专题2.2基本不等式（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题2.2 基本不等式 1.基本不等式的形式与成立条件(重点) 2.基本不等式的简单变形与拓展(重、难点) 3.对基本不等式核心条件的灵活应用和与复杂情境的结合，常因理解不深刻或转化能力不足导致错误(难点) 知识点1 基本不等式定义 一般地，对于正数a, b，我们把 称为a, b的算术平均数， 称为a, b的几何平均数．把不等式 称为基本不等式． 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 设，为正实数，若（积为定值），则当时，和有最 值为． 【答案】小 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由为正实数，若，则， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值为. 故答案为：小 知识点2 基本不等式(均值定理) 条件：对于任意正数a, b（即 ）； 结论：算术平均数不小于几何平均数，即 ； 等号成立条件：当且仅当 时，等号成立（即 ）。 明确算术平均数 、几何平均数 的定义，以及＂正数＂＂当且仅当＂等关键词的含义（＂当且仅当＂体现等号成立的充要条件）。 基本不等式的常见变形及常用结论 1．基本不等式的常见变形：． 2．基本不等式的常用结论： （1）同号），当且仅当时取等号；（a, b异号），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号． 下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 知识点3 最值定理 已知x, y都为正数，则 （1）如果积x y是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，积x, y有最大值． 最值定理简记:和定积最大,积定和最小. （1）利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正． 例如，当时，不能认为，事实上，当时，，当且仅当时，等号成立． ②二定：各项之和或各项之积为定值. 例如，当时，求的最小值，需变形为，这时为定值，且，且 当，即时，取得最小值，最小值为 4． ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备． 例如，，满足＂正＂和＂定＂的条件，但是取等号必须，即，这是不可能的，所以． （2）应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换． 题型一、由基本不等式比较大小 例1（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 1-1（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1-2（23-24高一上·北京·期中）设是两个正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型二、由基本不等式证明不等关系 例2（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2-1（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2-2（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2-3（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. 题型三、基本(均值)不等式求最值 例3（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3-1（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 3-2（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3-3（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 3-4（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 题型四、基本不等式求积的最大值 例4（24-25高一上·四川·期中）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 4-1（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 4-2（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．7 4-3（24-25高一上·河北·期中）已知实数，，满足，则的最大值为 . 4-4（24-25高一上·广东汕头·期中）设正数，满足，则的最大值是 . 题型五、基本不等式求和的最小值 例5（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5-1（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 5-2（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 5-3（24-25高一上·陕西西安·期中）对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是 . 5-4（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 题型六、二次与二次(或一次)的商式的最值 例6（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 6-1（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2） 设，求的最小值. 6-2（23-24高一上·江苏淮安·期中）（1）已知，求的最小值； （3） 已知，求的最大值； 题型七、条件等式求最值 例7（24-25高一上·安徽·期中）已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 7-1（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 7-2（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 7-3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 7-4（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 题型八、基本不等式的恒成立问题 例8（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 8-1（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8-2（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 8-3（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 8-4（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 题型九、对勾函数求最值 例9（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 9-1（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 9-2（21-22高一上·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 9-3（21-22高一上·北京·期中）若，则函数的值域为 ． 题型十、基本(均值)不等式的应用 例10（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 10-1（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（    ） A． B． C． D． 10-2（24-25高一上·北京·期中）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 10-3（24-25高一上·云南昆明·期中）某生物制药公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本（元）与月处理量（吨）满足函数关系式．则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为（    ） A．80吨 B．100吨 C．120吨 D．150吨 10-4（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 10-5（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 10-6（24-25高一上·贵州六盘水·期中）如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长．如果可供建造围墙的材料总长是，则当宽为 时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是 ． 10-7（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 2．已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 3．已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 4．设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 7．设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 多选题 8．已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 9．已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 12．已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是 ． 13．已知，则的最大值 . 14．已知、为正实数，且，则的最小值是 . 15．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 16．（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 17．若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 18如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式 1.基本不等式的形式与成立条件(重点) 2.基本不等式的简单变形与拓展(重、难点) 3.对基本不等式核心条件的灵活应用和与复杂情境的结合，常因理解不深刻或转化能力不足导致错误(难点) 知识点1 基本不等式定义 一般地，对于正数a, b，我们把 称为a, b的算术平均数， 称为a, b的几何平均数．把不等式 称为基本不等式． 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 设，为正实数，若（积为定值），则当时，和有最 值为． 【答案】小 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由为正实数，若，则， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值为. 故答案为：小 知识点2 基本不等式(均值定理) 条件：对于任意正数a, b（即 ）； 结论：算术平均数不小于几何平均数，即 ； 等号成立条件：当且仅当 时，等号成立（即 ）。 明确算术平均数 、几何平均数 的定义，以及＂正数＂＂当且仅当＂等关键词的含义（＂当且仅当＂体现等号成立的充要条件）。 基本不等式的常见变形及常用结论 1．基本不等式的常见变形：． 2．基本不等式的常用结论： （1）同号），当且仅当时取等号；（a, b异号），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号． 下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 知识点3 最值定理 已知x, y都为正数，则 （1）如果积x y是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，积x, y有最大值． 最值定理简记:和定积最大,积定和最小. （1）利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正． 例如，当时，不能认为，事实上，当时，，当且仅当时，等号成立． ②二定：各项之和或各项之积为定值. 例如，当时，求的最小值，需变形为，这时为定值，且，且 当，即时，取得最小值，最小值为 4． ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备． 例如，，满足＂正＂和＂定＂的条件，但是取等号必须，即，这是不可能的，所以． （2）应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换． 题型一、由基本不等式比较大小 例1（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，得，则， 取，，，显然成立，而， 因此成立，不一定成立，所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 1-1（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 1-2（23-24高一上·北京·期中）设是两个正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】若正实数满足，则； 反之，取，满足，而， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确. 故选：A. 题型二、由基本不等式证明不等关系 例2（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2-1（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，，充分性满足， 但时，如，但，必要性不满足， 应为充分不必要条件， 故选：A 2-2（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2-3（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可； （2）直接利用基本不等式求解即可； （3）先整理，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：因为、、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （3）由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 题型三、基本(均值)不等式求最值 例3（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，即最小值为1. 故选：A 3-1（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 3-2（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 3-3（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 3-4（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 题型四、基本不等式求积的最大值 例4（24-25高一上·四川·期中）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，由于都是正数，所以C选项错误. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：C 【点睛】方法点睛： 均值不等式的应用：通过均值不等式来求解和的最大值，是解这类题目的常用技巧，对基本不等式的理解和应用是求解此类问题的关键，在利用基本不等式求解最值问题时，要注意等号成立的条件. 4-1（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 4-2（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】先求得的最小值，由此列不等式来求得的范围，从而求得的最大值. 【详解】，当且仅当时等号成立， 所以， ， 而不等式恒成立，所以， 所以的最大值为. 故选：C 4-3（24-25高一上·河北·期中）已知实数，，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 故答案为：. 4-4（24-25高一上·广东汕头·期中）设正数，满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】设，，利用基本不等式可得，进而可得结果. 【详解】设，， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，即， 所以的最大值是. 故答案为：. 题型五、基本不等式求和的最小值 例5（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B. 5-1（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5-2（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 5-3（24-25高一上·陕西西安·期中）对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，根据定义有，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】设，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值是4. 故答案为：4. 5-4（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 题型六、二次与二次(或一次)的商式的最值 例6（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 6-1（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 6-2（23-24高一上·江苏淮安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 题型七、条件等式求最值 例7（24-25高一上·安徽·期中）已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【分析】根据基本不等式可求最值，也可构造函数，根据函数单调性可求最值. 【详解】方法一：因为，，则由基本不等式可得 ， 解得，当且仅当，时，等号成立； 方法二：由原式变形得，，则， 所以，令，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，无最大值； 故选：. 7-1（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 7-2（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案. 【详解】，且， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7-3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】，利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 7-4（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 题型八、基本不等式的恒成立问题 例8（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 8-1（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 8-2（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 8-3（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 8-4（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【分析】利用基本不等式求得的最小值，结合不等式恒成立，即可求得. 【详解】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 题型九、对勾函数求最值 例9（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 9-1（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】应用基本不等式求函数最小值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故函数最小值为. 故选：A 9-2（21-22高一上·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 【答案】 3 5 【分析】利用基本不等式求分式型函数的最小值，注意等号成立条件，即可知函数值最小时对应自变量x的值. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴时，函数最小值为. 故答案为：，. 9-3（21-22高一上·北京·期中）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求函数值域即可. 【详解】解：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以数的值域为 故答案为： 题型十、基本(均值)不等式的应用 例10（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 10-1（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这两年的平均增长率为，根据题意列出等式即可求解. 【详解】设这两年的平均增长率为, 则根据题意的， 求解可得. 故选：A 10-2（24-25高一上·北京·期中）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】依题意，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当最小时，的值为20. 故选：B 10-3（24-25高一上·云南昆明·期中）某生物制药公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本（元）与月处理量（吨）满足函数关系式．则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为（    ） A．80吨 B．100吨 C．120吨 D．150吨 【答案】B 【分析】首先求解平均处理成本的解析式，再根据基本不等式求取得最值时的的取值. 【详解】依题意，每吨的平均处理成本， 当且仅当，即时取等号， 所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最低． 故选：B． 10-4（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 10-5（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 10-6（24-25高一上·贵州六盘水·期中）如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长．如果可供建造围墙的材料总长是，则当宽为 时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是 ． 【答案】 【分析】设矩形的长为，则，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意知宽为，设长为，则， 面积，由基本不等式可得，，即， 解得，当且仅当，时，等号成立； 因此当宽为时，熊猫居室面积最大为. 故答案为：，. 10-7（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 2．已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】作差可得，利用基本不等式即可证明. 【详解】 . 因为， 所以. 因为， 所以，即. 故选：B. 3．已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两次使用基本不等式求解即可； 【详解】，，， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：C. 4．设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 7．设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 多选题 8．已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】对于A，对平方后利用基本不等式分析判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由于，再结合基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：BC 9．已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 10．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据的定义得到关于的不等式关系，再利用均值不等式求解的最小值. 【详解】因为，所以，. ，，都是正实数，则 即.可得. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用换元法和基本不等式，求得的最小值为，再利用一元二次方程的根与系数的关系，转化为不等式成立，即可求解. 【详解】设，则，且， 则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 又由方程的两根分别为且， 可得，所以，且， 因为对于，都有成立，即不等式成立， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知，则的最大值 . 【答案】0 【分析】将式子构造成可以使用均值不等式的形式，然后求出最大值. 【详解】因为，所以，那么. 将变形为. 对于，这里，因为，， 所以，当且仅当时取等号. 则. 故答案为：0. 14．已知、为正实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为、为正实数，由基本不等式可得， 即， 因为，所以，，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 15．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 16．（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【答案】（1）1 ；（2）6 ． 【分析】（1）由基本不等式求积的最大值； （2）运用常数分离法将所求式化简，利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． （2）当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6． 17．若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，满足均可）． (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”； （2）利用基本不等式证得结论成立； （3）根据题意可得，根据整数性分析判断即可. 【详解】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． （2）设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． （3）若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 18如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$