小值是2，故C错误； x(y＋1)≤ 当且仅当即x＝y＝时，等号成立， 所以x(y＋1)的最大值是故D错误. 14.(5分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，当BM＝　　　　时，矩形花坛AMPN的面积最小.  答案　4 解析　设BM＝x(x>0)， 则由DC∥AM得 解得ND＝ ∴矩形AMPN的面积为 S＝(4＋x)＝24＋3x＋ ≥24＋2＝48， 当且仅当3x＝即x＝4时等号成立. 故当BM＝4时，矩形花坛AMPN的面积最小. 15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金(　　) A.大于10 g B.大于等于10 g C.小于10 g D.小于等于10 g 答案　A 解析　由于天平两臂不等长， 可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b， 再设先称得的黄金为x g，后称得的黄金为y g， 则bx＝5a，ay＝5b， ∴x＝y＝ ∴x＋y＝＝5 ≥5×2＝10， 当且仅当即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10， 因此，顾客购得的黄金大于10 g. 16.(12分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格. (1)求每套丛书的利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(6分) (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.(6分) 解　(1)∵∴0<x<100， y＝x－ ＝x－－20(0<x<100)， 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)， 总利润为2×55＝110(万元). (2)y＝x－－20， ∵0<x<100，∴100－x>0， ∴y＝－＋80 ≤－2＋80＝60， 当且仅当＝100－x，即x＝90元时，每套利润最大为60元. 学科网（北京）股份有限公司 $