第2章 2.1.1 第1课时 等式与不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“等式与不等式”核心知识点，系统梳理用不等式（组）表示实际问题不等关系、作差法比较两实数大小、不等式（组）解决实际问题的内容。从生活实例引入，经问题分析抽象符号语言，通过例题与跟踪训练巩固方法，结合实际应用形成完整学习支架。 本资料特色在于以交通标志、身高比较等实例引导学生用数学眼光观察现实世界，抽象不等关系。通过作差法比较多项式大小的推理过程，培养数学思维的逻辑分析能力。实际应用环节如图书角组建问题，让学生用数学语言构建模型解决问题。课中例题助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

2.1.1　等式与不等式 第1课时　等式与不等式 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.能用不等式(组)解决实际生活中的简单问题. 导语 大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；再比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”. 一、用不等式(组)表示不等关系 问题1　生活中，我们经常在路上或桥上看到这些标志(如图)，你知道它们的意思吗？你能用数学式子表示它们吗？ 提示　①最低限速50 km/h，v≥50；②限制重量10 t，M≤10；③限制高度3.5 m，h≤3.5；④限制宽度3 m，x≤3；⑤通行时间7：30－10：00，7.5≤t≤10. 问题2　你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人； (2)某款聊天机器人在人机交互中的识别精确度不低于90%； (3)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮； (4)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图). 提示　(1) (2)设识别精确度为x，则x≥90%. (3)x<y. (4)设三角形的三边分别为a，b，c， 则 (5)CD<CE. 知识梳理 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 例1　京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车速度的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 解　设复兴号列车的速度、民航飞机的最低时速和普通客车的速度分别为v1，v2，v3. 则有 反思感悟　用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式. 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)不能超过4 m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 解　(1)0<h≤4. (2)a＋b≥0. (3) 二、作差法比较大小 问题3　我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 知识梳理 关于实数a与b大小的比较，有以下基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式； (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小； (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 例2　(课本例1)比较(x＋1)(x＋3)与(x＋2)2的大小. 解　因为(x＋1)(x＋3)－(x＋2)2 ＝(x2＋4x＋3)－(x2＋4x＋4) ＝－1<0， 所以(x＋1)(x＋3)<(x＋2)2. 例2　(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝. ∵≥0，∴≥>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 延伸探究　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. 反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤 跟踪训练2　比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小. 解　(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0， 所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2. 三、不等式的实际应用 例3　为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求出有哪些符合题意的组建方案. 解　设组建中型图书角x个，则组建小型图书角(30－x)个， 则 解得18≤x≤20，x∈N＋. 由于x只能取正整数， 所以x的取值可以是18，19，20. 当x＝18时，30－x＝12； 当x＝19时，30－x＝11； 当x＝20时，30－x＝10. 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个. 反思感悟　(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式. (2)根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式. 跟踪训练3　下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格.某球迷赛前准备用1 200元预订15张下表中球类比赛的门票. 比赛项目 票价(元/场) 足球 100 篮球 80 乒乓球 60 在准备资金允许的范围内和总门票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛的门票数. 解　设预定篮球比赛的门票数与乒乓球比赛的门票数都是n(n∈N＋)张，则足球比赛的门票预订了(15－2n)张， 由题意，得 解得5≤n≤. 由n∈N＋，得n＝5，所以15－2n＝5， 所以可以预订的足球比赛的门票数为5. 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)不等式的实际应用. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.下面能表示“a与b的和不小于5”的不等式为(　　) A.a＋b<5 B.a＋b>5 C.a＋b≤5 D.a＋b≥5 答案　D 解析　a与b的和不小于5，即a＋b≥5. 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 答案　BCD 解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B，C，D正确. 3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A.30x－60≥400 B.30x＋60≥400 C.30x－60≤400 D.30x＋40≤400 答案　B 4.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p，满足p2<2，q＝p－则p与q的大小关系为(　　) A.p<q B.p>q C.p＝q D.无法判断 答案　A 解析　因为p－q＝p－p＋ 而p2<2，p>0，所以p2－2<0，p＋2>0， 所以<0，即p<q. 5.已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M＝N D.M≥N 答案　B 解析　∵0<a1<1，0<a2<1， ∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0， ∴M>N. 6.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车(　　) A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 答案　B 解析　设A队有出租车x辆， 则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得 解得 则<x<11.而x为正整数，故x＝10. 7.(5分)某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为　　　　.  答案　499≤x≤501 解析　∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1， ∴499≤x≤501. 8.(5分)若x∈R，y∈R，则x2＋y2　　　　2xy－1.(填“>”或“<”)  答案　> 解析　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1 ＝(x－y)2＋1>0， 所以x2＋y2>2xy－1. 9.(10分)若a>0，b>0，求证：≥a＋b. 证明　－(a＋b)＝ 因为a>0，b>0， 所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立， 所以≥a＋b. 10.(11分)已知a>0，试比较a与的大小. 解　因为a－a>0， 所以当a>1时>0，有a>； 当a＝1时＝0，有a＝； 当0<a<1时<0，有a<. 综上所述，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 11.矩形ABCD的一组邻边长为a，b－c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a－c(a>b>c>0).按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为(　　) A.S1>S2 B.S1＝S2 C.S1<S2 D.不能确定 答案　C 解析　设空白处面积为S， 则S1＝a(b－c)－S，S2＝b(a－c)－S， 又c>0，且b－a<0， 所以S1－S2＝a(b－c)－S－b(a－c)＋S＝ab－ac－ab＋bc＝c(b－a)<0， 所以S1<S2. 12.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 答案　C 解析　设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则又a，b，c∈N＋，若c＝1，则a＋b≥3＋2＝5，不满足3c>a＋b；若c＝2，则a＋b≥4＋3＝7，不满足3c>a＋b；若c＝3，则a＋b≥5＋4＝9，不满足3c>a＋b；若c＝4，则a＋b≥6＋5＝11，满足3c>a＋b，则加入这三个协会的总人数至少为6＋5＋4＝15. 13.(多选)已知实数a，b，c，其中a>b>1，c>0，则下列关系中一定成立的是(　　) A.a2－bc>b2－ac B.< C.|a－c|>|b－c| D.a＋>b＋ 答案　ABD 解析　(a2－bc)－(b2－ac)＝(a2－b2)＋(ac－bc)＝(a－b)(a＋b＋c)>0，即a2－bc>b2－ac，故A正确； 由a>b>1，c>0，得<0， 则<0，即<故B正确； 当a＝3，b＝2，c＝5时，|a－c|<|b－c|，故C错误； 因为a＋＝(a－b)·>0，即a＋>b＋故D正确. 14.若a＝4d＋b＝4d2＋＋1，则(　　) A.a≥b B.a>b C.a＝b D.a<b 答案　D 解析　因为a＝4d＋b＝4d2＋＋1，则c≥0， 所以b－a＝(4d2＋＋1)－(4d＋)＝(4d2－4d＋1)＋() ＝(2d－1)2＋()≥0＋()>＝0， 所以b>a，即a<b. 15.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 答案　C 解析　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱， 所以576＝mx＋(78－x)(m－1)， 即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)， 因为0≤x≤78， 所以即 所以≤m≤ 根据选项知m＝8，x＝30， 所以买大竹子30根，每根8钱. 16.(12分)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解　设该单位职工有n人(n∈N＋)， 全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 所以y1－y2＝x＋nx－nx ＝x－nx＝x. 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠. 学科网（北京）股份有限公司 $