2.1.3 基本不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

2.1.3　基本不等式的应用 　 第2章　2.1　相等关系与不等关系 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都为______，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，和x＋y有最小值___； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当______时，积xy有最大值. 知识梳理 正数 x＝y 2 x＝y 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a，b同号时，≥2. (　　) (2)函数y＝x＋的最小值为2. (　　) (3)不等式a2＋b2≥2ab与≤有相同的适用范围. (　　) (4)已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为18. (　　) √ × × √ 自主检测 2.若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2_________2｜ab｜. A.≥ B.＝ C.≤ D.＞ √ 由基本不等式得a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜，当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立. 3.设0＜a＜b且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是 A. B.b C.2ab D.a2＋b2 √ 因为0＜a＜b，且a＋b＝1， 所以ab＜＝.所以2ab＜. 因为 ＞＝， 所以a2＋b2＞. 因为b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0， 所以b＞a2＋b2，所以b最大. 4.某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝____t. 20 每年购买次数为次. 所以总费用为·4＋4x≥2＝160， 当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立. 返回 合作探究 返回 探究点一　利用基本不等式求函数和代数式的最值 角度1　配凑法求最值 (1)已知x＜3，求y＝＋x的最大值； 解：因为x＜3，所以x－3＜0， 所以y＝＋x＝＋x－3＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号， 所以y的最大值为－1. 典例 1-1 (2)已知x＞－1，求函数y＝的最小值； 解：因为x＞－1，所以x＋1＞0， 所以y＝ ＝ ＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9. 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立. 所以当x＝1时，函数y＝(x＞－1)取得最小值9. (3)已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值. 解：因为0＜x＜，所以0＜1－3x＜1，所以y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，y取最大值. 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 　　配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 规律方法 对点练1．已知x＜，则y＝4x－2＋的最大值为___. 1 因为x＜，所以5－4x＞0， 则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 故y＝4x－2＋的最大值为1. 角度2　应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为 A.1＋ B.3＋2 C.3 D.4 √ 典例 1-2 因为x＋2y＝1，x＞0，y＞0， 所以＝(x＋2y)＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，等号成立.故当x＝－1，y＝1－时，有最小值，为3＋2. 　　“常量代换法”常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型. 基本步骤为： (1)将已知条件变形为“表达式＝常数”的形式； (2)把常数变形为1； (3)把等于1的表达式与要求最值的表达式相乘(除)，进而变形为“定积的和”或“定和的积”的形式； (4)利用基本不等式求最值. 规律方法 对点练2．已知a＞0，b＞0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为 A.2 B.3 C.2＋ D.2＋ √ 根据题意，3a＋b＝2ab⇒＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋，当且仅当b＝a且3a＋b＝2ab时等号成立， 所以a＋b的最小值为2＋， 故选D. 角度3　含有多个变量的条件的最值问题 已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为_______. 典例 1-3 5＋2 由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，又因为b＋1＞0，所以b＞2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2 ＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 　　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 规律方法 对点练3．已知a＞b＞0，求a2＋的最小值. 解：方法一：由于a2＋中有两个字母，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝.这样就消去了字母b，因此a2＋≥a2＋≥4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时等号成立.故a2＋的最小值为4. 方法二：注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4，当且仅当b＝a－b且4b(a－b)＝，即a＝，b＝时等号成立.故a2＋的最小值为4. 探究点二　利用基本不等式解决实际问题 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间满足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50.已知每处理1 t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品. (1)判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ 解：当30≤x≤50时，设该工厂获利S万元， 则S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700， 所以当x＝30时，Smax＝－700＜0， 因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损. 典例 2 (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解：由题易知，二氧化碳的平均处理成本P＝＝x＋－40， 因为当30≤x≤50时，P＝x＋－40≥2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立， 所以当处理量为40 t时，每吨的平均处理成本最少. 应用基本不等式解决实际问题的方法 1.先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； 2.建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； 3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案. 规律方法 对点练4．某企业需要建造一个容积为8 m3，深度为2 m的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x m，水池总造价为y元，求y关于x的关系式，并求出水池的最低造价. 解：由于长方体蓄水池的容积为8 m3，深度为2 m，因此其底面积为4 m2， 设底面一边长为x m，则另一边长为 m. 又池壁的造价为每平方米100元， 池壁的面积为2 m2 所以池壁的总造价为200元. 池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4 m2，所以池底的总造价为1 200元， 故蓄水池的总造价为y＝200＋1 200 ＝400＋1 200(x＞0). y＝400＋1 200≥400×2＋1 200＝1 600＋1 200＝2 800， 当且仅当x＝，即x＝2时，y有最小值，此时总造价最低为2 800元. 探究点三　利用基本不等式解决恒成立问题 设a＞b＞c，且≥恒成立，求m的取值范围. 解：由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0， 所以原不等式等价于≥m， 要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可， 因为＝ ＝2＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立， 所以m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]. 典例 3 解决此类问题的关键是将不等式的恒成立问题转化为最值问题. 规律方法 对点练5．已知a＞0，b＞0，若不等式≥恒成立，则m的最大值为 A.9 B.12 C.18 D.24 √ 因为a＞0，b＞0，不等式≥恒成立，所以m≤. 因为(a＋3b)＝6＋≥6＋2＝12， 当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.故选B. 探究点四　应用基本不等式证明不等式 已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1，a，b，c不全相等，求证：＞. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以≥①，当且仅当a＝b时等号成立， ≥②，当且仅当b＝c时等号成立， ≥③，当且仅当a＝c时等号成立， 由①＋②＋③，得 典例 4 2≥2，当且仅当a＝b＝c时等号成立， 所以≥ ＝， 又abc＝1，且a，b，c不全相等， 所以＞. 利用基本不等式证明不等式的关键点及注意事项 1.借助基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”，然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化，达到放缩的效果. 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.(2)巧用“1”的代换证明不等式.(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用. 规律方法 对点练6.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0， 所以2(a＋b＋c)≥2()， 即a＋b＋c≥. 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c＞. 探究点五　基本不等式在几何中的应用 如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解：矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24， 因为AB＝x，所以AD＝－x＝12－x， 因为AB＞BC＝AD，得x＞12－x，所以6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB'， 所以AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－(6＜x＜12). 典例 5 (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解：在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－ (6＜x＜12). 因为6＜x＜12，所以6x＋≥2 ＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立. 所以S△ADP＝108－≤108－72， 所以当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 　　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 规律方法 对点练7．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝_______时，矩形花坛AMPN的面积最小. 4米 设BM＝x(x＞0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，所以矩形AMPN的面积为S＝(4＋x) ＝24＋3x＋≥24＋2 ＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.所以当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小. 返回 随堂评价 返回 1.已知函数y＝x＋(x＞1)，则函数的最小值等于 A.4 B.4＋1 C.5 D.9 √ 因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5. 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立.故选C. 2.已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为 A. B. C. D. √ 因为0＜x＜1，所以3－3x＞0，所以x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤× 2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号. 3.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_________. 因为x＞0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝， 即，故a≥. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为_____. 400 由题意设矩形花园的长为x(x＞0)，宽为y(y＞0)，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 返回 课时分层评价 返回 1.3x2＋的最小值是 A.3－3 B.3 C.6 D.6－3 √ 3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若0＜x＜，则x的最大值为 A.1 B. C. D. √ 因为0＜x＜，所以1－4x2＞0， 所以x＝×2x＝≤×＝， 当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的 A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 √ 设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2 ＝4，当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 因为不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立， 所以(x＋y)≥1＋a＋2＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4， 故正实数a的最小值为4. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.若实数x，y满足xy＞0，则的最大值为 A.2－ B.2＋ C.4＋2 D.4－2 √ ＝＝＝1＋＝1＋≤ 1＋＝4－2，当且仅当＝时等号成立. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a＜b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是 A.a＜v＜ B.v＝ C.＜v＜ D.v＝ √ √ 设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝＝＝.又v－a＝－a＝＝＞0，所以v＞a，所以a＜v＜.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元. 160 设底面矩形的一边长为x m，由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为 m. 记容器的总造价为y元，则 y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立. 因此当x＝2时，y取得最小值为160， 即容器的最低总造价为160元. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为____. 9 ＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立.故的最小值为9. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知x，y都是正数. (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； 解：因为3x＋2y＝12， 所以xy＝·3x·2y≤×＝6， 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时等号成立. 所以xy的最大值为6. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)若x＋2y＝3，求的最小值. 解：因为x＋2y＝3，所以1＝， 所以＝＝≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝， 即x＝3－3，y＝3－时取等号， 所以的最小值为1＋. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x(x∈N＋且x＞1)年花在该项目的其他费用(不包括收购费用)为x(x＋20)万元，该项目每年运行的总收入为50万元. (1)试问该项目运行到第几年开始盈利？ 解：设项目运行到第x年的盈利为y万元， 则y＝50x－x(x＋20)－81＝－x2＋30x－81， 由y＞0，得x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27， 所以该项目运行到第4年开始盈利. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案： ①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出； ②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出. 假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由. 解：方案①y＝－x2＋30x－81＝－(x－15)2＋144， 当x＝15时，y有最大值144. 即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为144＋56＝200 万元. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 方案②＝－x＋30－＝30－≤30－2＝12， 当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立. 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12×9＋92＝200万元. 综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是 A.(a＋b)2≥4ab B.当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C.(a－b)2≤4ab D.(a＋b)2＞(a－b)2 √ 由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2＞(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则 A.的最大值为4 B.的最大值为 C.的最大值为 D.a2＋b2的最小值为 √ √ √ 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，＝(a＋b)＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝ b＝时等号成立，故A错误；对于B，0 ＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对于C，因为()2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，所以≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立.故D正确.故选BCD. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.1　相等关系与不等关系 返回 $