第1章 1.2.3 第2课时 含量词命题的否定（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦含量词命题的否定这一核心知识点，通过具体实例（如矩形是否为平行四边形、素数是否为奇数等全称命题，实数绝对值为正数、平行四边形是菱形等存在命题）引导学生观察否定形式变化，梳理出“改变量词，否定结论”的规律，构建从具体实例到抽象方法的学习支架，涵盖全称与存在量词命题否定的形式转化及综合应用。 该资料以问题链驱动探究，让学生用数学眼光发现命题否定的形式规律，在推理命题真假、求解参数范围中培养数学思维，规范符号语言表达（如∀与∃的转化）。例题与跟踪训练结合，课中辅助教师引导学生理解，课后通过课时对点练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　含量词命题的否定 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 导语 对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.例如“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”等.这节课，我们就来研究利用存在量词对全称量词命题的否定，以及利用全称量词对存在量词命题的否定. 一、全称量词命题的否定 问题1　写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x＋|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 知识梳理 1.一般地，命题“∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，¬p(x)”.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 例1　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点都在同一个圆上； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根. 解　(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数. (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. 反思感悟　全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题：∀x∈I，p(x)，它的否定：∃x∈I，¬p(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方数还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形. 解　(1)该命题的否定：∃n∈Z，n∉Q. (2)该命题的否定：存在一个奇数的平方数不是奇数. (3)该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形. 二、存在量词命题的否定 问题2　写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 知识梳理 一般地，命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，¬p(x)”.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定. 例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.命题的否定为真命题. (2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小.命题的否定为假命题. (3)该命题的否定：∀x，y∈Zx＋y≠3. 当x＝0，y＝3时x＋y＝3，因此命题的否定为假命题. 反思感悟　存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题：∃x∈I，p(x)，它的否定：∀x∈I，¬p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有的素数是偶数； (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. 解　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数.由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. ∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， ∴命题的否定为假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围. 解　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3，所以a≥1， 即实数a的取值范围为[1，＋∞). 延伸探究　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. 解　由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题， 故有>1，所以a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1). 反思感悟　由命题真假求参数范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 跟踪训练3　已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围. 解　因为¬p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|－3≤x≤2}， 都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}， 所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}. 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则p的否定是(　　) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 答案　C 解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A.¬p：∀x∈A，2x∈B B.¬p：∀x∉A，2x∉B C.¬p：∃x∉A，2x∈B D.¬p：∃x∈A，2x∉B 答案　D 解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定：∃x∈A，2x∉B. 3.关于命题p“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定，下列说法正确的是(　　) A.¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为假命题 B.¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为真命题 C.¬p：∃x∈R，x2－x＋1≥0，为假命题 D.¬p：∀x∈R，x2－x＋1≥0，为真命题 答案　D 解析　因为x2－x＋1＝>0， 故命题p为假命题，则¬p为真命题； 又“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1≥0”. 4.已知命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤0或m≥6} B.{m|m<0或m>6} C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6} 答案　A 解析　命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题， 即命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式x＝成立”是假命题， 即∉{x|0<x<3}， 所以≤0或≥3， 解得m≤0或m≥6. 5.(多选)关于命题p：∀x∈R，x2＋1≠0的叙述，正确的是(　　) A.¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B.¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，¬p是假命题 D.p是假命题，¬p是真命题 答案　AC 解析　命题p：∀x∈R，x2＋1≠0的否定：∃x∈R，x2＋1＝0.所以p是真命题，¬p是假命题. 6.(多选)下列说法错误的是(　　) A.命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x” B.命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C.“a>2”是“a>5”的充分而不必要条件 D.对任意x∈R，总有x3>0是真命题 答案　ACD 解析　对于A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故A错误； 对于B，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确； 对于C，“a>2”是“a>5”的必要而不充分条件，故C错误；对于D，当x＝0时，x3＝0，故D错误. 7.(5分)命题p：∃x≥1，x2－x<0，则命题p的否定为　　　　　　　　　　　　.  答案　∀x≥1，x2－x≥0 解析　根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题p：∃x≥1，x2－x<0的否定为∀x≥1，x2－x≥0. 8.(5分)已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a≤1} 解析　∵命题¬p是假命题，∴p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 9.(10分)写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆；(3分) (2)末位数字为9的整数能被3整除；(3分) (3)∃x∈R，x2＋1<0.(4分) 解　(1)所有的四边形都没有外接圆. (2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除. (3)∀x∈R，x2＋1≥0. 10.(10分)已知命题p：∃x∈R，使x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2. (1)写出¬p；(3分) (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)命题p：∃x∈R，使x2－2x＋m＝0的否定为¬p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0. (2)若p是真命题，得Δ＝4－4m≥0，所以m≤1. 若p为真命题，q为假命题， 则解得m≤－2； 若p为假命题，q为真命题，则 解得1<m<2. 所以m的取值范围为{m|m≤－2或1<m<2}. 11.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　) A.等圆的面积相等，周长相等 B.∀x∈N，x2≥1 C.任意两个等边三角形都是相似的 D.有些梯形的对角线相等 答案　ACD 解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题； B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题； C的否定：有些等边三角形不相似，假命题； D的否定：所有梯形的对角线都不相等.如等腰梯形的对角线相等，假命题. 12.已知命题“∃x∈{x|2≤x<4}，x≤m”为假命题，则m的取值范围为(　　) A.m<2 B.m≥2 C.m≤3 D.m≥4 答案　A 解析　命题“∃x∈{x|2≤x<4}，x≤m”为假命题，则命题“∀x∈{x|2≤x<4}，x>m”为真命题，因为对∀x∈{x|2≤x<4}，都有x>m，所以要使m小于集合{x|2≤x<4}中的最小值即可，即m<2. 13.若“∀x∈M，|x|>6”为真命题，“∃x∈M，x<5”为假命题，则集合M可以是(　　) A.{x|x>6} B.{x|x<－6} C.{x|x<6} D.{x|x>－6} 答案　A 解析　“∀x∈M，|x|>6”为真命题，M⊆{x|x>6或x<－6}， “∃x∈M，x<5”为假命题，∴“∀x∈M，x≥5”为真命题， M⊆{x|x≥5}，∴M⊆{x|x>6}. 14.(5分)已知命题p：∃x≥3，使得2x－1<m是假命题，则实数m的最大值是　　　　　.  答案　5 解析　因为命题p：∃x≥3，使得2x－1<m是假命题，所以¬p：∀x≥3，使得2x－1≥m是真命题， 故m≤5. 15.命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 B.∀x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 C.∃x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 D.∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 答案　D 解析　由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1”. 16.(12分)已知集合A＝{x|6≤x≤20}，集合B＝{x|x≤2a}，命题p：∃x∈A，x∈B，命题q：∀x∈R，x2＋2x－a>0. (1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)若命题p为真命题，则A∩B≠∅， 所以2a≥6，所以a≥3， 所以当命题p为假命题时，a的取值范围为{a|a<3}. (2)当命题q为假命题时，即“∃x∈R，x2＋2x－a≤0”为真命题， 所以Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1， 所以a的取值范围为{a|a≥－1}， 所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为 {a|a<3}∩{a|a≥－1}＝{a|－1≤a<3}， 所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{a|a<－1或a≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $