第1章 1.2.3 第1课时 含有量词的命题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词和存在量词”核心知识点，从命题基本概念切入，通过对比含变量非命题语句与添加量词后的命题，构建“问题情境—概念辨析—符号表示”学习支架，衔接命题定义与后续命题否定的学习。 该资料以生活实例（如“全体起立”“有的同学”）为导入，引导学生用数学眼光观察现实量词现象，通过问题链和例题分析培养逻辑推理的数学思维，用“∀”“∃”符号规范表达命题提升数学语言能力。课中例题与跟踪训练助教师突破重难点，课后分层对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2.3　全称量词和存在量词 第1课时　含有量词的命题 学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 导语 同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，”也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业，”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论. 一、全称量词命题与存在量词命题的判断 问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数. 提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，使x能被2和3整除. 提示　容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 知识梳理 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 “任意”“所有”“每一个”等 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M的任一个元素x，有p(x)成立”，用符号简单地表示为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在某个”“至少有一个”等 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，用符号简单地表示为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定；存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”；有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 例1　(课本例6)指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数a，a2-a-2>0； (2)对某个大于10的正整数n，()n=1 024. 解　(1)命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集.该命题可以写成“∀a∈R+，a2-a-2>0”. (2)命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集.该命题可以写成“∃n>10且n∈Z+，()n=1 024”. 例1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0. (2)存在量词命题.表示为∃一次函数，它的图象经过原点. (3)全称量词命题.表示为∀二次函数，它的图象的开口都向上. 反思感悟　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两个锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°. 解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题. 二、全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例2　(1)(课本例7)判断下列全称量词命题的真假： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1. 解　①因为∀x∈R，x2≥0，从而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.因此“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题. ②因为0∈N，且当x＝0时，x4≥1不成立，因此“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (2)(课本例8)判断下列存在量词命题的真假： ①∃a∈Z，a2＝3a－2； ②∃a≥3，a2＝3a－2； ③设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC. 解　①因为1∈Z且12＝3×1－2，所以“∃a∈Z，a2＝3a－2”是真命题. ②因为a2＝3a－2只有两个实数根a＝1或a＝2，所以当a≥3时a2≠3a－2.因此“∃a≥3，a2＝3a－2”是假命题. ③以A，B，C为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC的外心，则PA＝PB＝PC.因此“该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC”是真命题. 例2　判断下列命题的真假. (1)所有的素数都是奇数； (2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0. 解　(1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)是真命题. (3)由于对任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2恒成立，所以使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在， 所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题. 反思感悟　(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可. 跟踪训练2　判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0； (3)∀x∈R，x2>0. 解　(1)该命题中含有存在量词“有一些”，是存在量词命题.如二次函数y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题. (2)该命题是存在量词命题. ∵2x2＋x＋1＝2≥>0， ∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题. 当x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题. 三、依据含量词的命题的真假求参数的取值范围 例3　已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|6－m≤x≤m＋3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得≤m≤3. 即m的取值范围为. 反思感悟　含量词的命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 跟踪训练3　已知命题“∃x∈R，使2x2＋x－a＝0”为真命题，则实数a的最小值为　　　.  答案　－ 解析　依题意可得Δ＝12－4×2×(－a)＝1＋8a≥0， 解得a≥－ 故实数a的最小值为－. 1.知识清单： (1)全称量词命题与存在量词命题的概念及判断. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x，y恒成立”改写成符号形式为(　　) A.∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy B.∃x，y∈R，x2＋y2≥2xy C.∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy D.∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy 答案　A 解析　由全称量词命题的形式知选A. 2.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|＝0 B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3≥0 D.∀x∈R，x2＋1>0 答案　C 解析　当x＝－1时，x3＝－1，故选项C为假命题. 3.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.∃x∈R，x≤0 B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C.∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数 D.任何实数都有算术平方根 答案　ABC 解析　A项，∃x∈R，x≤0，故为真命题； B项，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，故为真命题，例如数1满足条件； C项，∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，故为真命题，例如x＝π； D项，负数没有算术平方根，为假命题. 4.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x＋1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 答案　C 解析　对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. 5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x4≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 答案　B 解析　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题，是假命题；B中当x＝0时，x4＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题. 6.(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　) A.1 B.0 C.3 D.－3 答案　AC 解析　因为p为真命题，所以方程x2＋2x＋2－a＝0有实数根，即Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1. 结合选项，实数a的取值可以是1，3. 7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　.  答案　∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0 解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 8.(5分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a≤1} 解析　由p为真命题，知a≤x恒成立. 又1≤x≤3，因此a≤1. 9.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数t为正且<t；(2分) (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；(3分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分) 解　(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1， 则<t不成立. (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0， 所以存在实数x，使得x2－3x－4＝0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)， 则3x－4y－5>0成立. (4)为全称量词命题，且为真命题. 10.(10分)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>5}. (1)求∁RB，(∁RA)∩B；(4分) (2)若集合C＝{x|2m<x<m＋1}，且∀x∈C，x∉A为真命题，求m的取值范围.(6分) 解　(1)由B＝{x|x<－2或x>5}，则∁RB＝{x|－2≤x≤5}， 又A＝{x|－2≤x≤3}，则∁RA＝{x|x<－2或x>3}， 故(∁RA)∩B＝{x|x<－2或x>5}. (2)∵∀x∈C，x∉A为真命题，即A∩C＝∅， 又C＝{x|2m<x<m＋1}，A＝{x|－2≤x≤3}， 当C＝∅时，2m≥m＋1，即m≥1，此时A∩C＝∅； 当C≠∅时，由A∩C＝∅可得， 或 解得m≤－3， 综上，m的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞). 11.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项不正确的是(　　) A.∀x∈P，x∈Q B.∀x∉Q，x∉P C.∃x∉Q，使得x∈P D.“x∈Q”是“x∈P”的必要条件 答案　C 解析　选项A，因为P∩Q＝P，所以P中的所有元素都在Q中，即∀x∈P，x∈Q，故正确； 选项B，如果x∉Q，由于P中的元素都在Q中，那么x肯定不在P中，即∀x∉Q，x∉P，故正确； 选项C，由P∩Q＝P可知P的元素都在Q中，不存在x∉Q且x∈P的情况，故不正确； 选项D，因为P∩Q＝P，所以x∈P时一定有x∈Q，那么“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，故正确. 12.(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＋1＝0为真命题，则实数a的值可以是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　BCD 解析　由∃x∈R，x2＋4x＋a＋1＝0为真命题，即关于x的方程x2＋4x＋a＋1＝0有实根，得Δ≥0，即16－4(a＋1)≥0，解得a≤3，对照选项可知B，C，D正确. 13.已知A＝[1，2]，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 答案　C 解析　当该命题是真命题时， 只需a≥(x2)max，x∈A＝[1，2]. 又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4， 所以a≥4. 因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4. 所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是a≥5. 14.(5分)若命题“一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限”为真命题，则实数k的取值范围为　　　　　　.  答案　{k|k>0} 解析　一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0. 15.(多选)已知max{x1，x2，…，xn}表示x1，x2，…，xn这n个数中最大的数.能说明命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题的一组整数a，b，c，d的值是(　　) A.1，2，3，4 B.－3，－1，7，5 C.8，－1，－2，－3 D.5，3，0，－1 答案　BC 解析　对于A，D，从其中任取两个数作为一组，剩下的两数作为另一组， 由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值， 故都能使得命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”成立； 对于B，当max{a，b}＝max{－3，－1}＝－1，max{c，d}＝max{7，5}＝7时，max{a，b，c，d}＝max{－3，－1，7，5}＝7， 此时－1＋7<7，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题； 对于C，当max{a，b}＝max{8，－1}＝8，max{c，d}＝max{－2，－3}＝－2时，max{a，b，c，d}＝max{8，－1，－2，－3}＝8， 此时－2＋8<8，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题. 16.(11分)已知M＝{x|a≤x≤a＋1}， (1)若“∀x∈M，x＋1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若“∃x∈M，x＋1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)“∀x∈M，x＋1>0”是真命题，即a＋1>0，解得a>－1， 所以实数a的取值范围是(－1，＋∞). (2)“∃x∈M，x＋1>0”是真命题，即a＋1＋1>0， 解得a>－2， 所以实数a的取值范围是(－2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $