第2章 §2.2 从函数观点看一元二次方程（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦二次函数零点概念、与一元二次方程的关系、参数范围及表达式求解等核心知识点，从回顾一元二次方程求根公式和根与系数关系切入，通过问题引导建立函数零点与方程根、图象交点的联系，经知识梳理表格系统化，再结合例题和跟踪训练形成完整学习支架。 该资料亮点在于融入数学文化激发兴趣，导语提及祖冲之、《九章算术》培养数学眼光中的创新意识。问题设计层层递进，引导学生用数学思维推理函数与方程关系，例题中分类讨论参数提升逻辑思维，课时对点练帮助学生用数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

学习目标　1.理解函数零点的概念.2.掌握一元二次函数的表达式与图象.3.理解二次函数与一元二次方程的关系. 导语 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达.既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了，实际上，对于求解一元二次方程的方法很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法，请同学们看下面的问题1. 一、二次函数的零点 问题1　请同学们写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式以及根与系数的关系？ 提示　x＝x1＋x2＝－ x1x2＝. 问题2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？ 提示　当判别式Δ分别为Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，二次函数的图象与x轴分别有2个交点，1个交点，0个交点. 知识梳理 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标. 注意点： (1)函数的零点不是点，而是一个实数. (2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，对应的二次函数有唯一零点. 例1　求下列函数的零点. (1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1. 解　(1)由2x2－3x－2＝0得(2x＋1)(x－2)＝0， 所以x＝－或x＝2. 所以函数y＝2x2－3x－2的零点为－和2. (2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应的方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2. 当Δ>0，即a>－且a≠0时， 由ax2－x－1＝0得x＝或x＝ 函数有两个零点和. 综上，当a＝0时，函数的零点为－1； 当a<－时，函数无零点； 当a＝－时，函数的零点为－2； 当a>－且a≠0时，函数有两个零点和. 反思感悟　(1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程的实数根就是函数的零点. (2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点. (3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不为零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根，若可以因式分解，则一定存在零点； ③若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等. 跟踪训练1　求下列函数的零点. (1)y＝x2＋x－1； (2)y＝ax2＋(a＋1)x＋1(a≠0). 解　(1)令x2＋x－1＝0，Δ＝1－(－4)＝5>0， 所以方程有两个不相等的实数根，为x＝ 所以函数y＝x2＋x－1的零点为. (2)令ax2＋(a＋1)x＋1＝0， 即(ax＋1)(x＋1)＝0，得x＝－或x＝－1， 当－＝－1即a＝1时，方程有两个相等的实数根x＝－1， 当a≠1时，方程有两个不相等的实数根x＝－和x＝－1， 所以当a＝1时，函数的零点为－1， 当a≠1时，函数的零点为－和－1. 二、由方程的根的个数求参数的范围 例2　(课本例1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，顶点坐标为(2，2). 根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解　(1)观察图象可知，二次函数的图象与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，故方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝1，x2＝3. (2)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝k有两个不同的交点.如图，作直线y＝k，可以发现只有k<2时才能使二次函数的图象与直线y＝k有两个不同交点，于是k<2. 例2　已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3 答案　D 解析　由题意可知k－3≠0， 且(k－3)x2＋2x＋1＝0有实数根， ∴Δ＝4－4(k－3)≥0，即k≤4，综上，k≤4且k≠3. 延伸探究1　若把例题中的“二次函数”去掉，求k的取值范围. 解　此时k－3可以为0，故有k≤4. 延伸探究2　若函数与x轴有两个交点，求k的取值范围. 解　Δ>0，故有k<4且k≠3. 延伸探究3　若函数与x轴无交点，求k的取值范围. 解　Δ<0，故有k>4. 反思感悟　(1)会通过Δ的符号判断二次函数的图象与x轴交点的个数. (2)二次项含参数时，要注意题目中是否强调是二次函数，如没有强调，需分类讨论. 跟踪训练2　若函数y＝ax2－(2a－1)x＋a有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解　令ax2－(2a－1)x＋a＝0， 因为函数y＝ax2－(2a－1)x＋a有两个不同的零点，所以 解得a<且a≠0， 所以实数a的取值范围是a<且a≠0. 三、求二次函数的表达式 例3　(课本例2)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，－3)，与x轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式. 解　由二次函数的图象与y轴交于点A(0，－3)知，c＝－3. 设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是一元二次方程x2＋bx－3＝0的两个根，由根与系数的关系知 x1＋x2＝－b，x1x2＝－3， 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝b2＋6＝15， 解得b＝±3. 故所求二次函数的表达式为y＝x2＋3x－3或y＝x2－3x－3. 例3　已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件： ①对称轴为x＝1； ②y的最大值为15； ③ax2＋bx＋c＝0的两个根立方和为17. 求二次函数的表达式. 解　根据条件①②设二次函数的表达式为 y＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋a＋15(a<0). 设方程ax2－2ax＋a＋15＝0的两个根为x1，x2， 则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋. 由＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝17， 可得2＝17，解得a＝－6. 所以所求函数表达式为y＝－6x2＋12x＋9. 反思感悟　二次函数解析式的求法，注意两根式的设法，常见的还有一般式，顶点式，要熟练掌握二次函数的相关性质. 跟踪训练3　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝时，y取最小值－且方程ax2＋bx＋c＝0的两根之差为7，求此二次函数的解析式. 解　依题意，设y＝a(a>0)， 即y＝ax2－ax＋a－ 设其两个零点为x1，x2， 则x1＋x2＝1，x1·x2＝ 依题意，|x1－x2|＝7， 两边平方并化简得(x1＋x2)2－4x1x2＝49， 所以12－4＝49，解得a＝1. 所以二次函数解析式为y＝x2－x－12. 1.知识清单： (1)二次函数的零点. (2)由方程的根的个数求参数的范围. (3)求二次函数的表达式. 2.方法归纳：观察法、图象法. 3.常见误区：二次项含参数时，要注意是否需要对二次项系数进行分类讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.函数y＝x2－4x＋4的零点是(　　) A.(2，0) B.(0，4) C.±2 D.2 答案　D 2.若二次函数y＝x2＋2x－a只有一个零点，则a的值是(　　) A.1 B.－1 C. D.－ 答案　B 解析　由题意得，关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝22＋4a＝0，解得a＝－1. 3.已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则的值为(　　) A.－ B.2 C. D.－2 答案　D 解析　∵x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－1. ∴＝－2. 4.已知函数y＝2x2＋bx＋c的两个零点分别为－2，1，则函数的解析式为(　　) A.y＝2x2－2x－4 B.y＝2x2＋2x－4 C.y＝2x2－2x＋4 D.y＝2x2＋2x＋4 答案　B 解析　由题意知2x2＋bx＋c＝0的两个根为－2，1， 由根与系数的关系可知 解得 ∴函数的解析式为y＝2x2＋2x－4. 5.若关于x的一元二次方程x2－(m－1)x－m－2＝0中m为实数，则该方程(　　) A.没有实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根 D.可能有实数根 答案　C 解析　x2－(m－1)x－m－2＝0， ∴Δ＝(m－1)2＋4(m＋2)＝m2＋2m＋9＝(m＋1)2＋8>0， 故方程有两个不相等实数根. 6.(多选)若函数f(x)＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，则a的取值可以为(　　) A.2 B.3 C.3.4 D.3.6 答案　CD 解析　二次函数f(x)＝x2－4x＋a的对称轴为直线x＝2， 要使f(x)的零点都在(1，＋∞)内， 需 解得3<a<4，结合选项可知，C，D正确. 7.(5分)已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，1)，且过点(2，2)，则该二次函数解析式为　　　　.  答案　y＝(x－1)2＋1 解析　设二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2＋1(a≠0)， 将(2，2)代入上式，得2＝a(2－1)2＋1得a＝1， 所以y＝(x－1)2＋1. 8.(5分)已知a，b，c满足a＋c＝2b，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的零点的个数为　　　　　.  答案　1或2 解析　ax2＋2bx＋c＝0，∵2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0， ∴二次函数y＝ax2＋2bx＋c的零点的个数为1或2. 9.(10分)已知函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴分别交于点(1，0)，(2，0)，求函数y＝x2＋bx＋a的零点. 解　由题意，1，2是函数y＝x2＋ax＋b的零点， 所以x1＝1，x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的根， 所以所以 所以方程x2＋2x－3＝0的两个根为x1＝1， x2＝－3， 即函数y＝x2＋2x－3的零点为1，－3. 10.(10分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根. (1)求k的取值范围；(4分) (2)若此方程的两个实数根x1，x2满足＝11，求k的值.(6分) 解　(1)由题意，方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根， 则满足Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2＋k－1) ＝－8k＋5≥0，解得k≤ 即实数k的取值范围是. (2)由(1)可知k≤ 又由一元二次方程中根与系数的关系， 可得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， 因为＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝(2k－1)2－2(k2＋k－1) ＝2k2－6k＋3＝11， 所以k＝4或k＝－1， 又因为k≤所以k＝－1. 11.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 答案　B 解析　因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，所以a<0， 因为图象与y轴正半轴相交，所以c>0， 所以a·c<0，所以Δ＝b2－4ac>0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点. 12.已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个根，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 答案　A 解析　设y1＝(x－a)(x－b)， 则y1向上平移2个单位长度得到y的图象， 由图易知a<α<β<b. 13.(多选)函数y＝(1－k)x2－2x－1有唯一零点，则实数k的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　BC 解析　①当1－k＝0，即k＝1时，y＝－2x－1， 令－2x－1＝0得x＝－ 此时函数有唯一零点－； ②当1－k≠0时，函数有唯一零点， 则Δ＝4＋4(1－k)＝0，解得k＝2. 综上，实数k的值为1或2. 14.(5分)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是　　　　，　　　　　　　.  答案　x1＝1　x2＝2 解析　依题意，1是方程x2－3x＋m＝0的根， ∴1－3＋m＝0，∴m＝2，∴x2－3x＋2＝0， 即(x－1)(x－2)＝0，∴x1＝1，x2＝2. 15.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　) A.abc>0 B.3a>2b C.m(am＋b)≤a－b(m为任意实数) D.4a－2b＋c<0 答案　ABC 解析　∵抛物线开口向下，∴a<0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1， ∴b＝2a，∴b<0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c>0， ∴abc>0，∴A正确； ∵b＝2a， ∴2b－3a＝4a－3a＝a<0， 即2b<3a，∴B正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴当x＝－1时，y有最大值， ∴am2＋bm＋c≤a－b＋c(m为任意实数)， ∴m(am＋b)≤a－b(m为任意实数)， ∴C正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，抛物线与x轴的一个交点在点(0，0)和(1，0)之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－3，0)和(－2，0)之间， ∴当x＝－2时，y>0， ∴4a－2b＋c>0，∴D错误. 16.(12分)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0). (1)判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，说明理由.(4分) (2)若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个点，求该二次函数的表达式.(4分) (3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数的图象上，求证：a>0.(4分) (1)解　由题意， 在二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)中， 当y＝0时，ax2＋bx－(a＋b)＝0， ∵Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根. ∴该二次函数的图象与x轴交点的个数为两个或一个. (2)解　由题意及(1)得， 在二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)中， 图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个点， 当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0， ∴二次函数的图象不经过点C，经过点A，B， 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入二次函数得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1. (3)证明　在二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)中， 点P(2，m)(m>0)在该二次函数的图象上， ∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0， ① ∵a＋b<0， ∴－a－b>0， ② ①②相加得2a>0， ∴a>0. 学科网（北京）股份有限公司 $