第1章 集合与逻辑 综合拔高练-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本同步练习通过“高考真题练-高考模拟练-综合拔高练”三层设计，实现从基础巩固到综合应用再到创新拓展的知识进阶，适配单元复习中不同能力学生的需求，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|集合运算、充分条件、命题判断等基础考点|以高考真题为载体，聚焦单一知识点应用，如集合交并补运算、命题真假判断| |高考模拟练|集合应用、新定义问题、充要条件综合|包含应用实践（韦恩图、“鲸吞”“蚕食”新定义）和迁移创新（集合元素个数探究），培养数学建模与应用意识| |综合拔高练|复杂集合运算、逻辑推理深化|通过真题降维解析与关键点拨，强化分类讨论、化归转化等数学思维，提升综合解题能力|

综合拔高练 高考真题练 考点1　集合的基本运算 1.(2024全国甲文,1)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=(　　) A.{1,2,3,4}　　　　B.{1,2,3} C.{3,4}　　　　D.{1,2,9} 2.(2024北京,1)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(　　) A.{x|-1≤x<1}　　　　B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4}　　　　D.{x|x<4} 3.(2024全国甲理,2)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9}　　　　B.{3,4,9}　　　　 C.{1,2,3}　　　　D.{2,3,5} 4.(2023全国乙文,2)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=(　　) A.{0,2,4,6,8}　　　　B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8}　　　　D.U 考点2　集合基本运算的应用 5.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B①,则a=(　　) A.2　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1 ①对点突破:P227定点3 6.(2022全国乙理,1)设全集U={1,2,3,4,5}, 集合M满足∁UM={1,3},则(　　) A.2∈M　　　　B.3∈M　　　　C.4∉M　　　　D.5∉M 考点3　充分条件与必要条件的判定 7.(2023天津,2)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点4　命题及其真假判断 9.(2024新课标Ⅱ,2)已知命题 p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x①.则(　　)  A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 ①对点突破:P235定点1 高考模拟练 应用实践 1.(2025辽宁沈阳质量监测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|(x-1)(x-2)>0},则图中的阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|x≤1或x>2}　　　　B.{x|x<0或x≥1} C.{x|1≤x<2}　　　　D.{x|1<x≤2} 2.(2025陕西榆林期中)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方的子集,则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为(　　) A.　　　　B.{0,2} C.　　　　D. 3.(多选题)(2025贵州遵义航天高级中学期中)下列说法中,正确的是(　　) A.命题“存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题 B.命题“∀x∈Z,x2的个位上的数字不等于3”的否定是假命题 C.梯形ABCD是等腰梯形的充要条件是AC=BD D.设a,b,c∈R,则a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c 4.(多选题)(2025河北衡水期末)已知全集U={0,1,2,3,4,5},A是U的子集,当x∈A时,x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则下列说法正确的是(　　) A.若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素 B.若A中没有孤立元素,则A中最少有2个元素 C.若A中元素均为孤立元素,且仅有2个元素,则这样的集合A共有9个 D.若A中没有孤立元素,且仅有4个元素,则这样的集合A共有6个 5.(2025河南周口期中)小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况,其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目,18名同学不喜欢乒乓球,20名同学不喜欢跳水,16名同学不喜欢游泳,且每人至少喜欢一类体育项目,则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为(　　) A.26　　　　B.46　　　　C.28　　　　D.48 6.(2025北京朝阳期中)若命题“∃x0∈[-1,2],x0-a>0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  7.(2025浙江宁波期末)已知集合M={2,0,-1},N={x||x-a|<1}.若M∩N的真子集的个数是3,则实数a的取值范围是　　　　.  8.(2025甘肃兰州第五十八中学开学检测)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(∁RP)∩Q; (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件,求实数a的取值范围. 迁移创新 9.(2025北京房山期中)已知非空集合A⊆R,用|A|表示集合A中元素的个数.设S={a|a=x+y,x∈A,y∈A且x≠y},T={a|a=x-y,x∈A,y∈A且x>y}. (1)若A={1,2,3},直接写出S,T以及|A|,|S|,|T|的值; (2)若|A|=4,求|S|+|T|的最小值和最大值. 综合拔高练 高考真题练 1.A　依题意得,对于集合B中的元素x,满足x+1=1,2,3,4,5,9,则x可能的取值为0,1,2,3,4,8,即B={0,1,2,3,4,8},于是A∩B={1,2,3,4}. 2.C　在数轴上表示出两个数集,易求得它们的并集为{x|-3<x<4}. 3.D　∵∈A,A={1,2,3,4,5,9}, ∴x=1,4,9,16,25,81,∴B={1,4,9,16,25,81}, ∴A∩B={1,4,9},∴∁A(A∩B)={2,3,5}. 4.A　全集U={0,1,2,4,6,8},集合N={0,1,6},则∁UN={2,4,8},又M={0,4,6},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}. 5.B　 关键点拨 关键信息 信息处理 思维方法 A={0,-a} 集合采用列举法表示,且有参数,由集合中元素的互异性可得a≠0 从0∈B入手,进行分类讨论即a-2=0或2a-2=0,然后结果进行验证是否满足元素互异性和初始条件A⊆B B={1,a-2, 2a-2} 集合采用列举法表示,且有参数,由集合中元素的互异性可得a≠3且a≠且a≠0 A⊆B 集合A是集合B的子集,即0∈B,-a∈B ∵A⊆B,A={0,-a},∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.综上,a=1. 6.A　因为全集U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3},所以M={2,4,5},对比选项知A正确,B,C,D错误. 7.B　因为a2=b2⇔a=b或a=-b,a2+b2=2ab⇔(a-b)2=0⇔a=b, 所以a2+b2=2ab⇒a2=b2,但是a2=b2⇒/ a2+b2=2ab, 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件. 8.C　充分性:+=+=-2,即充分性成立; 必要性:由+==-2,得x2+y2+2xy=(x+y)2=0,即有x+y=0,故必要性成立. 9.B　 真题降维 1.试题分析 本题以绝对值不等式、方程的解为载体,判断命题及其否定的真假,通过“举反例、找特例”的方法以及化归与转化思想,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题目. 2.关键突破 关键信息 信息处理 思维方法 命题p:∀x∈R,|x+1|>1 全称量词命题,判断真假的方法:“全真为真,一假为假” 可以通过找反例判断为假命题 命题q:∃x>0,x3=x 存在量词命题,判断真假的方法:“全假为假,一真为真” 可以通过找特例判断为真命题 ¬p和¬q的真假 命题与命题的否定的真假相反 将原命题的真假转化为否定的真假 解法一:由绝对值的非负性知,∀x∈R,|x+1|≥0, ∴p为假命题. 由x3=x,得x3-x=0,即x(x2-1)=0, ∴x=0或x=±1,即∃x=1,使得命题q成立, ∴q为真命题. ∴¬p,q为真命题. 解法二:(特殊值法) 当x=0时,|x+1|=1,不满足|x+1|>1,故命题p为假命题. 当x=1时,13=1,故命题q为真命题. ∴¬p,q为真命题. 高考模拟练 1.B　B={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},A={x|0≤x≤2},所以A∪B=R,A∩B={x|0≤x<1}, 题图中阴影部分表示的集合为A∪B的子集,且不包含A∩B,即阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)={x|x<0或x≥1}. 2.C　当a=0时,B=⌀,B⊆A,则两个集合构成“鲸吞”; 当a>0时,B=,两个集合不能构成“鲸吞”,若两个集合构成“蚕食”,则=2或-=-1,解得a=或a=2, 当a=时,B={-2,2},两个集合构成“蚕食”, 当a=2时,B={-1,1},两个集合构成“蚕食”. 综上可得,a的取值集合为. 3.BCD　对于A,命题“存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题,则其否定是假命题,故A错误. 对于B,因为0到9这10个数字的平方的个位上的数字都不会是3,所以命题“∀x∈Z,x2的个位上的数字不等于3”是真命题,则其否定是假命题,故B正确. 对于C,在等腰梯形ABCD中,不妨令AB=DC,则∠ABC=∠DCB, 又BC=CB,所以△BAC≌△CDB,所以AC=BD; 在梯形ABCD中,AC=BD,不妨设AD∥BC,如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E, 又CE∥AD,所以四边形ACED是平行四边形,所以DE=AC, 因为AC=BD,所以BD=DE,所以∠E=∠DBC, 因为AC∥DE,所以∠ACB=∠E,所以∠DBC=∠ACB, 在△ABC和△DCB中, 所以△ABC≌△DCB,所以AB=DC,所以梯形ABCD为等腰梯形.所以梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD,故C正确. 对于D,若a=b=c,则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc; 若a2+b2+c2=ab+ac+bc,则2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a-b=0,b-c=0,a-c=0,所以a=b=c. 所以a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c,故D正确. 4.ABD　对于A,由题意知,孤立元素不相邻,故集合A中最多有3个孤立元素,故A正确; 对于B,若A中只有1个元素,则必为孤立元素,当A={0,1}时,A中没有孤立元素,故B正确; 对于C,易知这样的集合A有{0,2},{0,3},{0,4},{0,5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},共10个,故C错误; 对于D,没有孤立元素且仅有4个元素的集合A有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个,故D正确. 5.B　设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a,b,c,喜欢游泳和跳水两类体育项目的同学的人数为x,喜欢游泳和乒乓球两类体育项目的同学的人数为y,喜欢跳水和乒乓球两类体育项目的同学的人数为z,如图, 则 ②+③+④得2(a+b+c)+x+y+z=54⑤,①×2-⑤得x+y+z=26, 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为26+20=46. 6.答案　[2,+∞) 解析　因为“∃x0∈[-1,2],x0-a>0”是假命题, 所以它的否定:“∀x∈[-1,2],x-a≤0”是真命题, 所以a≥2,即实数a的取值范围是[2,+∞). 7.答案　-1<a<0 解析　设M∩N共有n个元素,则2n-1=3,解得n=2. N={x||x-a|<1}={x|a-1<x<1+a}. 若M∩N={-1,0},则有∴-1<a<0; 若M∩N={0,2},则有无解. 综上所述,实数a的取值范围是-1<a<0. 8.解析　(1)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. 当a=3时,P={x|4≤x≤7},∁RP={x<4或x>7}, 又Q={x|-2≤x≤5},所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}. (2)因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件,所以P是Q的真子集, 又Q={x|-2≤x≤5},P≠⌀,所以 所以0≤a≤2. 当a=0时,P={1},是Q的真子集; 当a=2时,P={x|3≤x≤5},是Q的真子集. 综上所述,实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 9.解析　(1)根据题意可得|A|=3,S={3,4,5},T={1,2}, 所以|S|=3,|T|=2. (2)令A={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4, 任取两个元素相加,可得a4+a1,a3+a1,a2+a1,a4+a3,a3+a2,a4+a2,共6种结果, 任取两个元素作差,且结果大于0,有a4-a1,a3-a1,a2-a1,a4-a3,a3-a2,a4-a2,共6种结果, 因此|S|max=6,|T|max=6,则有(|S|+|T|)max=12, 显然a4-a1>a3-a1>a2-a1,当a4-a3=a3-a2=a2-a1时,a4-a2=a3-a1, 此时集合T中只有3个元素,因此|T|min=3, 因为a1,a2,a3,a4是满足a1<a2<a3<a4的任意4个实数, 所以a1+a2<a1+a3<a2+a3<a2+a4<a3+a4,a1+a3<a1+a4<a2+a4, 当a1+a4=a2+a3时,集合S中只有5个元素,因此|S|min=5,所以(|S|+|T|)min=8. 2 学科网（北京）股份有限公司 $