2 专题强化练2 三个“二次”的综合运用-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦三个“二次”综合运用，通过基础选择、中档填空到拔高解答的梯度设计，实现从单一知识点到多模块综合的巩固路径，培养数学思维与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一二次问题（根的分布、解集与根关系）|直接应用概念，如第1题用函数图象分析根分布，体现几何直观| |中档提升|含参二次问题（整数解、解集为空集）|引入参数讨论，如第7题含参不等式整数解，发展推理能力| |综合拔高|多模块综合（方程根与最值、集合与不等式）|结合多知识点，如第9题集合与不等式综合选择条件，培养模型观念|

专题强化练2　三个“二次”的综合运用 1.(2025甘肃永靖多校阶段测试)若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.{m|-2<m<2}　　　　B.{m|-2<m<0} C.{m|-2<m<1}　　　　D.{m|0<m<1} 2.(2025天津河东期中)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|x<-2或x>-1},则不等式2x2+bx+a<0的解集为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.{x|x<-2或x>1} 3.(2025福建泉州泉港第一中学月考)已知区间(a,b)是关于x的一元二次不等式mx2-2x+1<0的解集,则3a+2b的最小值是(　　) A.　　　　B.5+2 C.+　　　　D.3 4.(2024四川攀枝花质检)已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},则实数c的值为(　　) A.9　　　　B.8　　　　C.6　　　　D.4 5.(多选题)(2025甘肃武威第七中学月考)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 C.a+b+c<0 D.+的最小值为-4 6.(2025湖南常德临澧第一中学阶段考试)已知关于x的不等式≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是　　　　.  7.(2025四川绵阳南山中学期初)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是　　　　.　　　　　　  8.(2025河南驻马店开学考试)已知函数y=x2-(a+2)x+2a,a∈R. (1)解不等式y<0; (2)若方程x2-(a+2)x+2a=x+1有两个正实数根x1,x2,求|x1-x2|的最小值. 9.在①A∪B=A,②A∩B≠⌀,③B⊆∁RA这三个条件中任选一个,补充在下面问题(3)中,若问题中的实数m存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由. 已知一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集为A={x|x<1或x>b},关于x的不等式ax2-(am+b)x+bm<0的解集为B(其中m∈R). (1)求a,b的值; (2)求集合B; (3)是否存在实数m,使得　　　　?  答案与分层梯度式解析 1.D　令y=x2+(m-1)x+m2-2,作出函数的大致图象如图所示, 由图象知,当x=-1时,y=m2-m<0,解得0<m<1;当x=1时,y=m2+m-2<0,解得-2<m<1. 综上可得,0<m<1, 2.C　由题意可得-2,-1是方程ax2+bx+2=0的两个根,且a>0, 所以-2+(-1)=-,且-2×(-1)=,解得a=1,b=3, 故不等式2x2+bx+a<0即2x2+3x+1<0,解得-1<x<-, 所以不等式2x2+bx+a<0的解集为. 3.C　由题知a,b是关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0的两个不同的实数根, 则有a+b=,ab=,m>0,所以=1,且a,b是两个不同的正数, 则有3a+2b=(3a+2b)·=≥=×(5+2)=+,当且仅当==时,等号成立,故3a+2b的最小值是+. 4.D　∵函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0, ∴=0,∴b=, ∴函数y=x2+ax+b=,其图象的对称轴为直线x=-. ∵不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4}, ∴方程x2+ax+-c=0的两个根为m,m+4, ∴m+m+4=-a,解得m=, 又∵m2+am+-c=0, ∴c=m2+am+==4. 5.AB　由题意可得-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,故A正确; 根据根与系数的关系得解得 所以cx2-bx+a<0即-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1<0,解得-<x<, 所以不等式cx2-bx+a<0的解集为,故B正确; a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C错误; 因为a<0,所以-3a+4>4, 则+=-6a=+2(-3a+4)-8≥2-8=-4,当且仅当=2(-3a+4),即a=1时,等号成立,又a<0,所以+取不到最小值-4,故D错误. 6.答案　[0,4) 解析　∵x2-3x+7=+>0恒成立, ∴不等式≤0的解集为空集等价于kx2-kx+1≤0的解集是⌀, 当k=0时,1≤0不成立,解集是⌀; 当k≠0时,解得0<k<4, 综上,0≤k<4. 7.答案　{a|-3≤a<-2或4<a≤5} 解析　不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-a)(x-1)<0, 当a=1时,不等式为(x-1)2<0,其解集为空集,不合题意; 当a>1时,不等式的解集为(1,a), 要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则4<a≤5; 当a<1时,不等式的解集为(a,1),要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则-3≤a<-2. 综上,实数a的取值范围是{a|-3≤a<-2或4<a≤5}. 8.解析　(1)不等式y<0即x2-(a+2)x+2a<0,即(x-a)·(x-2)<0, 当a<2时,解不等式可得a<x<2, 当a=2时,不等式无解, 当a>2时,解不等式可得2<x<a. 综上,当a<2时,不等式的解集为{x|a<x<2},当a=2时,不等式的解集为⌀,当a>2时,不等式的解集为{x|2<x<a}. (2)方程x2-(a+2)x+2a=x+1有两个正实数根x1,x2,即方程x2-(a+3)x+2a-1=0有两个正实数根x1,x2, 由根与系数的关系得,x1+x2=a+3,x1x2=2a-1, 则解得a>, |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(a+3)2-4(2a-1)=a2-2a+13=(a-1)2+12, 当a=1时,|x1-x2|2取得最小值12,故|x1-x2|的最小值为2. 9.解析　(1)由一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集为A={x|x<1或x>b},得a>0,且方程ax2-3x+2=0的两根为1,b, 所以 解得 (2)由(1),得不等式ax2-(am+b)x+bm<0即为x2-(m+2)x+2m<0,即(x-m)(x-2)<0. 当m<2时,m<x<2; 当m=2时,不等式无解; 当m>2时,2<x<m. 综上,当m<2时,B=(m,2);当m=2时,B=⌀;当m>2时,B=(2,m). (3)由(1)知A={x|x<1或x>2}, 选择①,A∪B=A,则B⊆A. 当m<2时,B=(m,2),不满足; 当m=2时,B=⌀,满足; 当m>2时,B=(2,m),满足. 所以实数m的取值范围是[2,+∞). 选择②,A∩B≠⌀, 当m<2时,B=(m,2),则m<1; 当m=2时,B=⌀,不满足; 当m>2时,B=(2,m),满足. 所以实数m的取值范围是(-∞,1)或(2,+∞). 选择③,B⊆∁RA,且∁RA=[1,2], 当m<2时,B=(m,2),则m≥1,所以1≤m<2; 当m=2时,B=⌀,满足; 当m>2时,B=(2,m),不满足. 所以实数m的取值范围是[1,2]. 8 学科网（北京）股份有限公司 $