重难点专题1.2充要条件（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题02 充要条件 方法技巧 充分、必要条件的判断方法 (1)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． (2)集合法：(小集合可以推出大集合)若p对应的集合为A，q对应的集合为B， 若，则p是q的充分条件；若，则p是q的必要条件． 易错点：混淆充分条件和充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 本类题型结构为正序结构，标志词：“是”； (1)题干语言为：p是q的充分不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (2)题干语言为：p是q的必要不充分条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (3)题干语言为：p是q的充要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (4)题干语言为：p是q的既不充分也不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 1-1.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-2.(2025高一上·全国·专题练习)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-3.(25-26高一上·全国·单元测试)若，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-4.(2025高一上·全国·专题练习)下列说法正确的是( ) A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 1-5.(2025·浙江绍兴·二模)已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-6.(2025高一上·全国·专题练习)设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是(  ) A． B． C． D． 1-7.(24-25高一下·贵州毕节·阶段练习)已知集合，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-8.(24-25高二下·吉林长春·期末)“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-9.(2025·四川成都·三模)已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1-10.(24-25高二下·安徽合肥·期末)“”是“”的( )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1-11.(24-25高三下·陕西商洛·阶段练习)“一元二次方程有实数根”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-12.(24-25高三下·广东·开学考试)已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 1-13.(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则( ) A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 1-14.(2025高一·全国·专题练习)德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N(记为集合A)与有理数集Q(记为集合B)存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 本类题型结构为倒序结构，标志词：“的”； (1)题干语言为：使p成立的充分不必要条件是q； 翻译为正序结构：q是p的充分不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (2)题干语言为：使p成立的必要不充分条件是q； 翻译为正序结构：q是p的必要不充分条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 2-1.(24-25高二上·安徽淮南·期中)命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2-2.(2025·上海浦东新·三模)，，请从以下选项中选出“”的充分条件( ) A． B． C． D． 2-3.(24-25高一上·山东潍坊·期末)若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 2-4.(24-25高二下·江西赣州·期末)设，则的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 2-5.(24-25高二下·河北秦皇岛·期末)“，成立”的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 2-6.(25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 2-7.(24-25高一下·广东揭阳·期末)若，则“”的一个充分不必要条件可以是( ) A． B． C． D． 2-8.(24-25高一下·四川眉山·期末)命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 2-9.(多选)(2025高一上·全国·专题练习)设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是( ) A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若(其中)，则“”是“”的充分条件 2-10.(25-26高一上·全国·单元测试)已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 2-11.(24-25高一下·广东广州·期末)使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 2-12.(24-25高一下·湖北黄石·阶段练习)已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 3-1.(24-25高二下·辽宁·阶段练习)命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 3-2.(24-25高一上·北京·阶段练习)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 3-3.(23-24高一上·四川绵阳·阶段练习)已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 3-4.(2025高一·全国·专题练习)已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 3-5.(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 3-6.(25-26高一上·全国·单元测试)已知，． (1)若，那么是的什么条件；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3-7.(24-25高二下·江西南昌·期末)已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 3-8.(23-24高一上·云南玉溪·期中)已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 3-9.(24-25高一上·江西宜春·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3-10.(24-25高一上·江西·期末)已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3-11.(24-25高一上·甘肃甘南·期末)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3-12.(24-25高一上·全国·周测)设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题02 充要条件 方法技巧 充分、必要条件的判断方法 (1)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． (2)集合法：(小集合可以推出大集合)若p对应的集合为A，q对应的集合为B， 若，则p是q的充分条件；若，则p是q的必要条件． 易错点：混淆充分条件和充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 本类题型结构为正序结构，标志词：“是”； (1)题干语言为：p是q的充分不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (2)题干语言为：p是q的必要不充分条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (3)题干语言为：p是q的充要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (4)题干语言为：p是q的既不充分也不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 1-1.(25-26高三上·广东深圳·开学考试)设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 1-2.(2025高一上·全国·专题练习)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定即可. 【详解】“好货不便宜”是“便宜没好货”的等价命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”， 所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A. 1-3.(25-26高一上·全国·单元测试)若，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】因为方程的根为或， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 1-4.(2025高一上·全国·专题练习)下列说法正确的是( ) A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.94【知识点】充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件、既不充分也不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，方程有实数根； 当时，若有实数根，则，即选项B正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足； 若，则，但不满足，即选项D正确.故选：D. 1-5.(2025·浙江绍兴·二模)已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、充分条件 【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件.故选：A 1-6.(2025高一上·全国·专题练习)设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是(  ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，B， 若，则，B， 若，则，B， ∴B的一个充分不必要条件是.故选：B 1-7.(24-25高一下·贵州毕节·阶段练习)已知集合，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】考虑的等价命题，求得的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合，因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 1-8.(24-25高二下·吉林长春·期末)“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】，但满足，不满足， 因此应为充分不必要条件，故选：A. 1-9.(2025·四川成都·三模)已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 1-10.(24-25高二下·安徽合肥·期末)“”是“”的( )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B【难度】0.94【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、判断命题的必要不充分条件 【分析】由充分条件和必要条件的概念，结合不等式性质分别判断即可. 【详解】由，当时，则，故充分性不成立； 由，可知，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 1-11.(24-25高三下·陕西商洛·阶段练习)“一元二次方程有实数根”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数根，则且，所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件.故选：A 1-12.(24-25高三下·广东·开学考试)已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意结合充分及必要条件的定义判断即可. 【详解】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2， 根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立， 若小王手中的两张卡牌编号均不小于3， 例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3， 故必要性不成立，故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选:A. 1-13.(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则( ) A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 【答案】AB【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，根据命题的逻辑推理可得，，但，故q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件即可求解. 【详解】因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件， 所以，，.因为s是r的充要条件，所以. 因为q是s的必要条件，所以. 综上可得，，，但， 即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件.故选：AB. 1-14.(2025高一·全国·专题练习)德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N(记为集合A)与有理数集Q(记为集合B)存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件．故答案为：充分不必要 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 本类题型结构为倒序结构，标志词：“的”； (1)题干语言为：使p成立的充分不必要条件是q； 翻译为正序结构：q是p的充分不必要条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 (2)题干语言为：使p成立的必要不充分条件是q； 翻译为正序结构：q是p的必要不充分条件； 翻译为数学语言：; 如果p表示的集合为A，而q表示的集合为B，则。 2-1.(24-25高二上·安徽淮南·期中)命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集，所以.故选：D 2-2.(2025·上海浦东新·三模)，，请从以下选项中选出“”的充分条件( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】充分条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项. 【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件； B.当满足，不满足，所以B不是充分条件； C.若，又因为，所以，所以C是充分条件； D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.故选：C 2-3.(24-25高一上·山东潍坊·期末)若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据全称命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是.故选：A 2-4.(24-25高二下·江西赣州·期末)设，则的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，， 所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，， 所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即， 所以是必要不充分条件，故D正确.故选：D. 2-5.(24-25高二下·河北秦皇岛·期末)“，成立”的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据不等式能成立得命题对应，再根据充分、必要性定义判断关系，即可得. 【详解】由，成立，只需在上能成立，所以， 所以是的必要不充分条件，是的充要条件， 是的充分不必要条件，是的既不充分也不必要条件.故选：C 2-6.(25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以，则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：.故选:C. 2-7.(24-25高一下·广东揭阳·期末)若，则“”的一个充分不必要条件可以是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选：A． 2-8.(24-25高一下·四川眉山·期末)命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集， 根据选项可知D选项符合题意.故选：D. 2-9.(多选)(2025高一上·全国·专题练习)设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是( ) A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若(其中)，则“”是“”的充分条件 【答案】CD【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用集合的关系和充分必要条件的定义逐一进行判定即可. 【详解】对于A，由，若，则且，但不一定属于，因此“”不是“”的必要条件，即选项A错误； 对于B，若，当时，则必须属于(否则)； 但时，也可能.因此“是的充分不必要条件，即选项B错误； 对于C：若“”是“”的充分不必要条件，则且， 即则是的真子集，即选项C正确； 对于D：由，若，则必有， 因此“”是“”的充分条件，故D正确；故选：CD. 2-10.(25-26高一上·全国·单元测试)已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】；【难度】0.85【知识点】充分条件、必要条件 【分析】设出两个集合，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案；由是的必要条件可得，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得，即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是．故答案为：-4， 2-11.(24-25高一下·广东广州·期末)使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 【答案】(答案不唯一)【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】由于，但不能得到， 所以使成立的一个充分而非必要的条件可以是， 事实上，使成立的一个充分而非必要的条件可以是，其中. 故答案为：(答案不唯一). 2-12.(24-25高一下·湖北黄石·阶段练习)已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2)或【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算 【分析】(1)分别求出，，再根据集合的交集运算即可； (2)由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】(1)， 当时，或． ． (2)因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 3-1.(24-25高二下·辽宁·阶段练习)命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以．故选：D． 3-2.(24-25高一上·北京·阶段练习)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，则， 即实数的最大值是.故答案为：. 3-3.(23-24高一上·四川绵阳·阶段练习)已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件，所以， 所以，故答案为：. 3-4.(2025高一·全国·专题练习)已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 3-5.(25-26高一上·全国·单元测试)已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.65 【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. (2)由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. (3)方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】(1)若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得，所以实数的取值范围为． (2)若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． (3)方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 3-6.(25-26高一上·全国·单元测试)已知，． (1)若，那么是的什么条件；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件(必要条件也正确)；(2) 【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、判断命题的必要不充分条件【分析】(1)根据集合关系判断是的必要不充分条件； (2)根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】(1)当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件(注：必要条件也正确)． (2)若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得，故实数的取值范围为． 3-7.(24-25高二下·江西南昌·期末)已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；(2)． 【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)利用交集运算即可求解； (2)利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】(1)当时，集合，又或． ∴或或．； (2)∵若，且是的充分不必要条件，∴ ，，则，解得:， 故的取值范围是． 3-8.(23-24高一上·云南玉溪·期中)已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)由构造不等式即可求解；(2)由构造不等式即可求解； 【详解】(1)非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； (2)存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 3-9.(24-25高一上·江西宜春·期中)已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65【知识点】并集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、补集的概念及运算 【分析】(1)求出集合，再求即可； (2)由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】(1)， 若，则集合，所以， 则=； (2)∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 3-10.(24-25高一上·江西·期末)已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】(1)先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； (2)根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】(1)当时，集合，则或 所以或或； (2)“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 3-11.(24-25高一上·甘肃甘南·期末)已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2)【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】(1)当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； (2)分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式(组)，综合可得出实数的取值范围. 【详解】(1)当时，集合，可得或， 因为，所以. (2)若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 3-12.(24-25高一上·全国·周测)设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】(1)根据条件可知，列不等式，即可求解； (2)首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】(1)， “”是“”的必要而不充分条件，所以 ，解得，即实数的取值范围为； (2)若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 15 页 重难点专题 02 充要条件 易错点：混淆充分条件和充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 是 �≠⊂� 是 �≠⊂� � = � 1-1.(25-26 高三上·广东深圳·开学考试)设 , Ra b ，则“ a b ”是“ a b ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 15 页 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据不等式性质可推断 a a b  ，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为 a a ，由 a b ，根据传递性可知 a a b  ， 因此“ a b ”能推出“ a b ”，因此充分性成立； 不妨取 2, 1a b   ，满足 a b ，但 a b 不成立，因此必要性不成立； 所以“ a b ”是“ a b ”的充分不必要条件.故选：A 1-2.(2025 高一上·全国·专题练习)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是 便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定即可. 【详解】“好货不便宜”是“便宜没好货”的等价命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”， 所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A. 1-3.(25-26 高一上·全国·单元测试)若 aR ，则“ 2a  ”是“   1 2 0a a   ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】因为方程   1 2 0a a   的根为1或 2， 所以“ 2a  ”是“   1 2 0a a   ”的充分不必要条件．故选：A. 1-4.(2025 高一上·全国·专题练习)下列说法正确的是( ) A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程 2 0ax bx c   有实数根”是“ 2 4 0b ac  ”的充要条件 C．“  a P Q”是“ a P Q  ”的必要不充分条件 D．“ x y ”是“ 2 2x y ”的既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.94【知识点】充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件、既不充分也不必要条件、 判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于 A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项 A 错误； 对于 B，当 0, 0a b  时，方程 2 0ax bx c   有实数根； 当 0a  时，若 2 0ax bx c   有实数根，则 2 4 0b ac  ，即选项 B 正确； 对于 C，若 P Q ，则 ( ) ( ) P Q P Q ，所以选项 C 错误； 第 3 页 共 15 页 对于 D，若 1, 1x y   ，有 x y ，但不满足 2 2x y ； 若 2, 1x y   ，则 2 2x y ，但不满足 x y ，即选项 D正确.故选：D. 1-5.(2025·浙江绍兴·二模)已知集合 A，B，C均为非空集合．若 a B 是 a A 的充分不必要条件，a A 是 a C 的充分不必要条件，则 a B 是 a C 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、充分条件 【分析】根据已知有 B是A的真子集，且A是C的真子集，即得 B是C的真子集，结合充分、必要性定义即 可得. 【详解】由 a B 是 a A 的充分不必要条件，即 B是A的真子集， 由 a A 是 a C 的充分不必要条件，即A是C的真子集， 所以 B是C的真子集，即 a B 是 a C 的充分不必要条件.故选：A 1-6.(2025 高一上·全国·专题练习)设集合  2| 6 0}, | 2 0}A x x x B x mx       ，则 B 是 A 的真子集的一 个充分不必要条件是( ) A． 20, 3 m      B． 20, 3 m       C． 20, ,1 3 m       D． 20, ,1 3 m      【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】解方程得 A，再分析 2 0mx   的根，得出 B是 A的子集时对应的m，再由充分不必要条件的概念， 真子集的概念得解. 【详解】   2| 6 0} 2, 3A x x x      ， 若 0m  ，则 B ，B≠⊂A， 若 1m  ，则  2B  ，B≠⊂A， 若 2 3 m   ，则  3B   ，B≠⊂A， ∴B≠ ⊂A的一个充分不必要条件是 20, 3 m       .故选：B 1-7.(24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习)已知集合    1,4, , 1,A m B m  ，则“ 4m  ”是“ A B A ” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、判断命题的充 分不必要条件 【分析】考虑 A B A 的等价命题 B A ，求得m的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合    1, 4, , 1,A m B m  ，因 A B A 等价于 B A ， 即 4m  或 1 m m m     ，解得 4m  或 0m  ，经检验符合题意； 第 4 页 共 15 页 所以“ 4m  ”是“ A B A ”的充分不必要条件.故选：A. 1-8.(24-25 高二下·吉林长春·期末)“ 0a b  ”是“ 6 6 a b  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】 0a b  1 1 6 6 a b a b     ，但 2, 3a b    满足 6 6 a b  ，不满足 0a b  ， 因此应为充分不必要条件，故选：A. 1-9.(2025·四川成都·三模)已知 ,m nR ，则“   1 1 0m n   ”是“  21 1 0m n    ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由 ( 1)( 1) 0m n   ，得 1m  或 1n  ，则 2( 1) | 1| 0m n    不一定成立，如 1, 2m n  ； 由 2( 1) | 1| 0m n    ，得 1m  且 1n  ，则 ( 1)( 1) 0m n   必成立， 所以“ ( 1)( 1) 0m n   ”是“ 2( 1) | 1| 0m n    ”的必要不充分条件.故选：B 1-10.(24-25 高二下·安徽合肥·期末)“ a b ”是“ 2 2ac bc ”的( )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B【难度】0.94【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、判断命题的必要不充分条件 【分析】由充分条件和必要条件的概念，结合不等式性质分别判断即可. 【详解】由 a b ，当 0c  时，则 2 2 0ac bc  ，故充分性不成立； 由 2 2ac bc ，可知 0c  ，所以 a b ，故必要性成立. 所以“ a b ”是“ 2 2ac bc ”的必要不充分条件.故选：B. 1-11.(24-25 高三下·陕西商洛·阶段练习)“一元二次方程 2 0ax bx c   有实数根”是“ 2 4 0b ac  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程 2 0ax bx c   有实数根，则 2 4 0b ac  且 0a  ，所以充分性成立； 由 2 4 0b ac  推不出 0a  ，即推不出方程 2 0ax bx c   一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程 2 0ax bx c   有实数根”是“ 2 4 0b ac  ”的充分不必要条件.故选：A 1-12.(24-25 高三下·广东·开学考试)已知小明和小王从 5张编号为1 5 的卡牌中依次不放回各抽取 2 张卡 牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为 3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于 3，则( ) 第 5 页 共 15 页 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意结合充分及必要条件的定义判断即可. 【详解】由小明手中的两张卡牌编号和为 3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为 1，2， 根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为3,4,5中的两个，均满足编号不小于 3，充分性成立， 若小王手中的两张卡牌编号均不小于 3， 例如 3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有 5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为 3， 故必要性不成立，故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选:A. 1-13.(多选)(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 p 是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的 充要条件，q 是 s 的必要条件，则( ) A．q 是 s 的充要条件 B．p是 s的充分不必要条件 C．q 是 s 的充分不必要条件 D．p是 s的充要条件 【答案】AB【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，根据命题的逻辑推理可得q r s q   ， p r s  ，但 s r p ¿ ，故 q 是 s 的充要 条件，p 是 s 的充分不必要条件即可求解. 【详解】因为 p是 r的充分不必要条件，q是 r的充分条件， 所以 p r ， r p¿ ， q r .因为 s 是 r 的充要条件，所以 s r . 因为 q是 s的必要条件，所以 s q . 综上可得， q r s q   ， p r s  ，但 s r p ¿ ， 即 q 是 s 的充要条件，p是 s的充分不必要条件.故选：AB. 1-14.(2025 高一·全国·专题练习)德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集 N(记为集 合A)与有理数集Q(记为集合B)存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“ x A ” 是命题“ x B ”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“ x A ”是命题“ x B ”的充分而不必要条件．故答案为：充分不必要 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 的 是 的 第 6 页 共 15 页 是 2-1.(24-25 高二上·安徽淮南·期中)命题 : 3 2p x   ，q: x ≤ �，若 q的一个充分不必要条件是 p，则 a的 取值范围是( ) A．  3,  B． 3,   C．  2, D．  2, 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合 3 2x x   是集合 x x a 的真子集，所以 2a  .故选：D 2-2.(2025·上海浦东新·三模) a， Rb ，请从以下选项中选出“ a b ”的充分条件( ) A．3 4a b B． 2 2a b C． | |a b D． 2 3a b 【答案】C【难度】0.85【知识点】充分条件、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项. 【详解】A.若 4, 3.5a b    ，满足3 4a b ，不满足 a b ，故 A不是充分条件； B.当 2, 1a b   满足 2 2a b ，不满足 a b ，所以 B 不是充分条件； C.若 a b ，又因为 b b ，所以 a b ，所以 C 是充分条件； D. 3a   ， 2b   ，满足 2 3a b ，不满足 a b ，故 D不是充分条件.故选：C 2-3.(24-25 高一上·山东潍坊·期末)若命题 p：“  1,2x   ， 2 1m x  ”.使命题 p为假命题的一个必要 不充分条件是( ) A． 1, B．  , 2 C．  1, D．  ,5 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据全称命题的真假求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由命题 p为真求出m的范围，再结合选项求出命题 p为假命题的必要不充分条件. 【详解】  1,2x   ， 2 1m x  ，而 2 min( 1) 1x   ，当且仅当 0x  时取等号，则 1m  ， 因此命题 : 1p m  ，命题 p为假命题时， 1m  ， 由给定的选项知，集合 (1, ) 真包含于集合 [1, ) ， 所以使命题 p为假命题的一个必要不充分条件是[1, ) .故选：A 2-4.(24-25 高二下·江西赣州·期末)设 ,a bR ，则 a b 的一个必要不充分条件是( ) A． 1 1 a b  B． 3 3a b C． 2 2a b D． 3 2 2 3a b a b≤ 【答案】D【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于 A：当 0a b  时， 1 1 a b  ，由 1 1 0b a a b ab     ，所以当 0ab  时，b a ， 第 7 页 共 15 页 所以 1 1 a b  是 a b 的既不充分也不必要条件，故 A 错误； 对于 B：由于 3y x 在R 上为增函数，由 3 3a b 有 a b ，当 a b 时， 3 3a b ， 所以 3 3a b 是 a b 的充要条件，故 B 错误； 对于 C：由 2 2a b 有 a b ，所以0 a b  或0 a b  ， 所以 2 2a b 是 a b 的既不充分也不必要条件，故 C 错误； 对于 D：由  3 2 22 23 0a b a b a b a b    有 a b ，当 a b 时，  3 2 22 23 0a b a b a b a b    ，即 3 2 2 3a b a b≤ ， 所以 3 2 2 3a b a b≤ 是 a b 必要不充分条件，故 D 正确.故选：D. 2-5.(24-25 高二下·河北秦皇岛·期末)“  1,2x   ， 2 2 xa  成立”的一个充分不必要条件是( ) A． 1a   B． 0a  C．0 2a  D． 2a  【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据不等式能成立得命题对应 0a  ，再根据充分、必要性定义判断关系，即可得. 【详解】由  1,2  x ， 2 2 xa  成立，只需 2 2 xa  在  1,2x  上能成立，所以 2 min( ) 02 xa   ， 所以 1a   是 0a  的必要不充分条件， 0a  是 0a  的充要条件， 0 2a  是 0a  的充分不必要条件， 2a  是 0a  的既不充分也不必要条件.故选：C 2-6.(25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习)命题“ 2[1 2] 0x x a  ，， － ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． 4a  B． 4a  C． 4a  D． 4a  【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】求出命题“ 2[1 2] 0x x a  ，， － ”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由 2 0x a － 可得： 2a x ， 当 [1, 2]x 时，  2 max 4x  ，所以 4a  ，则 a的取值范围为  4A a a  ， 满足其一个充分不必要条件的集合为 B，则： B为A的真子集, 故其一个充分不必要条件是： 4a  .故选:C. 2-7.(24-25 高一下·广东揭阳·期末)若 ,x yR ，则“ x y ”的一个充分不必要条件可以是( ) A． 1 x y B． 0x y  C． 1 x y  D． | | | |x y> 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于 A，因为 1 x y ，所以 1x y y   ，即 x y ， 当 x y 时，取 2.5, 2x y  ，则 1x y  ， 所以“ 1 x y ”是“ x y ”的一个充分不必要条件，故 A正确； 对于 B， 0x y  即 x y ，“ 0x y  ”是“ x y ”的充要条件，故 B 错误； 对于 C，由 1 x y  ，取 2, 1x y    ，则 x y ， 第 8 页 共 15 页 由 x y ，取 1, 2x y   ，则 1 x y  ， 所以“ 1 x y  ”是“ x y ”的既不充分也不必要条件，故 C 错误； 对于 D，由 | | | |x y> ，取 2, 1x y   ，则 x y ， 由 x y ，取 1, 2x y   ，则 | | | |x y ， 所以“ | | | |x y> ”是“ x y ”的既不充分也不必要条件，故 D错误．故选：A． 2-8.(24-25 高一下·四川眉山·期末)命题“  1,2x   ， 21 02 x a  ”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A． 0a  B． 1a   C． 0a  D． 1a  【答案】D【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵  1,2x  ，∴  2 0,4x  . 若命题“  1,2x   ， 21 0 2 x a  ”是真命题，则 min 21 2 a x      ，即  0,a  . 命题“  1,2x   ， 21 0 2 x a  ”是真命题的充分不必要条件对应 a的范围是  0, 的真子集， 根据选项可知 D选项符合题意.故选：D. 2-9.(多选)(2025 高一上·全国·专题练习)设全集为U，集合A， B，C是U的子集，且 A ，B  . 则下列命题正确的是( ) A．若 A B ，则“ x A ”是“ x B C  ”的必要条件 B．若 A B U  ，则“ x A ”是“ x B ”的充要条件 C．若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，则A是 B的真子集 D．若 ( ) ( )  A B C C (其中   , | ,A B x y x A y B    )，则“ ( , )a b A B  ”是“ ( , ) a b C C”的充分条件 【答案】CD【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分 条件 【分析】利用集合的关系和充分必要条件的定义逐一进行判定即可. 【详解】对于 A，由 A B ，若 x B C  ，则 x B 且 x C ，但 x不一定属于A，因此“ x A ”不是“ x B C  ” 的必要条件，即选项 A 错误； 对于 B，若 A B U  ，当 x A 时，则 x必须属于 B (否则 x U )； 但 x B 时，也可能 x A .因此“ x A 是 x B 的充分不必要条件，即选项 B 错误； 对于 C：若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，则 A B 且 A B ， 即则A是 B的真子集，即选项 C 正确； 对于 D：由 ( ) ( )  A B C C ，若 ( , )a b A B  ，则必有 ( , ) a b C C， 因此“ ( , )a b A B  ”是“ ( , ) a b C C”的充分条件，故 D 正确；故选：CD. 2-10.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 : 3 4x m   或 x m  ， : 2x  或 4x  ．若 是  的充分条件， 则实数m的最大值为 ；若 是  的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 第 9 页 共 15 页 【答案】 4 ；  1,  【难度】0.85【知识点】充分条件、必要条件 【分析】设出两个集合，若 是 的充分条件，则 A B ，从而得到不等式，求出答案；由 是  的必要条 件可得 B A ，分 A  R 和 A  R 两种情况，得到不等式，求出m的取值范围. 【详解】  3 4A x x m   或 x m  ，  2B x x  或 4x  ， 若 是  的充分条件，则 A B ，所以 3 4 2, 4, m m      ，解得 4m   ，即实数m的最大值是 4 ； 若 是  的必要条件，则B A ， ①当3 4m m   ，即 1m  时， A  R ，此时B A 成立； ②当3 4m m   ，即 1m≤ 时， A  R ， 若 B A ，则 3 4 2, 4, m m      ，解得 2m≥ ，又 1m≤ ，故无解， 综上，m的取值范围是  1,  ．故答案为：-4，  1, 2-11.(24-25 高一下·广东广州·期末)使 a b 成立的一个充分而非必要的条件是 ． 【答案】 1a b  (答案不唯一)【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】由于 1 1a b a b b      ，但 a b 不能得到 1a b  ， 所以使 a b 成立的一个充分而非必要的条件可以是 1a b  ， 事实上，使 a b 成立的一个充分而非必要的条件可以是 a b c  ，其中 0c  . 故答案为： 1a b  (答案不唯一). 2-12.(24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习)已知集合 { | 1 3}A x x    ， { | 1B x x m   或 1}x m  (1)当 0m  时，求 A B ； (2)若 : 1 3p x   ， : 1q x m  或 1x m  ，且 p的必要不充分条件是 q，求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) { |1 3}A B x x    ；(2) 2m   或 4m  【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算 【分析】(1)分别求出A， B，再根据集合的交集运算即可； (2)由于 q是 p的必要不充分条件，可知A是 B的真子集，再根据集合关系求出m的范围即可． 【详解】(1) { | 1 3}A x x    ， 当 0m  时， { | 1B x x  或 1}x   ． { |1 3}A B x x     ． (2)因为 :p 1 3x   ， :q 1x m  或 1x m  ． q是 p的必要不充分条件，所以 1 3m  或 1 1m   ， 所以 2m   或 4m ． 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 第 10 页 共 15 页 3-1.(24-25 高二下·辽宁·阶段练习)命题 : 5 3, :p x q x a    ，若 p是 q的充分不必要条件，则 a的取值 范围是( ) A．  5,  B． 5,  C．  3, D．  3, 【答案】D【难度】0.94【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合 5 3x x  ∣ 是集合 x x a∣ 的真子集，所以 3a  ．故选：D． 3-2.(24-25 高一上·北京·阶段练习)若“ 1x  或 3x   ”是“ x a ”的必要不充分条件，则实数 a的最大 值是 ． 【答案】 3 【难度】0.85【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】设  1A x x  或 3x   ，  B x x a  ，由题意可得 B是A的真子集，即可得实数 a的取值范围， 可得 a的最大值. 【详解】设  1A x x  或 3x   ，  B x x a  ， 因为“ 1x  或 3x   ”是“ x a ”的必要不充分条件，所以 B是A的真子集，则 3a   ， 即实数 a的最大值是 3 .故答案为： 3 . 3-3.(23-24 高一上·四川绵阳·阶段练习)已知集合 { | 3}A x x  ，集合 { | }B x x a  ，若“ x A ”是“ x B ” 的充分条件，则实数 a的取值范围是 【答案】 ( ,3] 【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件 【分析】由题意得 A B ，建立不等式即可求解 a的取值范围； 【详解】因为“ x A ”是 “ x B ”的充分条件，所以 A B ， 所以 3a  ，故答案为： ( ,3] . 3-4.(2025 高一·全国·专题练习)已知集合  2 4P x x＝ ＜ ＜ ，  3 2 5 2 RQ x m x m m    ＋ ， ．若 P 的充 分条件为 Q，则实数 m 的取值范围为 ． 【答案】 2| 2 0 5 m m m        或 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题干条件可知 Q 是 P 的子集，可分为当Q为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得 答案. 【详解】由已知，P的充分条件为 Q，则 Q 是 P 的子集， 当3 2 5 2m m   时，即 2m   时，Q  ，满足题意； 当3 2 5 2m m   ，即 2m   时，由题意得 3 2 2 5 2 4 m m       ，解得 20 5 m  ， 综上，m 的取值范围是 2| 2 0 5 m m m        或 ． 3-5.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知集合  1 3A x x   ，集合  2 1B x m x m    ． 第 11 页 共 15 页 (1)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若命题“ x B  ，都有 x A ”是真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题“ x A  ， x B ”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)  , 2  ；(2) 1 , 3    ；(3)  , 0 【难度】0.65 【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)由题意得A是 B的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. (2)由已知条件得集合 ,A B的关系，然后按照 B 和 B  分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. (3)方法一：由题意 A B   ，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意 A B   ，先求 A B   时m的取值范围，求解时按照 B 和 B  分类讨论，根据集 合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】(1)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，则A是 B的真子集， 所以 2 1 1 3 m m     ，解得 2m   ，所以实数m的取值范围为  , 2  ． (2)若命题“ x B  ，都有 x A ”是真命题，则 B是A的子集． 当 B 时，满足 B A ，此时 2 1m m³ - ，得 1 3 m  ； 当 B  时，若 B A ，则 2 1 2 1 1 3 m m m m        ，不等式组无解． 综上，实数m的取值范围为 1 , 3    ． (3)方法一：“ x A  ， x B ”是真命题，则 A B   ，所以 B  ，所以 1 3 m  ． 所以 2 3 1 1 1 3 m m m           ，解得 0m  ，所以实数m的取值范围为  ,0 ． 方法二：“ x A  ， x B ”是真命题，则 A B   ． 当 A B   时，若 B ，则 1 3 m  ； 若 B  ，则 1 3 2 3 m m      或 1 3 1 1 m m       ，解得 10 3 m  ． 综上，当 A B   时， 0m  ． 所以当 A B   时， 0m  ，即实数m的取值范围为  ,0 ． 3-6.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 : 2 6p x   ， : 1q m x m   ． (1)若 2m  ，那么 p是 q的什么条件；(2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 第 12 页 共 15 页 【答案】(1)必要不充分条件(必要条件也正确)；(2) 2,5 【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、判断命题的必要不充分 条件【分析】(1)根据集合关系判断 p是 q的必要不充分条件； (2)根据 p是 q的必要不充分条件，得 1x m x m  ∣ 是 2 6x x   的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】(1)当 2m  时， : 2 3q x  ， 显然 2 3x x ∣ 是 2 6x x  ∣ 的真子集， 所以 p是 q的必要不充分条件(注：必要条件也正确)． (2)若 p是 q的必要不充分条件， 则 1x m x m  ∣ 是 2 6x x   的真子集， 则有 2, 1 6 m m      或 2, 1 6, m m      解得 2 5m   ，故实数m的取值范围为 2,5 ． 3-7.(24-25 高二下·江西南昌·期末)已知集合  | 2 2A x a x a     ，  0B x x  或 3x  ． (1)当 3a  时，求 A B ； (2)若 0a  ，且 x A 是 x ∈ ∁RB的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1) 1 0x x   或 3 5x  ；(2) 0 1a a  ． 【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)利用交集运算即可求解； (2)利用充分不必要条件转化为 A⊆ ∁RB，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】(1)当 3a  时，集合    2 2 1 5A x a x a x x         ，又  0B x x  或 3x  ． ∴  1 5A B x x       0x x  或 3x   1 0x x    或 3 5x  ．； (2)∵若 0a  ，且 x A 是 x ∈ ∁RB的充分不必要条件，∴A⊆ ∁RB   2 2 0A x a x a a      ，∁RB = x 0 < x < 3 ，则 2 0 2 3 0 a a a        ，解得:0 1a  ， 故 a的取值范围是 0 1a a  ． 3-8.(23-24 高一上·云南玉溪·期中)已知集合 { | 2 10}P x x    ，非空集合 { |1 1 }S x m x m     ． (1)若 x P 是 x S 的必要条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使 x P 是 x S 的充分条件，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 0,3 ；(2)存在， 9, 【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分 条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)由 S P 构造不等式即可求解；(2)由 P S 构造不等式即可求解； 【详解】(1)非空集合 { |1 1 }S x m x m     ．可得：1 1m m   ，解得： 0m  由 x P 是 x S 的必要条件，可得： S P , 第 13 页 共 15 页 所以 1 2 1 10 m m       ，解得： 3m  ，综上实数m的取值范围 0,3 ； (2)存在，由 x P 是 x S 的充分条件，则P S , 所以 1 2 1 10 m m       ，解得： 9m  ，所以实数m的取值范围 9, 3-9.(24-25 高一上·江西宜春·期中)已知集合  2 1 5A x x    ∣ ，集合   1 2 1B x m x m m     R∣ ． (1)若 3m  ，求∁�(� ∪ �)； (2)设命题 :p x A ；命题 :q x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)    , 1 6,    ；(2) 7, 2     【难度】0.65【知识点】并集的概念及运算、根据必要不充分条 件求参数、补集的概念及运算 【分析】(1)求出集合 ,A B，再求∁�(� ∪ �)即可； (2)由命题 p是命题 q的必要不充分条件得集合 B是集合A的真子集，再分 B 、 B  讨论可得答案. 【详解】(1)    2 1 5 1 6A x x x x        ∣ ∣ ， 若 3m  ，则集合  4 5B x x  ∣ ，所以  1,6A B   ， 则∁�(� ∪ �)=    , 1 6,     ； (2)∵命题 p是命题 q的必要不充分条件， ∴集合 B是集合A的真子集， 当 B 时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ， 当 B  时， 1 2 1 1 1 2 1 6 m m m m           ，或 1 2 1 1 1 2 1 6 m m m m           ，解得 72 2 m  ， 综上所述，实数m的取值范围为 7, 2     ． 3-10.(24-25 高一上·江西·期末)已知集合 { | 2 1}A x a x a     ， { | 6 4}B x x    ，全集 RU  ． (1)当 2a  时，求(∁RA) ∩ B； (2)若“ x B “是“ x A ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1)(∁RA) ∩ B = x −6 ≤ x < 0或3 4}x  ；(2) 4 3a   【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】(1)先求出特定 a值下集合A的补集，再与集合 B求交集； (2)根据必要不充分条件得出集合A与 B的包含关系，进而求出实数 a的取值范围. 【详解】(1)当 2a  时，集合 { | 0 3}A x x   ，则∁RA = x x < 0 或 3}x  所以(∁RA) ∩ B = x −6 ≤ x < 0或3 4}x  或3 4}x  ； (2)“ x B ”是“ x A ”的必要不充分条件，故 A 为 B的真子集， 第 14 页 共 15 页 则 2 1 2 6 1 4 a a a a           或 2 1 2 6 1 4 a a a a           ，解得 4 3a   . 3-11.(24-25 高一上·甘肃甘南·期末)已知集合  1 2 1P x a x a     ，  2 5Q x x    . (1)若 4a  ，求(∁RP) ∩ Q； (2)若“ x P ”是“x ∈ Q”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围. 【答案】(1) 2 5x x   ;(2) 2a a  【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】(1)当 4a  时，求出集合 P，利用补集和交集的定义可求得集合(∁RP) ∩ Q； (2)分析可知 P是Q的真子集，分 P 、P 两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数 a的不 等式(组)，综合可得出实数 a的取值范围. 【详解】(1)当 4a  时，集合  5 9P x x   ，可得∁RP = x x < 5或 9x  ， 因为  2 5Q x x    ，所以(∁RP) ∩ Q = x −2 ≤ x < 5 . (2)若“ x P ”是“ xQ ”的充分不必要条件，所以 P是Q的真子集， 当 1 2 1a a   时，即 0a  时，此时 P ，满足 P是Q的真子集； 当 P 时，则满足 2 1 1 2 1 5 1 2 a a a a           ，解得0 2a  ， 当 0a  时，  1P  ，此时 P是Q的真子集，合乎题意； 当 2a  时，  3 5P x x   ，此时 P是Q的真子集，合乎题意. 综上，实数 a的取值范围为 2a a  . 3-12.(24-25 高一上·全国·周测)设全集 RU  ，集合  | 3 2 1A x a x a     ，  |1 5B x x   ，其中 Ra ． (1)若“ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，求实数 a 的取值范围； (2)若命题“ x A  ，使得 x ∈ ∁RB”是真命题，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1) (3, 4]；(2) ( 2, )  【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、根据必要不 充分条件求参数 【分析】(1)根据条件可知 B≠⊂A，列不等式，即可求解； (2)首先求当 A ∩ (∁RB) = ∅时 a的取值范围，再求其补集. 【详解】(1)  |1 5B x x   ， “ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，所以 B≠⊂A 3 2 1 3 1 2 1 5 a a a a          ，解得3 4a  ，即实数 a的取值范围为 (3, 4]； (2)若命题“ x A  ，使得 x ∈ ∁RB”是假命题，则 A ∩ (∁RB) = ∅， 第 15 页 共 15 页  1 5B x x   ，∴ ∁RB = x x ≤ 1或 5}x  ， ①当 A   时， 3 2 1a a   ，解得 2a   ， ②当 A  时，则 3 2 1 3 1 2 1 5 a a a a          ，无解， 即命题为假命题时，实数 a的取值范围为 ( , 2]  ， 命题为真命题时，实数 a的取值范围为 ( 2, )  ． 第 1 页 共 8 页 重难点专题 02 充要条件 易错点：混淆充分条件和充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 题型一：充分条件、必要条件的判断(“是”字结构) 是 �≠⊂� 是 �≠⊂� � = � 1-1.(25-26 高三上·广东深圳·开学考试)设 , Ra b ，则“ a b ”是“ a b ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 8 页 1-2.(2025 高一上·全国·专题练习)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是 便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-3.(25-26 高一上·全国·单元测试)若 aR ，则“ 2a  ”是“    1 2 0a a   ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-4.(2025 高一上·全国·专题练习)下列说法正确的是( ) A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程 2 0ax bx c   有实数根”是“ 2 4 0b ac  ”的充要条件 C．“  a P Q”是“ a P Q  ”的必要不充分条件 D．“ x y ”是“ 2 2x y ”的既不充分也不必要条件 1-5.(2025·浙江绍兴·二模)已知集合 A，B，C均为非空集合．若 a B 是 a A 的充分不必要条件，a A 是 a C 的充分不必要条件，则 a B 是 a C 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-6.(2025 高一上·全国·专题练习)设集合  2| 6 0}, | 2 0}A x x x B x mx       ，则 B 是 A 的真子集的一 个充分不必要条件是( ) A． 20, 3 m      B． 20, 3 m       C． 20, ,1 3 m       D． 20, ,1 3 m      1-7.(24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习)已知集合    1,4, , 1,A m B m  ，则“ 4m  ”是“ A B A ” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-8.(24-25 高二下·吉林长春·期末)“ 0a b  ”是“ 6 6 a b  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 3 页 共 8 页 1-9.(2025·四川成都·三模)已知 ,m nR ，则“   1 1 0m n   ”是“  21 1 0m n    ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1-10.(24-25 高二下·安徽合肥·期末)“ a b ”是“ 2 2ac bc ”的( )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1-11.(24-25 高三下·陕西商洛·阶段练习)“一元二次方程 2 0ax bx c   有实数根”是“ 2 4 0b ac  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-12.(24-25 高三下·广东·开学考试)已知小明和小王从 5张编号为1 5 的卡牌中依次不放回各抽取 2 张卡 牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为 3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于 3，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 1-13.(多选)(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 p 是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的 充要条件，q 是 s 的必要条件，则( ) A．q 是 s 的充要条件 B．p是 s的充分不必要条件 C．q 是 s 的充分不必要条件 D．p是 s的充要条件 1-14.(2025 高一·全国·专题练习)德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集 N(记为集 合A)与有理数集Q(记为集合B)存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“ x A ” 是命题“ x B ”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 题型二：充分条件、必要条件的选择(“的”字结构) 的 是 的 是 第 4 页 共 8 页 2-1.(24-25 高二上·安徽淮南·期中)命题 : 3 2p x   ，q: x ≤ �，若 q的一个充分不必要条件是 p，则 a的 取值范围是( ) A．  3,  B． 3,   C．  2, D．  2, 2-2.(2025·上海浦东新·三模) a， Rb ，请从以下选项中选出“ a b ”的充分条件( ) A．3 4a b B． 2 2a b C． | |a b D． 2 3a b 2-3.(24-25 高一上·山东潍坊·期末)若命题 p：“  1,2x   ， 2 1m x  ”.使命题 p为假命题的一个必要 不充分条件是( ) A． 1, B．  , 2 C．  1, D．  ,5 2-4.(24-25 高二下·江西赣州·期末)设 ,a bR ，则 a b 的一个必要不充分条件是( ) A． 1 1 a b  B． 3 3a b C． 2 2a b D． 3 2 2 3a b a b≤ 2-5.(24-25 高二下·河北秦皇岛·期末)“  1,2x   ， 2 2 xa  成立”的一个充分不必要条件是( ) A． 1a   B． 0a  C．0 2a  D． 2a  2-6.(25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习)命题“ 2[1 2] 0x x a  ，， － ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． 4a  B． 4a  C． 4a  D． 4a  2-7.(24-25 高一下·广东揭阳·期末)若 ,x yR ，则“ x y ”的一个充分不必要条件可以是( ) A． 1 x y B． 0x y  C． 1 x y  D． | | | |x y> 2-8.(24-25 高一下·四川眉山·期末)命题“  1,2x   ， 21 02 x a  ”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A． 0a  B． 1a   C． 0a  D． 1a  2-9.(多选)(2025 高一上·全国·专题练习)设全集为U，集合A， B，C是U的子集，且 A ，B  . 则下列命题正确的是( ) A．若 A B ，则“ x A ”是“ x B C  ”的必要条件 B．若 A B U  ，则“ x A ”是“ x B ”的充要条件 C．若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，则A是 B的真子集 第 5 页 共 8 页 D．若 ( ) ( )  A B C C (其中   , | ,A B x y x A y B    )，则“ ( , )a b A B  ”是“ ( , ) a b C C”的充分条件 2-10.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 : 3 4x m   或 x m  ， : 2x  或 4x  ．若 是  的充分条件， 则实数m的最大值为 ；若 是  的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 2-11.(24-25 高一下·广东广州·期末)使 a b 成立的一个充分而非必要的条件是 ． 2-12.(24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习)已知集合 { | 1 3}A x x    ， { | 1B x x m   或 1}x m  (1)当 0m  时，求 A B ； (2)若 : 1 3p x   ， : 1q x m  或 1x m  ，且 p的必要不充分条件是 q，求实数 m 的取值范围. 题型三：已知充分条件、必要条件求参数范围 3-1.(24-25 高二下·辽宁·阶段练习)命题 : 5 3, :p x q x a    ，若 p是 q的充分不必要条件，则 a的取值 范围是( ) A．  5,  B． 5,  C．  3, D．  3, 3-2.(24-25 高一上·北京·阶段练习)若“ 1x  或 3x   ”是“ x a ”的必要不充分条件，则实数 a的最大 值是 ． 3-3.(23-24 高一上·四川绵阳·阶段练习)已知集合 { | 3}A x x  ，集合 { | }B x x a  ，若“ x A ”是“ x B ” 的充分条件，则实数 a的取值范围是 3-4.(2025 高一·全国·专题练习)已知集合  2 4P x x＝ ＜ ＜ ，  3 2 5 2 RQ x m x m m    ＋ ， ．若 P 的充 分条件为 Q，则实数 m 的取值范围为 ． 第 6 页 共 8 页 3-5.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知集合  1 3A x x   ，集合  2 1B x m x m    ． (1)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若命题“ x B  ，都有 x A ”是真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题“ x A  ， x B ”是真命题，求实数m的取值范围． 3-6.(25-26 高一上·全国·单元测试)已知 : 2 6p x   ， : 1q m x m   ． (1)若 2m  ，那么 p是 q的什么条件；(2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 3-7.(24-25 高二下·江西南昌·期末)已知集合  | 2 2A x a x a     ，  0B x x  或 3x  ． (1)当 3a  时，求 A B ； (2)若 0a  ，且 x A 是 x ∈ ∁RB的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 第 7 页 共 8 页 3-8.(23-24 高一上·云南玉溪·期中)已知集合 { | 2 10}P x x    ，非空集合 { |1 1 }S x m x m     ． (1)若 x P 是 x S 的必要条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使 x P 是 x S 的充分条件，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． 3-9.(24-25 高一上·江西宜春·期中)已知集合  2 1 5A x x    ∣ ，集合   1 2 1B x m x m m     R∣ ． (1)若 3m  ，求∁�(� ∪ �)； (2)设命题 :p x A ；命题 :q x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 3-10.(24-25 高一上·江西·期末)已知集合 { | 2 1}A x a x a     ， { | 6 4}B x x    ，全集 RU  ． (1)当 2a  时，求(∁RA) ∩ B； (2)若“ x B “是“ x A ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 第 8 页 共 8 页 3-11.(24-25 高一上·甘肃甘南·期末)已知集合  1 2 1P x a x a     ，  2 5Q x x    . (1)若 4a  ，求(∁RP) ∩ Q； (2)若“ x P ”是“x ∈ Q”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围. 3-12.(24-25 高一上·全国·周测)设全集 RU  ，集合  | 3 2 1A x a x a     ，  |1 5B x x   ，其中 Ra ． (1)若“ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，求实数 a 的取值范围； (2)若命题“ x A  ，使得 x ∈ ∁RB”是真命题，求实数 a 的取值范围．